本文考虑在二维半无限长板上,一个不可压缩导电幂律流体在外加磁场下的MHD边界层问题。在适当的外流速度和外加磁场条件下，利用相似变换得到边界层问题的自相似解方程。在方程中让正参数固定在(0,1)范围，然后讨论λ是负值情况的相似解的存在性。利用Schauder不动点定理，Helly选择性定理得到与之等价积分方程的解的存在唯一性，并利用等价关系，得到当负参数在特定的范围内，MHD边界层方程的相似解方程的凸解，正则凸解，广义凸解的存在唯一性。In This paper, we consider a MHD boundary layer problem which arises in the steady two-dimensional laminar flow of an incompressible electrically conducting fluid over a semi-infinite flat plate with imposed magnetic field. Using similarty transformation, we obtain an ordinary differential equation which includes a positive parameter &micro; and another parameter λ. We investigate the problem fo...学位：理学硕士院系专业：数学科学学院_应用数学学号：1902012115249

吴佳仲

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学校编码：10384 分类号 密级学号：19020121152499 UDC硕 士 学 位 论 文带有负参数的幂律流体MHD边界层方程的自相似解的存在唯一性Existence and uniqueness of self-similarsolutions to the MHD boundary layerequations with a negative parameter forpower-law uids吴佳仲指导教师姓名： 张 中 新 教授专 业 名 称： 应 用 数 学论文提交日期： 2015 年 月论文答辩日期： 2015 年 月学位授予日期：答辩委员会主席：评 阅 人：2015 年 5 月厦门大学博硕士论文摘要库厦门大学学位论文原创性声明  本人呈交的学位论文是本人在导师指导下,独立完成的研究成果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和《厦门大学研究生学术活动规范（试行）》。 另外，该学位论文为（                            ）课题（组）的研究成果，获得（               ）课题（组）经费或实验室的资助，在（               ）实验室完成。（请在以上括号内填写课题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特别声明。）    声明人（签名）：           200   年   月   日 厦门大学博硕士论文摘要库厦门大学学位论文著作权使用声明本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。本学位论文属于　　1、保密 （ ），在 年解密后适用本授权书。　　2、不保密（ ）作者签名： 日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日厦门大学博硕士论文摘要库中文摘要中文摘要本文考虑在二维半无限长板上,一个不可压缩导电幂律流体在外加磁场下的MHD边界层问题。在适当的外流速度和外加磁场条件下，利用相似变换得到边界层问题的自相似解方程。在方程中让正参数 固定在(0; 1)范围，然后讨论 是负值情况的相似解的存在性。利用Schauder不动点定理，Helly 选择性定理得到与之等价积分方程的解的存在唯一性，并利用等价关系，得到当负参数在特定的范围内，MHD 边界层方程的相似解方程的凸解，正则凸解，广义凸解的存在唯一性。关键词：MHD边界层; 相似变换; 存在性; 唯一性; 重要积分方程; 正解; 凸解。I厦门大学博硕士论文摘要库AbstractAbstractIn This paper, we consider a MHD boundary layer problem which arises in thesteady two-dimensional laminar ow of an incompressible electrically conducting uidover a semi-innite at plate with imposed magnetic eld. Using similarty transforma-tion, we obtain an ordinary dierential equation which includes a positive parameter and another parameter . We investigate the problem for  < 0 and  2 (0; 1). Byusing the Schauder's xed point theorems and the Helly's alternative theorem, we provethe existence and uniqueness of the solutions for an importance integral equations. Byestablishing equivalence, we get the existence and uniqueness results for convex solutionand normal convex solution or generalized convex solution of the MHD boundary layerproblem，whose positive parameter lie in some interva and the negative parameters variesin some intervals.Key words: MHD boundary layer; similarity transformations; existence; uniqueness;importance integral equation; postive solution; convex solution.II厦门大学博硕士论文摘要库目 录目 录中文摘要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I英文摘要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II中文目录 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III英文目录 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV第 一 节 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1第 二 节 控制方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3第 三 节 一个重要的积分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7第 四 节 关于凸解的存在唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28致谢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30III厦门大学博硕士论文摘要库目 录ContentsChinese Abstract IEnglish Abstract IIChinese Contents IIIEnglish Contents IV1 Introduction 12 Governing equation 33 An important integral equation 74 Existence and uniqueness of convex solutions 23References 28Acknowledgements 30IV厦门大学博硕士论文摘要库第 一 节 引言第 一 节 引言MHD边界层在许多工程和科技领域有着广泛的应用。从磁流体发电，电磁流量计和磁流体动力泵，到聚合物生产[1-3]，冶金工业[2]，宇航工程中的磁流体力学发动机，再到飞行器磁流体力学的边界层控制，连续带冷却，纤维拉伸[4-5]等等。一般来说，在磁场的作用下。粘性流体在无限平板上的流动的控制体方程是非常复杂的。但借助于1904年Prandtl提出的边界层理论，即对于粘性较小的导电流体，粘性影响只局限在与毗邻固体表面一个非常薄的剪切力内，因此流动可以分为两个区域，毗邻边界层内粘性力占主导地位，流体应该看作有粘性的，远离边界层的粘性力可以忽略不计，流体可以看成无粘性的理想流体。这样粘性控制体方程从N-S方程简化到欧拉方程然后简化到边界层方程，使方程得到大大的简化。使磁边界层在数学上得到了长足的发展，具有重要的意义。基于边界层理论和磁场理论，MHD边界层流的研究近年来备受关注。许多数学模型被提出以解释MHD边界层流在不同条件下的特性。Paviov[6] 研究了一个导电流体在拉伸表面上运动所受到一个均匀横向磁场的影响。Wu[7]研究了磁流体流过二维稳定的平板时抽吸和注射对MHD的影响。Sarpkaya和Djuvic[9-10] 给出了MHD边界层流幂律流的模型. 朱婧[11] 研究了幂律流速度运动表面上磁流体在驻点附近的滑移流动。成果是可喜的。对于边界层方程，研究其解的存在唯一性是人们非常感兴趣的，最初我们接触到也比较熟悉的是关于牛顿流体,如Blasius 方程和Falkner-Skan 方程。我们研究的方法有数值模拟和相似变换, 打靶法[12]等, 更多的研究集中在数值近似方面。同时许多研究者也从理论方面研究了解的存在唯一性。比较典型的有Hartman, Guedda, Brighi, Mcled,Yang, P ade,等人（参见[12,13,14,15,24]及其参考文献）。对于非牛顿流体[9,10,16,17,21],对其边界层方程的研究相对困难, 目前对于非牛顿流体的研究主要集中在幂律流体，在1厦门大学博硕士论文摘要库第 一 节 引言这方面有着不少学者进行了数值研究，参见[9,17,18] 等。在数学理论研究方面也取得了一定成果[20,21,23]. 对于幂律流体的MHD边界层方程在数值研究和理论研究方面也取得了很好的结果。Ibrahim[22] 研究了一类幂律流体的MHD 边界层方程数值解，严辉，郭本铁[8] 研究了磁边界层方程解的近似求解方法, Hammouch[21]研究了几种边界条件下幂律流体的MHD 边界层的存在唯一性问题，Zhang[25,26] 对于幂律流体的MHD 方程研究了自相似解的存在唯一性，之后Zhang[23]研究了带有负参数的幂律流体边界层方程自相似解的存在性问题。对于幂律流体边界层问题的自相似解问题，参数为负值在航空学领域有着重要的意义，因此对于负参数问题的研究是很有必要的，对于牛顿流体相关的Falkner-Skan问题的研究[24],已有非常漂亮的结果，对于幂律流体相关对应的问题（对应于Falkner-Skan问题）的负参数问题[23]已经建立了存在唯一性结果。本文在此基础上对幂律流体的MHD边界层方程相似解问题，在参数 < 0时进行数学理论研究。我们首先在第二节先给出方程的数学模型推导过程。在第三节研究一个的重要的积分方程，建立解的存在唯一性，最后，在第四节，建立本文方程与前面的积分方程的等价关系，进一步给出相似解方程凸解，正则凸解和广义凸解的存在唯一性。2厦门大学博硕士论文摘要库第 二 节 控制方程第 二 节 控制方程我们首先考虑一个半无限平板上的流体的边界流动. 为此我们首先假设空间直角坐标系满足: x轴正向水平向右，y轴正向竖直向上。半平板上是不导电的水平薄板，它水平放置于zox平面上，它在z方向上理想化为无限长的。所在的坐标系为f(x; y; z)jx  0; y = 0; 1 < z < +1g。我们假设有不可压缩的导电流体沿平板流动，流体满足坐标y > 0，流体为幂律流体，这里只关心稳定的边界层流动。假设外加磁场 !B =    !B(x) = (0; B(x); 0)，它垂直于平板所在的平面，外加电场 !E =   !E(x) = (0; 0; E(x))垂直于磁场和x轴。假设磁雷诺系数很小，诱导磁场可以忽略不计。我们关心的是发生在薄板一个薄层内的边界层现象，假设流体密度为, 外流速度为U(x)平行于x轴，方向水平向右，在这种状况下，我们得到磁边界层的控制方程为。8>>>><>>>>:u@u@x+ v@u@y=k@@u@y n 1 @u@y@y+ 1@P (x)@x+1( !J  !B )x; x > 0; y > 0;@u@x+@v@y= 0; x > 0; y > 0:(2.1)第一个为动量方程，第二个为连续性方程边界条件为： 8>><>>:u(0; y) = 0; u(x; 0) = 0; v(x; 0) = 0;u(x; y)! U(x); x > 0; y ! +1:(2.2)其中u; v分别为速度向量在x; y轴上的投影， !J = ( !E +  !u   !B )为电流，(J B)x为 !J的x轴方向上对应的坐标。为常数为电导率，k > 0为相容系数，n为幂律指数,其中n > 1表示流体为膨胀流，n = 1为牛顿流体，0 < n < 1为逆速性流体。3厦门大学博硕士论文摘要库第 二 节 控制方程由前面假设有 !J = [0; 0; (E + uB)]:( !J  !B )x =  B(E + uB):由于在边界层的缘故,u(x; y) = U(x)因此(2.1)中的第一个变量为U(x)du(x)dx= 1@P (x)@x  B(E + U(x)B):代回（2.1）的第一个方程，删去@P (x)@x,因此我有8>>>><>>>>:u@u@x+ v@u@y=k@@u@y n 1 @u@y@y+ U(x)dUdx+ B2(x)(U   u); x > 0; y > 0;@u@x+@v@y= 0; x > 0; y > 0:(2.3)为了研究相似解，我们假设U(x)和B(x)为U = xm; B = xm 12 : (2.4)此处 > 0; 和m为常数。由[20]，我们知道在（2.5）的假设下，相似解的形式依赖于 = (2n  1)m+1  0。我们仅考虑 > 0情形。引入相似变换:x = x;  = yxm n+12 n(n+ 1)k 1n+1(2.5)其中称为相似变量，设流函数为'(x; y)，由流函数的定义有u =@'@y; v =  @'@x:4厦门大学博硕士论文摘要库第 二 节 控制方程代回（2.1）的动量方程得@'@y@2'@y@x  @'@x@2'@2y=k@'2'@2y n 1 '2'@2y@y+ UdUdx+B2(U   @'@y): (2.6)现设'(x; y) = xn+1(n+ 1)k2 n 1n+1f(): (2.7)则u(x; y) =@'@y= xmf(): (2.8)v(x; y) =  @'@x=   n+ 1xn+1 1(n+ 1)k2 n 1n+1(f() + f 0()): (2.9)其中 = m(n+ 1)  。则（2.3）的第二个方程自动满足，第一个方程化为n j f 00 jn 1 f 000 + f 00f + (1  f 02) + (1  f 0) = 0: (2.10)边界条件（2.2）化为f(0) = 0; f 0(0) = 0; f 0(+1) = 1: (2.11)这里 = m(n+ 1)=;  = (n+ 1)2=:当n = 1;  = 0时，（2.10）为著名的Falkner   Skan方程，此种条件下(2.10) (2.11)有着非常经典非常漂亮的理论结果，见[24]。对于 < 0最重要的结果为存在 2 ( 12; 0)，(2.10) (2.11)在 2 (; 0)有无穷个凸解， =  时，有唯一凸解， < 时没有凸解，证明非常复杂。对于n 6= 1;  = 0时，  0以及 < 0时，(2.10) (2.11)的问题[23,25,26]进行了详细的研究, 得到了很好的结果。5厦门大学博硕士论文摘要库第 二 节 控制方程对于n 6= 1;  > 0时,  0，已由Zhang[25,26]进行了研究。本文在[23,25,26]的基础上，在n > 0;  > 0，以及 < 0的情形下对(2.10) (2.11)进行数学理论的研究。为此，我们将在下一节讨论(2.10) (2.11)密切相关的积分方程，在最后一节建立关于(2.10) (2.11)的数学理论。6厦门大学博硕士论文摘要库第 三 节 一个重要的积分方程第 三 节 一个重要的积分方程为了更好研究方程(2.10) (2.11)，我们首先考虑下面的积分方程w(t) =Z 1t(1  s)(+ + s+ s)w(s)ds+ (1  t)Z t0sw(s)ds; t 2 (0; 1): (3.1)这里， = 1n, 如果w(t) 2 C[0; 1] \ C1(0; 1), w(t) > 0; t 2 (0; 1), 且满足（3.1），则称w(t)是（3.1）的正解。注：设f(t) = + + t+ t;  =   1+, 当0 <  < 1;  2 ( 1+2; )时, t 2 [0; 1], 易知0 <  < 1.定理 3.1： 设0 <  < 1;  2 ( 1+2; ), 对t 2 (0; 1)，假设w(t)是（3.1）的一个正解，则有 8>>>>>>><>>>>>>>:mt1+1 (1  t) 2+1  w(t) M(1  t) 2+1 ;  > 1;m(1  t)pt  w(t) M(1  t)(1 + j ln(1  t)j);  = 1;mt1+1 (1  t)  w(t) M(1  t); 0 <  < 1:(3.2)这里m =8>><>>:  +1 1(+ )minf1;    1g 1+1 ;  > 1;+1p (+ )( + 1); 0 <   1:M =8>><>>:+1q+1j 1j ++1qA(1+)2; 0 <  6= 1;pA+p2;  = 1:A = maxfj+ j; + 2+ 1g7厦门大学博硕士论文摘要库第 三 节 一个重要的积分方程证明： 设w(t)是（3.1）的一个正解，定义函数：P (t) =Z 1t(1  s)(+ + s+ s)w(s)ds; Q(t) =Z t0sw(s)ds: (3.3)则方程（3.1）可以改写成：w(t) = P (t) + (1  t)Q((t): (3.4)由于w(t)是正解，所以0  w(0) = P (0), 从而P (t)  0, 当t 2 [0; 1]则：w0(t) =  (1  t)(+ + t)w(t) Q(t)=  (1  t)(+ + t)w(t)  (1  t)Q(t)1  t  (1  t)(+ + t)w(s)  w(t)1  t :即w0(t)w(t)(1  t)+1   (1  t)(+ + t)(1  t)+1  w+1(t)(1  t)+2 : (3.5)对(3.5)两边从[0; t]积分，有Z t0w0(s)w(s)(1  s)+1 ds Z t0 (+ + s)(1  s) ds Z t0w+1(s)(1  s)+2ds;得w+1(t)( + 1)(1  t)+1  w+1(0) + 1Z t0 (+ + s)(1  s) ds; (3.6)即w+1(t)  ( + 1)(1  t)+1Z t0 (+ + s)(1  s) ds; (3.7)又因为 s > 0, 所以     s >    ，因此Z t0 (+ + s)(1  s) ds Z t0  (+ )(1  s) ds =  ( + )Z t01(1  s) ds; (3.8)所以w+1(t)   ( + 1)(1  t)+1(+ )Z t01(1  s) ds: (3.9)8厦门大学博硕士论文摘要库第 三 节 一个重要的积分方程当 > 1时，（3.9）表明w+1(t)   ( + 1)   1 (1  t)2(+ )[1  (1  t) 1]: (3.10)为了简化（3.10），设h(t) = 1  (1  t) 1  minf1;    1gt, 则有h(0) = 0; h(1) = 1 minf1;    1g; t 2 [0; 1]h0(0) = (   1) minf1;    1g  0; h00(t) =  (   1)(   2)(1  t) 3; t 2 [0; 1]所以h00(t)在[0; 1]是一个不变号，就有h0在[0; 1)上单调递增或单调递减，则h(t) > 0; t 2 [0; 1]) 1  (1  t) 1  minf1;    1gt，t 2 [0; 1].) w(t)  mt 1+1 (1  t) 2+1 ;其中m = ( + 1)   1 (+ )minf1;    1g 1+1:当 = 1时，（3.9）表明w2(t)   (+ )2(1  t)2f  ln(1  t)g   2(+ )t(1  t)2:即w(t) p 2t(+ )(1  t):当 2 (0; 1), 由(3.9)w+1(t)   ( + 1)(+ )(1  t)+1Z t01ds =  ( + 1)(+ )(1  t)+1t:即w(t)  +1p ( + 1)(+ )(1  t)t 1+1 :9厦门大学博硕士论文摘要库   Degree papers are in the “Xiamen University Electronic Theses and Dissertations Database”.  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Existence and uniqueness of self-similar solutions to the MHD boundary layer equation with a negative parameter for power-law fluids

http://dspace.xmu.edu.cn/bitstream/handle/2288/133915/%e5%b8%a6%e6%9c%89%e8%b4%9f%e5%8f%82%e6%95%b0%e7%9a%84%e5%b9%82%e5%be%8b%e6%b5%81%e4%bd%93MHD%e8%be%b9%e7%95%8c%e5%b1%82%e6%96%b9%e7%a8%8b%e7%9a%84%e8%87%aa%e7%9b%b8%e4%bc%bc%e8%a7%a3%e7%9a%84%e5%ad%98%e5%9c%a8%e5%94%af%e4%b8%80%e6%80%a7.pdf?sequence=1&isAllowed=y

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