M-矩阵代数Riccati方程是近年来受到关注的一类非线性矩阵方程.由于广泛的应用背景，得到了深入的研究，出现了一系列优美的理论结果与数值算法.本文对M-矩阵代数Riccati方程的数值算法进行了研究，得到了一些比之前的方法数值效果更好的算法.主要内容包括: 第一章，简单介绍了M-矩阵代数Riccati方程的相关理论与数值算法，并对相关的预备知识也作了简要说明.主要内容包括M-矩阵代数Riccati方程的应用背景与研究进展，M-矩阵与一般矩阵方程的基本知识，M-矩阵代数Riccati方程的理论结果以及若干数值解法. 第二章，对交替线性化隐式迭代法(ALI)进行了推广和改进，得到了一个更适用...Research on the theories and the efficient numerical methods of M-matrix algebraic Riccati equation (MARE) has become a hot topic in recent years, due to its broad applications. In this thesis, some improvements of the numerical methods are obtained and new methods for MARE are proposed. The outline of the thesis is as follows: In Chapter 1, some basic results of MARE, including the background, t...学位：理学博士院系专业：数学科学学院_计算数学学号：1902013015416

关晋瑞

Xiamen University Institutional Repository

学校编码：10384 分类号 密级学号：19020130154160 UDC博 士 学 位 论 文M-矩阵代数 Riccati方程数值解的研究Research on the Numerical Methods ofM-matrix Algebraic Riccati Equation关晋瑞指导教师姓名： 卢 琳 璋 教授专 业 名 称： 计 算 数 学论文提交日期： 2016 年 4 月论文答辩日期： 2016 年 5 月学位授予日期： 2016 年 月答辩委员会主席：评 阅 人：2016年 4月厦门大学博硕士论文摘要库厦门大学博硕士论文摘要库厦门大学学位论文原创性声明兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。声明人（签名）：年 月 日厦门大学博硕士论文摘要库厦门大学博硕士论文摘要库厦门大学学位论文著作权使用声明本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。本学位论文属于　　1、保密 （ ），在 年解密后适用本授权书。　　2、不保密（ ）作者签名： 日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日厦门大学博硕士论文摘要库厦门大学博硕士论文摘要库中文摘要中文摘要M-矩阵代数 Riccati 方程是近年来受到关注的一类非线性矩阵方程. 由于广泛的应用背景, 得到了深入的研究, 出现了一系列优美的理论结果与数值算法. 本文对 M-矩阵代数 Riccati 方程的数值算法进行了研究, 得到了一些比之前的方法数值效果更好的算法. 主要内容包括:第一章, 简单介绍了 M-矩阵代数 Riccati 方程的相关理论与数值算法, 并对相关的预备知识也作了简要说明. 主要内容包括 M-矩阵代数 Riccati 方程的应用背景与研究进展, M-矩阵与一般矩阵方程的基本知识, M-矩阵代数 Riccati 方程的理论结果以及若干数值解法.第二章, 对交替线性化隐式迭代法 (ALI) 进行了推广和改进, 得到了一个更适用于M-矩阵代数 Riccati 方程应用实例的算法――改进的交替线性化隐式迭代法 (MALI). 理论分析及数值实验表明, 改进的交替线性化隐式迭代法相比交替线性化隐式迭代法无论在理论还是数值上都具有优势.第三章, 考虑了由交替线性化隐式迭代法而得到的两个线性化隐式迭代法, 给出完整的收敛性分析以及最优参数选取方法, 进而提出一类选择方向的线性化隐式迭代法(DCLI). 数值实验表明, 选择方向的线性化隐式迭代法是求解 M-矩阵代数 Riccati 方程的一类比较好的方法.第四章,利用交替线性化隐式迭代法的思想,提出一类新的求解M-矩阵代数 Riccati方程的交替线性化隐式迭代法 (NALI). 给出了新方法的收敛性分析, 并讨论了相应的两个线性化隐式迭代法. 理论分析和数值实验表明新方法具有一定的优势.第五章, 保结构加倍算法是目前求解 M-矩阵代数 Riccati 方程的最佳的一类方法.本章对其中一个算法进行了改进, 使之能够适应比较广泛的一类 M-矩阵代数 Riccati 方程. 理论分析和数值实验表明这种改进具有较好的理论意义和数值效果.第六章, 总结和展望了 M-矩阵代数 Riccati 方程的一些方法与课题.关键词：M-矩阵代数 Riccati 方程; 最小非负解; Newton 迭代法; 交替线性化隐式迭代法; 保结构加倍算法I厦门大学博硕士论文摘要库厦门大学博硕士论文摘要库AbstractAbstractResearch on the theories and the efficient numerical methods of M-matrix algebraicRiccati equation (MARE) has become a hot topic in recent years, due to its broad ap-plications. In this thesis, some improvements of the numerical methods are obtained andnew methods for MARE are proposed. The outline of the thesis is as follows:In Chapter 1, some basic results of MARE, including the background, theory andnumerical methods, are reviewed. Some definitions and preliminaries are also given, whichwill be used later.In Chapter 2, based on the alternately linearized implicit iteration method (ALI), amodified ALI (MALI) iteration method is proposed, which includes two parameters thatcan be tailored to reflect individual characteristic of each iteration direction. Convergenceof the MALI method is guaranteed for the MARE with a nonsingular M-matrix or anirreducible singular M-matrix. Theoretic analysis and numerical experiments are given toshow that the MALI method can outperform the ALI method.Single direction LI iterations are analyzed in Chapter 3, and a direction chosen LI(DCLI) iteration method is proposed. Numerical examples are given to show that theDCLI method is more efficient than the ALI method in some cases.In Chapter 4, a new alternately linearized implicit iteration method (NALI) is pro-posed for computing the minimal nonnegative solution of MARE. Convergence of theNALI method is proved by choosing proper parameters for the nonsingular M-matrix orirreducible singular M-matrix. Theoretical analysis and numerical experiments show thatthe NALI method is more efficient than the ALI method in some cases.Structure-preserving doubling algorithms (SDA) are the best methods for solvingMARE. In Chapter 5, the SDA-ss method proposed by Bini, Meini and Poloni is modifiedso that it is more efficient for solving some types of MARE. Theoretical analysis andnumerical experiments are given to show that our modification can improve SDA-ss insome cases.Conclusions are drawn in Chapter 6, and future researches are also given.Key words: M-matrix algebraic Riccati equation; minimal nonnegative solution; New-ton method; ALI method; SDAIII厦门大学博硕士论文摘要库厦门大学博硕士论文摘要库目 录目 录中文摘要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I英文摘要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III中文目录 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V英文目录 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII第 一 章 M-矩阵代数 Riccati 方程简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 应用背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 研究进展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 预备知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 理论结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 数值算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9第 二 章 改进的交替线性化隐式迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1 改进的交替线性化隐式迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 收敛性分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 收敛率的比较 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 数值实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26第 三 章 选择方向的线性化隐式迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1 两类线性化隐式迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 选择方向的线性化隐式迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 数值实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40第 四 章 一类新的交替线性化隐式迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1 新的交替线性化隐式迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 收敛性分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3 两个线性化隐式迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 数值实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55V厦门大学博硕士论文摘要库目 录第 五 章 一个保结构加倍算法的改进 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 改进的 SDA-ss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3 收敛率的比较 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.4 数值实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67第 六 章 总结和展望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.1 总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 将来的工作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79在学期间发表的学术论文与研究成果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85致谢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87VI厦门大学博硕士论文摘要库ContentsContentsChinese Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IEnglish Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IIIChinese Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VEnglish Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII1 An introduction to MARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Background of MARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Advances of MARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Theories of MARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Numerical methods for MARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Modified alternately linearized implicit iteration for MARE 172.1 MALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Convergence analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Comparison of convergence rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Direction chosen linearized implicit iteration for MARE . . 333.1 Two LI methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 DCLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 New alternately linearized implicit iteration for MARE . . . 474.1 NALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Convergence analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3 Two LI methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55VII厦门大学博硕士论文摘要库Contents5 A modified SDA method for MARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 MSDA-ss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3 Comparison of convergence rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.4 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 Concluding remarks and future work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.1 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 Future work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Major Academic Achievements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87VIII厦门大学博硕士论文摘要库第一章 M-矩阵代数 Riccati 方程简介第一章 M-矩阵代数 Riccati 方程简介本章对 M-矩阵代数 Riccati 方程的相关理论与数值算法作简单介绍, 并对要用到的预备知识作简要说明, 以便于后面讨论. 主要内容包括 M-矩阵代数 Riccati 方程的应用背景与研究进展, M-矩阵与一般矩阵方程的基本知识, M-矩阵代数 Riccati 方程的理论结果, 以及 M-矩阵代数 Riccati 方程的若干数值解法.1.1 应用背景矩阵方程是数值线性代数中的一个重要研究课题. 近几十年来, 矩阵方程的研究主要集中于 Sylvester 方程, Lyapunov 方程, 连续型和离散型代数 Riccati 方程这几类方程上. 这些方程的理论及数值解法可参考专著 [1–4].非对称代数 Riccati 方程 (NARE) 是指如下形式的一类非线性矩阵方程,𝑋𝐶𝑋 −𝑋𝐷 − 𝐴𝑋 +𝐵 = 0, (1-1)其中 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 是已知的实矩阵, 阶数分别为 𝑚×𝑚, 𝑚× 𝑛, 𝑛×𝑚, 𝑛× 𝑛, 𝑋 ∈ R𝑚×𝑛是未知矩阵. 对于方程 (1-1), 记𝐾 =⎛⎝ 𝐷 −𝐶−𝐵 𝐴⎞⎠ . (1-2)我们有下面这个定义.定义 1.1： 对于非对称代数 Riccati 方程 (1-1), 若由 (1-2) 所定义的 𝐾 是 M-矩阵, 则称这种类型的非对称代数 Riccati 方程为 M-矩阵代数 Riccati 方程, 简记为 MARE.本文中, 我们只研究 M-矩阵代数 Riccati 方程, 而不涉及一般的非对称代数 Riccati 方程. M-矩阵代数 Riccati 方程产生于众多的应用领域, 其中最典型的两个例子来自于对粒子输运问题以及 Markov 链的 Wiener-Hopf 分解的研究 [5–17].在粒子输运理论中, 描述一组中子输运过程的方程在经过数值积分离散后就得到如(1-1) 形式的方程, 其中𝐴 = Δ− 𝑒𝑞𝑇 , 𝐵 = 𝑒𝑒𝑇 , 𝐶 = 𝑞𝑞𝑇 , 𝐷 = Γ− 𝑞𝑒𝑇 ,而Δ = diag(𝛿1, 𝛿2, · · · , 𝛿𝑛), Γ = diag(𝛾1, 𝛾2, · · · , 𝛾𝑛),1厦门大学博硕士论文摘要库第一章 M-矩阵代数 Riccati 方程简介𝑒 = diag(1, 1, · · · , 1)𝑇 , 𝑞 = diag(𝑞1, 𝑞2, · · · , 𝑞𝑛)𝑇 .𝑞𝑖 =𝑐𝑖2𝜔𝑖, 0 < 𝜔𝑛 < · · · < 𝜔2 < 𝜔1 < 1, 𝑐𝑖 > 0,𝑛∑︁𝑖=1𝑐𝑖 = 1,𝛿𝑖 =1𝑐𝜔𝑖(1 + 𝛼), 𝛾𝑖 =1𝑐𝜔𝑖(1− 𝛼) , 0 < 𝑐 ≤ 1, 0 ≤ 𝛼 < 1.这样求解粒子输运散射函数的问题就转化为求解 M-矩阵代数 Riccati 方程的问题了.在 Markov 链的研究中, 需要对 Markov 链相应的矩阵进行 Wiener-Hopf 分解, 即对给定的矩阵𝑄 =⎛⎝ 𝐴 𝐵𝐶 𝐷⎞⎠ ,要求计算矩阵 𝑋, 𝑌,𝐺1, 𝐺2, 使得⎛⎝ 𝐴 𝐵−𝐶 −𝐷⎞⎠⎛⎝ 𝑋 𝐼𝐼 𝑌⎞⎠ =⎛⎝ 𝑋 𝐼𝐼 𝑌⎞⎠⎛⎝ −𝐺1−𝐺2⎞⎠ .比较等式的两端, 可得 𝑋, 𝑌,𝐺1, 𝐺2 满足如下的关系式𝑋𝐶𝑋 +𝑋𝐷 + 𝐴𝑋 +𝐵 = 0, 𝐺1 = 𝐷 + 𝐶𝑋,𝑌 𝐵𝑌 +𝐷𝑌 + 𝑌 𝐴+ 𝐶 = 0, 𝐺2 = 𝐴+𝐵𝑌.这样求 Markov 链 Wiener-Hopf 分解的问题就转化为求解 M-矩阵代数 Riccati 方程的问题了.关于粒子输运问题的 M-矩阵代数 Riccati 方程的详细介绍可参考文献 [10,18,19], 而关于 Markov 链 Wiener-Hopf 分解的 M-矩阵代数 Riccati 方程的详细介绍可参考文献 [9,11,15]. M-矩阵代数 Riccati 方程其他方面的应用背景可参考文献 [6–8,12,13,16,17]等等.1.2 研究进展近来, M-矩阵代数 Riccati 方程得到了深入的研究, 已经出现了大量的理论结果与数值算法. 这方面的详细内容可以参考专著 [4,20], 综述文献 [21], 以及博士论文 [22–24] 等等.一般来说方程 (1-1) 可能无解, 可能有解, 也可能有很多解, 但在实际应用中通常需要的只是方程 (1-1) 的最小非负解 (按元素最小的解). 最小非负解存在性的一般结果最早由 C.-H. Guo 于 2001 年给出 [11], 之后在文献 [25,26] 中得到进一步的补充完善. 最小非2厦门大学博硕士论文摘要库   Degree papers are in the “Xiamen University Electronic Theses and Dissertations Database”.  Fulltexts are available in the following ways: 1. If your library is a CALIS member libraries, please log on http://etd.calis.edu.cn/ and submit requests online, or consult the interlibrary loan department in your library. 2. For users of non-CALIS member libraries, please mail to etd@xmu.edu.cn for delivery details. 厦门大学博硕士论文摘要库

Research on the Numerical Methods of M-matrix Algebraic Riccati Equation

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/133905/M-%e7%9f%a9%e9%98%b5%e4%bb%a3%e6%95%b0%20Riccati%20%e6%96%b9%e7%a8%8b%e6%95%b0%e5%80%bc%e8%a7%a3%e7%9a%84%e7%a0%94%e7%a9%b6.pdf?sequence=1&isAllowed=y

Research on the Numerical Methods of M-matrix Algebraic Riccati Equation

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Xiamen University Institutional Repository