The phase problem is the major problem in the field of X-ray crystallography.
In the context of direct methods, that use mathematical techniques to compute
an electron density map from the diffraction data without any further
experiments, binary integer programming models for solving the phase problem
have been de- veloped. Based on descriptions of topological properties of
2-dimensional binary pictures known from the field of discrete tomography,
these models have been extended for the 3-dimensional case. As the
formulations are in general not sufficient to describe the more complex
properties of the shape of proteins, binary integer pro- grams have been
derived for describing different additional topological properties. In
general, the binary integer program for solving the phase problem, leads to a
set of different optimal solutions. The additional constraints increase the
quality of the solution set. The main property considered is one restricting
the number of components in the resulting solution. Using graph theoretical
methods and a separation algorithm, a model to describe this property has been
found and implemented. Computational results have been presented and
evaluated. It has been shown, that the added topological constraints increase
significantly the quality of the solution set. In the last chapter, a method
to find the solutions all at once based on singu- lar value decomposition and
methods to find integer points in ellipsoids has been developed. In further
work, the efficiency of this method for the phase problem should be evaluated
and the method could be implemented and tested. In order to further increase
the solutions’ quality, more additional constraints could be formulated and
added. If the running time of the solving algorithm could be decreased, a
refinement of the model would be possible. Bigger grids could be considered
showing more de- tails of the reconstructed protein. More phase values than
just four ones could be introduced. A restriction of the electron density
distribution to a finite number of states instead of regarding just the two
binary ones would be a possible extension. So, based on the promising results
presented here, lots of further work extending and refining the developed
approaches is possible.Röntgenkristallographie ist derzeit die Standardmethode zur Ermittlung der
drei- dimensionalen Struktur biologischer Makromoleküle, wie z. B. von
Proteinen, und liefert damit eine wichtige Basis der Strukturbiologie sowie
der modernen Biotechnologie. Aus Röntgenexperimenten erhält man
Beugungsmuster, aus welchen dann die Struktur des zu untersuchenden Kristalls
berechnet werden soll. Diese wird durch die zugehörige
Elektronendichteverteilung beschrieben. Allerdings liefert das Beugungsmuster
nur die Beträge der komplexen Fourierkoeffizienten der Elektronendichte, nicht
die zugehörigen Phasenwerte. Das Problem, diese Phasenwerte zu ermitteln, ist
das Phasenproblem in der Röntgenkristallographie. Die Informationen, welche
aus dem Röntgenexperiment gewonnen werden können, sind nicht ausreichend um
dieses Phasenproblem zu lösen. Daher erhält man nicht nur eine, sondern eine
Menge zulässiger Lösungen. Zusätzliche Informationen über die
Elektronendichteverteilung können dann hinzugezogen werden um die Qualität
dieser Lösungen zu verbessern. In dieser Arbeit wird ein ganzzahliger linearer
Optimierungsansatz zur Lösung des Phasenproblems entwickelt, in dem
verschiedene topologische Eigenschaften von Proteinen modelliert und als
zusätzliche Informationen verwendet werden. Die wichtigste Eigenschaft, die so
modelliert und für die Problemlösung hinzugezogen wird, ist die
Zusammenhangseigenschaft von Proteinen. Diese sichert, dass die berechnete
Struktur nicht aus mehr als einer gegebenen Anzahl zusammenhängender
Komponenten besteht. Bei der Modellierung dieser Zusammenhangseigenschaft
werden graphentheoretische Methoden sowie ein Separationsalgorithmus genutzt.
Der Modellierungsansatz wurde implementiert und mit Daten von echten Proteinen
getestet. Die Testergebnisse zeigen, dass die Qualität der Lösungen des
Phasenproblems durch die Hinzunahme der topologischen Eigenschaften deutlich
verbessert wird
