Determining the similarity between objects is a fundamental problem in
computer vision and pattern recognition, but also in other fields of computer
science. This thesis concentrates on the matching problem, which has received
a lot of attention in Computational Geometry. Given a class of shapes S, a set
of transformations T, mapping shapes onto shapes, and a distance measure d on
S, the matching problem with respect to S, T, and d is defined as follows:
Given two shapes A, B in S, compute a transformation t* in T that minimizes
d(t*(A),B). We consider solid shapes, i.e., full-dimensional shapes, in
arbitrary dimension and assume that they are given by an oracle that generates
uniformly distributed random points from the shapes. This is a very rich class
of shapes that contains the class of finite unions of simplices as a subclass.
We study matching under translations and rigid motions (translation and
rotation). Throughout this work, the volume of the symmetric difference is
used as distance measure for the matching problem. Maximizing the volume of
the overlap is equivalent to minimizing the volume of the symmetric difference
under translations and rigid motions. We study a probabilistic approach to the
shape matching problem. The main idea is quite simple. Given two shapes A and
B, repeat the following random experiment very often: Select random point
samples of appropriate size from each shape and compute a transformation that
maps the point sample of one shape to the sample of the other shape. Store
this transformation. In each step, we extend the collection of random
transformations by one. Clusters in the transformation space indicate
transformations that map large parts of the shapes onto each other. We
determine a densest cluster and output its center. This thesis describes
probabilistic algorithms for matching solid shapes in arbitrary dimension
under translations and rigid motions. The algorithms are a priori heuristics.
The main focus is on analyzing them and on proving that they maximize the
volume of overlap approximately by solving the following instance of the
matching problem. Given two solid shapes A and B, an error tolerance eps in
(0,1), and an allowed probability of failure p in (0,1), the problem is to
compute a transformation t* such that with probability at least 1-p, we have
that the volume of the intersection of t*(A) and B is at least as large as the
volume of the intersection of t(A) and B minus an error of e times the volume
of A for all transformations t, in particular for transformations maximizing
the volume of overlap. The approach is mainly of theoretical interest. Still,
the algorithms are so simple that they can easily be implemented, which we
show by giving experimental results of a test implementation for 2-dimensional
shapes.Die zentrale Frage in der Musteranpassung ist, ob zwei gegebene Objekte A und
B sich ähneln. Methoden, die diese Frage lösen, haben zahlreiche Anwendungen
in verschiedenen Gebieten der Informatik. Muster können aufgrund verschiedener
Merkmale verglichen werden, zum Beispiel aufgrund der Farbe, der Textur oder
aufgrund von ausgezeichneten Punkten. In dieser Arbeit werden Muster aufgrund
geometrischer Merkmale verglichen, wie es in der Algorithmischen Geometrie
üblich ist. Seien eine Menge von Mustern S, eine Menge von Transformationen T,
die Muster auf Muster abbilden, und ein Abstandsmaß d gegeben. Das
Musteranpassungsproblem bezüglich S, T und d besteht darin, für gegebene
Muster A, B in S eine Transformation t* in T zu berechnen, die den Abstand
d(t*(A),B) minimiert. Wir betrachten volldimensionale Muster in beliebiger
Dimension und nehmen an, dass die Muster durch ein Orakel gegeben sind, das
gleichverteilte Zufallspunkte aus ihnen erzeugt. Diese Klasse von Mustern ist
sehr allgemein, da sie die Klasse der endlichen Vereinigungen
volldimensionaler Simplizes als Teilklasse enthält. Als Transformationsklassen
betrachten wir Translationen und starre Bewegungen. Als Abstandsmaß verwenden
wir das Volumen der symmetrischen Differenz. Für Translationen und starre
Bewegungen ist das Maximieren des Volumen des Durchschnitts äquivalent zum
Minimieren des Volumens der symmetrischen Differenz. In dieser Arbeit wird ein
probabilistischer Ansatz für das Musteranpassungsproblem verfolgt. Die
zentrale Idee ist relativ einfach. Für zwei gegebene Muster A und B wird das
folgende Zufallsexperiment sehr oft wiederholt: Aus beiden Mustern wird eine
gewisse Anzahl an Zufallspunkten erzeugt. Dann wird eine Transformation
berechnet, die die Zufallspunkte aus A auf die Zufallspunkte aus B abbildet.
Diese Transformation wird gespeichert. In jedem Schritt wird eine
Zufallstransformation zur Menge der gespeicherten Transformationen
hinzugefügt. Häufungen im Transformationsraum zeigen Transformationen an, die
große Teile der Muster aufeinander abbilden. Es wird die dichteste Häufung im
Transformationsraum gesucht und ihr Mittelpunkt als Ergebnis ausgegeben. Wir
beschreiben probabilistische Algorithmen zur Anpassung volldimensionaler
Muster in beliebiger Dimension unter Translationen und starren Bewegungen. A
priori sind diese Algorithmen Heuristiken. Der Schwerpunkt der Arbeit liegt
darauf, die Algorithmen zu analysieren und zu beweisen, dass sie das Volumen
des Durchschnitts approximativ maximieren. Genauer gesagt lösen die
Algorithmen folgendes Problem: Gegeben zwei Muster A und B, eine
Fehlerschranke e in (0,1) und eine erlaubte Fehlerwahrscheinlichkeit p in
(0,1), berechne eine Transformation t*, so dass mit Wahrscheinlichkeit
mindestens 1-p gilt, dass das Volumen des Durchschnitts von t*(A) und B
mindestens so groß ist wie das Volumen des Durchschnitts von t(A) mit B minus
eines Fehler von e mal dem Volumen von A für alle Transformationen t. Das gilt
insbesondere für Transformationen, die das Volumen des Durchschnitts
maximieren. Unser Ansatz ist zwar hauptsächlich von theoretischem Interesse,
dennoch sind die vorgestellten Algorithmen so einfach, dass sie leicht
implementiert werden können, was wir durch experimentelle Ergebnisse einer
Testimplementation für zweidimensionale Muster belegen
