This thesis concerns two fundamental concepts in surface topology. The first
part proposes a solution of the problem of generating an all quadrilateral
patch layout on a given surface. We approach the problem from a combinatorial
graph optimization point of view. Mainly, finding a nice quad layout of a
given surface is equivalent to solving a minimum weight perfect matching
problem with additional quad guarantee constraints. The results are of high
quality in terms of coarseness and alignment to important features of the
geometry which can be used for wide range of applications such as hierarchical
subdivision or high order surface fitting. The second part suggests an
algorithm to symmetrically generate high genus surfaces suitable for space
models of regular maps. It is based on a novel identification in hyperbolic
space to derive directly the tubular neighborhood of the edge of a tiling
directly the the hyperbolic representation followed by a spring relaxation
procedure with intersection-free guarantee. We succeed to produce new
embeddings of regular maps ranging from genus 5 to 85.Diese Dissertation beschäftigt sich mit zwei grundsätzlichen Konzepten in der
Oberflächentopologie. Der erste Teil behandelt das Problem, eine gegebene
Oberfläche in Vierecksgitter zu pflastern. Ist eine regelmässige Pflasterung
gegeben, werden im zweiten Teil Methoden vorgeschlagen, um eine symmetrische
geschlossene Oberfläche zu bauen und diese symmetrisch einzubetten.
Oberflächepflasterung hat eine breite Reihe von Anwendung in der
Computergrafik und Geometrieverarbeitung. Für eine gegebene Oberfläche
schlagen wir einen flexiblen Algorithmus vor, welcher autmoatisch
Vierecksgitter von hoher Qualität auf dieser Oberfläche erzeugt. Strukturierte
Darstellung einer Oberfläche durch Vierecksgitter hat praktische Anwendungen
in unterschiedlichen Bereichen, wie Unterteilungsflächen, Approximation von
Oberflächen, Kompression und Hierarchien in der finiten Element Methode. Unser
Ansatz besteht darin, einen Singularitäten-Graph eines Rahmenfeldes zu
konstruieren. Dieses Feld dekodiert die lokalen Strukturen der Geometrie. Das
Problem, ein Vierecksgitter auf der Oberfläche zu erzeugen ist damit
äquivalent zur Konstruktion eines minimalen gewichteten Matchings mit
disjunkten Nebenbedingungen. Das resultierende Vierecksgitter ist von hoher
Qualität in dem Sinne, als das es trotz grober Auflösung den lokalen
Strukturen der Geometrie folgt. Anwendungen unserer Methode auf Dreiecks- und
Vierecksgitter zeigen, dass die Ergebnisse sich mit denen anderer aktueller
Methoden messen können. Für eine gegebene reguläre Pflasterung, präziser eine
reguläre Karte, führen wir die entsprechende reguläre Oberfläche ein. Diese
ist die passendste Oberfläche von hohem Genus, welche die gegebene Pflasterung
realisiert. Das Visualisieren regulärer Karten ist ein schwieriges Problem.
Alle regulären Karten, bzw. symmetrischen Pflasterungen einer Oberfläche von
Genus bis 302 sind algebraisch bereits bekannt. Sie liegen in Form von
Symmetriegruppen vor, welche auf den entsprechenden universellen
Abdeckungsräumen agieren. Jedoch ist wenig über die geometrischen
Realisierungen bekannt, d.h. über das Finden hoch-symmetrischer Einbettungen
abgeschlossener Oberflächen und die passenden hoch-symmetrischen
Pflasterungen. In dieser Arbeit führen wir einen Algorithmus ein, welcher
automatisch räumliche Modelle für einige dieser regulären Karten erstellt und
dabei schöne Oberflächen mit sehr hoher Symmetrie erzeugt
