Konferans Bildirisi -- Teorik ve Uygulamalı Mekanik Türk Milli Komitesi, 2013Conference Paper -- Theoretical and Applied Mechanical Turkish National Committee, 2013Bu çalışmada doğrusallaştırılmış dalga teorisi kullanılarak ön gerilmeli piezoelektrik tabaka ile örtülü ön gerilmeli yarı düzlem ortamında genelleştirilmiş Rayleigh dalgalarının dispersiyonu incelenmiştir.In this paper, generalized Rayleigh wave dispersion in a pre-stressed half-plane covered with a pre-stressed piezoelectric layer is studied using linearized wave theory

Akbarov, Surkay

Kurt, İ.

Sezer, S.

Ulusal Üniversitelerarası Açık Erişim Sistemi - İstanbul Teknik Üniversitesi

 
 
 
 
  XVIII. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ                           
  26 - 30 Ağustos 2013, Celal Bayar Üniversitesi, Manisa 
  
21 
 
ÖN GERİLMELİ PİEZOELEKTRİK ÖRTÜ TABAKASI VE ÖN GERİLMELİ 
ELASTİK YARI DÜZLEMDEN OLUŞAN SİSTEMDE GENELLEŞTİRİLMİŞ 
RAYLEİGH DALGALARININ DİSPERSİYONU 
S.D. Akbarov, İ. Kurt, S. Sezer 
Yıldız Teknik Üniversitesi, Makine Mühendisliği Bölümü, 34349, Beşiktaş, İstanbul 
 
ABSTRACT 
In this paper, generalized Rayleigh wave dispersion in a pre-stressed half-plane covered with 
a pre-stressed piezoelectric layer is studied using linearized wave theory. 
ÖZET 
Bu çalışmada doğrusallaştırılmış dalga teorisi kullanılarak ön gerilmeli piezoelektrik tabaka 
ile örtülü ön gerilmeli yarı düzlem ortamında genelleştirilmiş Rayleigh dalgalarının 
dispersiyonu incelenmiştir. 
1. GİRİŞ 
Ön gerilmeli tabakalı ortamlarda yüzeysel dalgaların yayılmasının incelenmesi teorik ve 
pratik açıdan çok önemlidir. Bu konuda son yıllarda yapılan araştırmaların özeti [1] 
makalesinde verilmektedir. Bu makalede aynı zamanda ön gerilmeli tabakalı ortamda ön 
gerilmelerin yüzeysel dalgalara etkisini inceleyen sonuçlar da verilmektedir. Tabakalı 
ortamlarda elastodinamik klasik lineer teorisi çerçevesinde yapılan incelemelerden ilkini 
Tolstoy ve Usdin [2] yapmıştır. [2]’de elde edilen araştırmaların geniş açıklaması ise [3] 
monografisinde verilmektedir. [4] makalesinde yarı düzlem ve piezoelektrik örtü 
tabakasından oluşan bir sistemde yüzeysel dalgaların dispersiyonu incelenmiştir. Bu 
incelemeler klasik elektroelastik denklemler çerçevesinde yapılmıştır. 
Bu makalede ise piezoelektrik tabaka ile örtülmüş ön gerilmeli yarı düzlemde yüzeysel 
dalgaların yayılması incelenmektedir. Bu incelemeler ön gerilmeli ortamlarda 
doğrusallaştırılmış elastik dalga yayılımı teorisi çerçevesinde yapılmaktadır. Örtü tabakasına 
ait bağıntılar lineer piezoelektrik teoriyle, yarı düzlem ortamın malzemesinin elastisite 
bağıntıları ise Murnaghan potansiyeli ile verilmektedir. İncelemeler sonucunda piezoelektrik 
tabakadaki piezoelektrik sabitlerinin ve aynı zamanda yarı düzlemdeki ön gerilmelerin ve 
üçüncü mertebeden elastik sabitlerinin dalga yayılım hızına veya dalga dispersiyonuna etkisi 
incelenmektedir.  
 
 
 
Akbarov, Kurt ve Sezer  
22 
XVIII. Ulusal Mekanik Kongresi 
2. PROBLEMİN MATEMATİKSEL FORMÜLASYONU 
Bu makalede, ön gerilmeli piezoelektrik örtü tabakasından ve ön gerilmeli yarı düzlemden 
oluşmuş bir sistemde genelleştirilmiş Rayleigh dalgalarının dispersiyonu incelenmiştir. 
İncelemeler [1] çalışmasında olduğu gibi parçalı homojen cisim modeli çerçevesinde 
yapılmıştır. Tabakaya ait büyüklükler üst (1), yarı düzleme ait büyüklükler ise üst (2) indisi 
ile gösterilmiştir. Örtü tabakası ve yarı düzlem sırasıyla 
 1 2 3,0 ,x x h x            ve  1 2 3, 0,x x x            
bölgelerini kapsamaktadır (Şekil 1). 
 
Şekil 1. Ön Gerilmeli Piezoelektrik Örtü Tabakası ve Ön Gerilmeli Elastik Yarı Düzlemden 
Oluşan Sistem 
Düzlem şekil değiştirme durumu ele alınarak tabaka ve yarı düzlemde 1Ox  ekseni 
doğrultusunda etki gösteren homojen yayılı normal ön gerilmeler 
(1),0 (1),0 (1),0
11 1 12 22
(2),0 (2),0 (2),0
11 2 12 22
0 , 0
0 , 0
sabit
sabit
  
  
   
     (1) 
biçiminde verilmektedir. 
Problemin genelliği için yarı düzlem malzemesinin de piezoelektrik olduğu düşünüldüğünde 
alan denklemleri aşağıdaki gibi gösterilebilir: 
( ) ( ) ( ) 2 ( )
( ), ( )11 12 1 1
2
1 2
( ) ( ) ( ) 2 ( )
( ), ( )12 22 2 2
2
1 2
( ) ( )
2
0
11 2
1
2
0
1
1 2
1
1
2
2
1
0
m m m m
m m
m m m m
m m
m m
u u
x x t
u u
x x
x x
x
D
x t
D
  
  


     
  
 
   
   
  (2) 
Piezoelektrik malzemenin 2Ox  ekseni doğrultusunda polarize edildiği varsayılırsa bünye 
denklemleri 
 
Akbarov, Kurt ve Sezer  
23 
XVIII. Ulusal Mekanik Kongresi 
  
(1) (1) (1)
11 11 1,1 13 2,2 31 ,2
(1) (1) (1)
13 1,1 33 2,2 33 ,2
(1) (1) (1)
12 44
22
1,2 2,1 15 ,1
(1) (1)
1 15 1,2 2,1 11 ,1
(1) (1)
2 31 1,1 33 2,2 33 ,2
c u c u e
c u c u e
c u u e
D e u u
D e u e u
 

 
 



  
  
  
  
  
 (3) 
biçiminde gösterilebilir. Burada ,  ve c e   katsayıları sırasıyla elastik, piezoelektrik ve 
dielektrik sabitleri; iD  elektrik yerdeğiştirme vektörünün bileşenleri;   elektrik potansiyeli; 
iu  mekanik yerdeğiştirme vektörünün bileşenleridir. 
Sayısal incelemeler yalnızca piezoelektrik tabaka ve elastik yarı düzlem için yapıldığından 
temas koşulları aşağıdaki gibi verilmiştir. 
2 20
(
0
1) (2)
1 1x x
u u   , 2 20
(
0
1) (2)
2 2x x
u u   , 2 20
(1) (2)
12 012x x
    , 2 20
(1) (2)
22 022x x
    (4) 
2
(1)
0
0
x
    (5) 
Hiçbir dış etkinin olmadığı kabul edilen tabakanın dış yüzeyi üzerindeki sınır koşulları: 
2
(1)
12 0x h    , 2
(1)
22 0x h    , 2 0x h    (6) 
Yarı düzlemde aşağıdaki sönüm koşulları da sağlanmıştır: 
2
(2) 0ij x   , 0u 2x)2(i     , i,j =1,2 (7) 
3. PROBLEMİN ÇÖZÜM YÖNTEMİ 
3.1 Piezoelektrik Tabakanın Dalga Hareket Denklemlerinin Çözümü 
Dalga yayılımının 1x  yönünde olduğu kabul edilirse mekanik yerdeğiştirme ve elektrik 
potansiyeli 
 
2
2
2
(1)
1 1
(1)
2 1
1
sin( )
cos
cos( )
bkx
bkx
bkx
u Ae kx t
u Be kx t
Ce kx t


 
 
 
 
 (8) 
şeklinde ifade edilebilir. Burada ,  ve CA B  sabitler, k  dalga sayısı,   açısal frekans, b  
belirlenecek parametredir. 
(3)’teki denklemleri (2)’deki denklemlere yazarak mekanik yerdeğiştirmeler ve elektrik 
potansiyeli cinsinden elektromekanik hareket denklemleri aşağıdaki gibi elde edilmiştir: 
     
    
(1), (1) (1) (1) (1) (1)
11 1,11 44 1,22 13 44 2,12 15 31 ,12 1
(1) (1), (1) (1) (1) (1)
13 44 1,12 44 2,11 33 2,22 15 ,11 33 ,22 2
(1) (1) (1)
15 31 1,12 15 2,11 33 2,
0
11
22 11 1
1
1 3
0
1
, 3
c u c u c c u e e u
c c u c u c u e e u
e e u e u e u


 
  
   
     
     
    


,22 0
 (9) 
(8)’deki ifadeleri (9)’daki denklemlere yazarak b ’nin belirlenmesi için aşağıdaki denklemler 
elde edilmiştir: 
 
Akbarov, Kurt ve Sezer  
24 
XVIII. Ulusal Mekanik Kongresi 
   
   
     
2
(1), 2 (1)
11 44 13 44 15 312
2
(1), 2 (1) 2
13 44 44 33 15 332
2 2
15 31 15
0
33 33 11
11
0
11
0
0
0
c c b A c c bB e e bC
k
c c bA c c b B e e b C
k
e e bA e e b B b C





                
  








 (10) 
,  ve CA B sabitlerinin sıfır olmayan çözümü katsayılar matrisinin determinantının sıfır 
olmasını gerektirir. Bir c k  değeri için 6 adet b  kökü vardır ve bunlar piezoelektrik örtü 
tabakasında yayılan dalga bileşenlerini temsil eder.  
3.2 Elastik Yarı Düzlemin Dalga Hareket Denklemlerinin Çözümü 
Yarı düzlemin bünye denklemleri Murnaghan potansiyeli ile verilmiştir: 
   2 31 2 1 1 2 312 3 3a cA A A b A A A         (11) 
Burada,  ve    Lame sabitleri, ,  ve ca b  üçüncü mertebeden elastik sabitler, 1 2 3,  ve A A A  
sırasıyla Green şekil değiştirme tansörünün birinci, ikinci ve üçüncü invariyantlarıdır. Bu 
invariyantlar aşağıdaki gibi verilmektedir. 
     
       
1 11 22
2 2 2
2 11 12 22
3 2 3
3 11 12 11 22 22
2
3
A
A
A
 
  
    
 
  
   
  (12) 
Burada: 
1
2
ji n n
ij
j i j i
uu u u
x x x x
            
  (13) 
Gerilme tansörü bileşenlerinin   (11) potansiyeli ve (13) şekildeğiştirmelerle olan 
1
2ij ij ji
  
        
  (14) 
ifadesini doğrusallaştırırsak, yarı düzlem için lineerleştirilmiş bünye denklemleri 
(2) (2)
11 1
(2
1 21 2
)
1 1 2A A     , (2) (2)12 1(2 1 22 2)2 2 2A A     , (2)(2)12 12 122    (15) 
şeklinde elde edilir. Burada: 
 
Akbarov, Kurt ve Sezer  
25 
XVIII. Ulusal Mekanik Kongresi 
   
   
 
(2),0
(2),0 11
11 11
0
(2),0
11
22
0
(2),0
(2),0 11
12 11
0
(2),0 (2),0
11 11
12
0 0
212 (2 ) 2
2 2
22 2
3 2
2
3
2
3 4 3
A b c a b b c
K
A a b b c
K
bA a b
K
b c
K K
    
   
   
     
                           
 (16) 
Dalga yayılımının 1x  yönünde olduğu kabul edilerek mekanik yerdeğiştirmeler 
  22
(2) (2)
1 1 1
(2) (2)
2 2 1
sin( )
cos( )
u x kx
u x kx
t
t






  (17) 
şeklinde ifade edilmiştir. (1), (2) ve (15)-(17) kullanılarak aşağıdaki denklemler elde 
edilmiştir: 
   
   
(2) (2)
(2)1 2
1
(2) (
2
21 212
22
2
22 222
22
2)
(2)2 1
2
0
0
d db c
d kxd kx
d db c
d kxd kx
 
 
  
  
 (18) 
Burada: 
(2),0 (2) 2
11 11 12 12
21 212
12 12 12 12
(2),0 (2) 2
12 11 12 12
22 222
22 22 22 22
 , 
 , 
A Ab c
k
Ab c
A A A k A
  
   
   
     
    
  (19) 
Denklemler düzenlendikten sonra (2) (2)1 2ve    için aşağıdaki denklemler elde edilmiştir: 
   
   
4 2
2 24 2
(2) (2)
(2)2 2
2
(2) (2)
(2)1 1
2 2
4 2
2 2
2
14 2
2
0
0
d dB C
d kx d kx
d dB C
d kx d kx
  
  
  
  
 (20) 
Burada: 
2 21 22 21 22 2 21 22 , B b b c c C b b      (21) 
(19)’daki denklemlerin çözümleri aşağıdaki gibi belirlenmiştir: 
  
1 2 2 2
1 2 2 2
(2)
1
(2)
2
2 1 2
2 1 2
R kx R kx
R kx R kx
x Y e Y e
x Z e Z e


 
   (22) 
Burada: 
 
Akbarov, Kurt ve Sezer  
26 
XVIII. Ulusal Mekanik Kongresi 
2 2
2 2 2 2
1 2 2 2 , 2 2 2 2
B B B BR C R C                   (23) 
Yukarıdaki çözümleri kullanarak (4)-(7)’den uygun dispersiyon denklemleri elde edilmiştir. 
Bu denklemin nümerik çözümü sonucunda dispersiyon eğrileri bulunmuş ve problem 
parametrelerinin bu eğrilere etkisi incelenmiştir. 
4. SAYISAL SONUÇLAR VE DEĞERLENDİRME 
Tablo 1. PZT ve alüminyum malzeme özellikleri [4] 
 PZT Alüminyum 
ρ (x103 kg/m3) 7.5 2.7 
c11 (x1010 N/m2) 13.2 10.2 
c33 (x1010 N/m2) 11.5 10.2 
c44 (x1010 N/m2) 2.6 2.6 
c13 (x1010 N/m2) 7.3 5.0 
e15 (C/m2) 10.5 - 
e33 (C/m2) 14.1 - 
e31 (C/m2) -4.1 - 
ε11 (x10-9 F/m) 7.1 - 
ε33 (x10-9 F/m) 5.8 - 
a (x105 Mpa) - 3.08 
b (x105 Mpa) - -0.49 
c (x105 Mpa) - -2.92 
λ (x104 Mpa) - 5.0 
μ (x104 Mpa) - 2.6 
Tablo 1’de verilen malzeme özellikleri kullanılarak ön gerilmesiz ve ön gerilmeli durumlarda 
ilk dört moda ait dispersiyon eğrileri ayrı ayrı bulunmuştur. Bu amaçla piezoelektrik örtü 
tabakası ile yarı düzlemden oluşan sistemin dispersiyon eğrilerine ait ilk dört mod Şekil 2’de 
gösterilmekte olup sonuçlar [4] makalesinde elde edilen sonuçlarla çakışmaktadır. Bu çakışma 
sayısal sonuçların elde edilmesinde kullanılan program ve algoritmanın doğru olduğunu 
göstermektedir. Şekil 2’de c k  olmak üzere dalga yayılım hızını 
 (1) 2 (1)2 44 15 11c c e     ise piezoelektrik örtü tabakasına ait enine dalga yayılım hızını 
göstermektedir. 
 
Akbarov, Kurt ve Sezer  
27 
XVIII. Ulusal Mekanik Kongresi 
 
Şekil 2. İlk dört moda ait dispersiyon eğrileri 
(1) (1),0
11 44c   ve (2) (2),011    boyutsuz parametreleri ve  c c c   notasyonu 
kullanılmaktadır. Burada c ön gerilmesiz durumdaki dalga yayılım hızını ve c  ise ön 
gerilmeli durumdaki dalga yayılım hızını göstermektedir. 
 
Şekil 3. Yarı düzleme etkiyen basınç ön gerilmesinin 1. Moda ait dispersiyon eğrisine etkisi 
 
Akbarov, Kurt ve Sezer  
28 
XVIII. Ulusal Mekanik Kongresi 
Şekil 3-6 yarı düzlemdeki basınç ön gerilmelerin sistemin ön gerilmesiz durumundaki ilk dört 
moda ait dalga dispersiyon eğrilerine etkilerini göstermektedir. Bu şekillerde kalın çizgiler 
yarı düzlem malzemesinin üçüncü mertebeden elastik sabitlerinin göz önüne alındığı duruma 
karşılık gelmekte olup genelleştirilmiş Rayleigh dalgalarının hızının arttığını, ince çizgiler ise 
üçüncü mertebeden elastik sabitlerinin göz önüne alınmadığı duruma karşılık gelmekte olup 
genelleştirilmiş Rayleigh dalgalarının hızının azaldığını göstermektedir. 
 
Şekil 4. Yarı düzleme etkiyen basınç ön gerilmesinin 2. Moda ait dispersiyon eğrisine etkisi 
 
Şekil 5. Yarı düzleme etkiyen basınç ön gerilmesinin 3. Moda ait dispersiyon eğrisine etkisi 
 
Akbarov, Kurt ve Sezer  
29 
XVIII. Ulusal Mekanik Kongresi 
 
Şekil 6. Yarı düzleme etkiyen basınç ön gerilmesinin 4. Moda ait dispersiyon eğrisine etkisi 
5. SONUÇ 
Yapılan çalışmada, homojen yayılı normal ön gerilmelerin yarı düzlem ve piezoelektrik örtü 
tabakasından oluşan sisteme ait dispersiyon eğrilerine etkisi incelenmiştir. Sonuç olarak yarı 
düzlemdeki basınç ön gerilmeleri yarı düzleme ait üçüncü mertebe elastik sabitler göz önüne 
alındığında Rayleigh dalgalarının yayılma hızını artırır, üçüncü mertebe elastik sabitler göz 
önüne alınmadığında ise Rayleigh dalgalarının yayılma hızını azaltır. 
KAYNAKLAR 
[1] Akbarov, S.D., Ozisik, M., “The Influence of the Third Order Elastic Constants to the 
Generalized Rayleigh Wave Dispersion in a Pre-stressed Stratified Half-plane”, International 
Journal of Engineering Science, 41, 2047-2061, 2003. 
[2] Tolstoy, I., Usdin, E., “Dispersive properties of stratified elastic and liquid media: A ray 
theory”, Geophysics, 18, 844–870, 1953. 
[3] Eringen, A.C., Suhubi, E.S., “Elastodynamics, Volume II, Linear Theory”, Academic 
Press, 1975. 
[4] Jin, J., Wang, Q., Quek, S.T., “Lamb Wave Propagation in a metallic Semi-infinite 
Medium Covered with Piezoelectric Layer”, International Journal of Solids Structures, 39, 
2547-2556, 2002. 


Ön Gerilmeli Piezoelektrik Örtü Tabakası Ve Ön Gerilmeli Elastik Yarı Düzlemden Oluşan Sistemde Genelleştirilmiş Rayleigh Dalgalarının Dispersiyonu

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Ulusal Üniversitelerarası Açık Erişim Sistemi - İstanbul Teknik Üniversitesi