International audienceCe papier traite le canal à relais. Il est une extension de [6] où on s'intéresse aux méthodes de recombinaison des signaux à la destination lorsque tous les relais utilisent la stratégie decode-and-forward. Contrairement à [6], la source et les relais ne sont plus contraints d'utiliser une modulation à deux états. On s'intéresse plus particulièrement au cas où le relais a de moins bonnes conditions de réception que la destination et la puissance de coopération est suffisamment grande. Dans ce cas, l'utilisation du Maximum Ratio Combining (MRC) conventionel dégrade sévèrement les performances à la destination. Pour cette raison nous présenterons ici le combineur optimal au sens de l'erreur quadratique moyenne (MMSE) et celui au sens du maximum de vraisemblance (ML) a¯n de tirer pro¯t de la coopération quelque soit le scénario des rapports signal-à-bruit (SNR)

Belmega, Elena Veronica

Djeumou, Brice

Lasaulce, Samson

HAL-CentraleSupelec

Recombinaison de signaux de´code´s et transfe´re´s pour lecanal a` relais a` division fre´quentielleBrice Djeumou, Elena Veronica Belmega, Samson LasaulceTo cite this version:Brice Djeumou, Elena Veronica Belmega, Samson Lasaulce. Recombinaison de signaux de´code´set transfe´re´s pour le canal a` relais a` division fre´quentielle. Groupe de Recherche et d’Etudesdu Traitement du Signal et des Images (GRETSI), Sep 2007, Troyes, France. 4 p., 2007.<hal-00361671>HAL Id: hal-00361671https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00361671Submitted on 16 Feb 2009HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.Recombinaison de signaux de´code´s et transfe´re´s pour lecanal a` relais a` division fre´quentielleBrice Djeumou,Veronica Belmega,Samson LasaulceLaboratoire des Signaux et Syste`mes, CNRS, Supe´lec, Paris 113 rue Joliot-Curie, 91192 Gif-sur-Yvette Cedex{djeumou,lasaulce,belmega}@lss.supelec.frRe´sume´ – Ce papier traite le canal a` relais. Il est une extension de [6] ou` on s’inte´resse aux me´thodes de recombinaison dessignaux a` la destination lorsque tous les relais utilisent la strate´gie decode-and-forward. Contrairement a` [6], la source et lesrelais ne sont plus contraints d’utiliser une modulation a` deux e´tats. On s’inte´resse plus particulie`rement au cas ou` le relais ade moins bonnes conditions de re´ception que la destination et la puissance de coope´ration est suffisamment grande. Dans ce cas,l’utilisation du Maximum Ratio Combining (MRC) conventionel de´grade se´ve`rement les performances a` la destination. Pour cetteraison nous pre´senterons ici le combineur optimal au sens de l’erreur quadratique moyenne (MMSE) et celui au sens du maximumde vraisemblance (ML) afin de tirer profit de la cooperation quelque soit le sce´nario des rapports signal-a`-bruit (SNR).Abstract – This paper is an extension of [6] where we investigate the different ways of combining signals that have beendecoded-and-forwarded by a bunch of relays. Here, unlikely in [6], the source and the relay are no longer constrained to usea 2-states modulation. We more deeply look at the case where the relays are in bad reception conditions and the cooperationpowers are sufficiently high. In this situation using a conventional MRC severely degrades the receiver performance. This is thereason why we present an MMSE combiner and used an ML combiner in order to almost always extract from the relaying nodessome performance improvements.1 IntroductionOn conside`re le canal a` relais gaussien a` trois terminaux(un e´metteur, un relais et un re´cepteur) pour lequel le si-gnal rec¸u par la destination de la part du relais est suppose´orthogonal fre´quentiellement a` celui rec¸u directement dela source [1]. Dans l’analyse originelle de type the´orie del’information du canal a` relais de Cover et El Gamal [2]les auteurs ont introduit une strate´gie de relayage appele´edecode-and-forward (DF) qui n’est applicable que si le re-lais se trouve dans de meilleures conditions de re´ceptionque la source. Bien que la strate´gie de codage the´oriqueimpose cette contrainte, on peut toujours appliquer l’ide´edu protocole DF pour n’importe quelle strate´gie pratiquede codage canal (e.g. codage convolutif). Cependant, sile relais a un mauvais rapport signal-a`-bruit (SNR) dere´ception, il peut en re´sulter une forte sous-optimalite´ aure´cepteur lorsqu’un recombineur classique de type maxi-mum ratio combining (MRC) est utilise´ au niveau de ladestination. Dans presque tous les travaux (exemple ty-pique [3]) de la litte´rature du domaine les auteurs sup-posent que le relais est dans de meilleures conditions quela source et utilisent un recombineur MRC au re´cepteurpour combiner les deux signaux en provenance de la sourceet du relais.Quelques travaux ont traite´ le proble`me de recombinai-son de signaux pour le protocole DF [4][5][6]. Dans [5]les auteurs proposent de ponde´rer les deux signaux rec¸uspar les poids (1, λ) et de de´terminer le parame`tre λ enminimisant la probabilite´ d’erreur brute (avant de´codagecanal) au re´cepteur. Cette solution a au moins deux in-conve´nients: l’expression de la probabilite´ d’erreur bruten’est pas souvent facile a` exprimer analytiquement en pra-tique et avoir un seul degre´ de liberte´ (i.e. λ) est d’au-tant plus sous-optimal en termes de taux d’erreurs bi-naires (BER) que les bruits des signaux rec¸us sont cor-rele´s avec le signal utile ou/et que ces bruits sont nongaussiens. Or l’utilisation du protocole DF conduit a` cettesituation. Dans [4] les auteurs ont propose´ un combineurau maximum de vraisemblance pour une source binaire(BPSK) en vue de proposer une strate´gie de relayage effi-cace e´nerge´tiquement pour les canaux a` e´vanouissements.Les auteurs de [6] ont utilise´ une ide´e similaire pour unesource binaire dans le cas du canal a` N relais et compare´cette approche avec des combineurs MRC et MMSE op-timise´s a` partir de la connaissance des statistiques sur leserreurs de de´codage. Le travail pre´sent correspond a` lage´ne´ralisation de [6] au cas plus de´licat ou` ni la source nile relais ne sont pas force´ment suppose´s utiliser des mo-dulations a` 2 e´tats. Nous commenc¸ons par de´finir notremode`le en Section 2. Puis nous pre´senterons le combineuroptimal au sens de l’erreur quadratique moyenne (MMSE)et celui au sens du maximum de vraisemblance (ML) enSection 3 et Section 4 respectivement. Les performancesde ces combineurs seront illustre´es en Section 5.2 Mode`le du syste`meTout d’abord pre´cisons quelques hypothe`ses de travailet quelques notations utilise´es dans ce re´sume´. Tous lescanaux mis en jeu sont suppose´s gaussiens. Les signauxe´mis par la source X et par le relais X12 sont soumis a`des contraintes de puissances: E|X|2 ≤ P , E|X12|2 ≤ P12.Les signaux rec¸us par le relais (Y1)et la destination (Y2,Y12) s’e´crivent comme suit:Y1 = X + Z1Y2 = X + Z2Y12 = X12 + Z12ou` Z1, Z2, Z12 sont des bruits gaussiens complexes centre´sde variances respectives N1, N2, N12. Nous supposons quele relais applique le protocole decode-and-forward. Le re-lais de´code le signal qu’il rec¸oit puis le re´-encode. Pourmode´liser les erreurs introduites par le relais nous utilise-rons le mode`le suivant: X12 = α1ǫ1X ou` α1 =√P12Pet ǫ1est une variable ale´atoire qui mode´lise les erreurs et telleque I(ǫ1;X) = 0. La relation X12 = α1ǫ1X sera valablepour le combineur MMSE. Pour le combineur ML, pour le-quel le relais pourra utiliser une modulation e´ventuellementdiffe´rente de celle de la source, cette relation deviendra:X12 = α1ǫ1Xr.3 Combineur MMSE pour les si-gnaux de´code´s et transfe´re´sComme nous l’avons souligne´ le combineur MRC peutinduire une forte perte de performances en re´ception carce combineur maximise le rapport signal-a`-bruit alors quele BER brut en sortie de combineur n’est pas toujours unefonction croissante du SNR a` cause des erreurs introduitespar le relais. Avec le mode`le d’erreur propose´, on identi-fie imme´diatement un proble`me d’e´galisation. Le relais secomporte comme un canal qui ne peut pas eˆtre connude manie`re instantane´e par le re´cepteur. Il est ne´anmoinsraisonnable de supposer le re´cepteur informe´ des statis-tiques de ces erreurs. On conside`re ainsi l’erreur quadra-tique moyenne sur X pour ainsi optimiser une me´triquede performance plus intimement lie´e au BER brut. Maisla` encore, bien que nos simulations nous aient montre´ uneame´lioration sensible par rapport au MRC, le BER n’estpas toujours une fonction croissante de la MSE. De plusle combineur MMSE ne peut eˆtre exprime´ que lorsque lerelais utilise la meˆme modulation que la source. Hormisces inconve´nients, le combineur line´aire MMSE a l’avan-tage d’eˆtre peu complexe et facilement ge´ne´ralisable a` desmode`les de canaux plus e´labore´s (multi-trajets, a` e´vanouissements,a` nombre de relais quelconques, etc.) Le combineur MMSEapplique le couple de poids wT = (w1, w2) au vecteur designaux rec¸us Y = [Y12, Y2]T . On peut montrer que lespoids qui minimisent E|wTY − X|2 peuvent s’exprimerpar: wmmse = R−1yy µ avec ∀(i, j) ∈ {1, 2}2,Ryy(i, j) =∣∣∣∣∣∣α2iE[|ǫi|2|X|2]+Ni si i = jαiαjE[ǫ∗i ǫj |X|2]si i 6= jet ∀i ∈ {1, 2}, µ(i) = αiE[ǫ∗i |X|2], avec α2 = 1, ǫ2 = 1.Pour une modulation de phase a` M e´tats (M-PSK) parexemple nous aurons E[|ǫ1|2|X2|] = E[|ǫ1|2]E[|X2|] = Pet E[ǫ1|X2|] = E[ǫ1]P avec E[ǫ1] = 1−2p pour M ∈ {2, 4}et E[ǫ1] ≃ 1 −52p pour M ≥ 8, p e´tant la probabilite´d’erreur binaire re´siduelle (apre`s re´-encodage) au niveaudu relais.4 Combineur ML pour les signauxde´code´s et transfe´re´sNous voulons maintenant exprimer le meilleur combi-neur au sens du maximum de vraisemblance. Ce com-bineur, non line´aire, a l’avantage d’optimiser un crite`rele plus lie´ possible au BER brut. Un autre avantage no-table est qu’il peut, contrairement aux combineurs MRCet MMSE, combiner des modulations diffe´rentes. Ceci estparticulie`rement inte´ressant car le protocole DF, contrai-rement au protocole amplify-and-forward (AF), permet aurelais d’utiliser une modulation e´ventuellement diffe´rentede celle de la source. En effet, contrairement au protocoleAF, la bande du signal de coope´ration Y12 n’a pas besoind’eˆtre e´gale a` la bande du signal direct Y2. Cela laisse doncun degre´ de liberte´ dans le choix des modulations. En fait,les modulations de la source et du relais doivent eˆtre com-patibles au sens du de´bit binaire (bit/s); ces conditionsde compatibilite´ seront fournies dans la version longue fi-nale de cet article. Nous les supposerons ve´rifie´es ici. Soitb la se´quence binaire repre´sentant un message a` trans-mettre. Sans perte de ge´ne´ralite´ nous supposerons ici quela bande des signaux descendants (i.e. celle de Y1 et Y2)est supe´rieure a` la bande du signal de coope´ration Y12.Dans ce cas, la compatibilite´ du de´bit d’information entrela source et le relais fait que la source va e´mettre plusieurssymboles (note´s X(1), ..., X(n) correspondant aux bits demessage b1, ..., bns) au cours de la dure´e symbole du re-lais. Chaque symbole X(i) e´mis a` la source est en relationbijective avec un nombre de bit s du message binaire a`transmettre ou` s de´pend du de´bit binaire fixe´ et de l’al-location de bande des signaux descendants (par exemples = 1 → pour une modulation BPSK a` la source). Lesyste`me d’e´quations des signaux rec¸us a` l’entre´e du com-bineur s’e´crit donc sous la forme:Y12 = α1ǫ1Xr + Z12Y(1)2 = X(1) + Z(1)2...Y(n)2 = X(n) + Z(n)2ou` le symbole du relais Xr est aussi en relation bijec-tive vecteur de symboles e´mis par la source c’est-a`-direX = (X(1), ..., X(n))T . En supposant l’inde´pendance desbruits Z12, Z(1)2 , ..., Z(n)2 nous pouvons de´velopper la vrai-semblance pML = p(y12, y(1)2 , ..., y(n)2 |b) comme suit:pML = p(y12, y(1)2 , ..., y(n)2 |b)= p(y12, y(1)2 , ..., y(n)2 |x)= p(y12|x)×n∏i=1p(y(i)2 |x(i))=Mr∑m=1Pr[ǫ1 = e1,m]p(y12|x, e1,m)×n∏i=1p(y(i)2 |x(i))(1)ou` Mr est la taille de la constellation utilise´e par lerelais et e1,m une re´alisation particulie`re de ǫ1. Avec cettee´criture on peut expliciter la vraisemblance puisque tousles bruits mis en jeu sont suppose´s gaussiens et blancs.On peut alors exprimer les rapports de vraisemblances(LLR) pour de´terminer les bits e´mis les plus probables(le raisonnement est analogue sur les symboles). Ainsi, lerapport de vraisemblance pour le bit bi ∈ b = {b1, ..., bns}s’exprime par :λ(bi) = log∑b∈S(i)1pML(y12, y(1)2 , . . . , y(n)2 |x(1), . . . , x(n))∑b∈S(i)0pML(y12, y(1)2 , . . . , y(n)2 |x(1), . . . , x(n))(2)ou` les ensembles S(i)1 et S(i)0 sont deux partitions binairestelles que: S(i)1 = {(b1, . . . , bns) ∈ {0, 1}ns |bi = 1} et S(i)0 ={(b1, . . . , bns) ∈ {0, 1}ns |bi = 0} . Si λ(bi) > 0, on de´cidebˆi = 1 et bˆi = 0 sinon.5 SimulationsLes simulations sont effectue´es sur des canaux gaus-siens en absence de codage canal. Le de´codage corres-pond donc a` une simple de´modulation. Les conclusionsqui seront tire´es pourront s’e´tendre au moins au cas code´a` de´cisions fermes. Pour tous les cas conside´re´s l’effica-cite´ spectrale est maintenue a` 1 bpuc: sans coope´ration lasource utilise une BPSK alors qu’avec coope´ration (bandedescendante divise´e par 2) la source utilise une 4-QAM.On s’inte´resse au taux d’erreur binaire (BER) en sortiede chaque combineur. La figure 1 repre´sente les perfor-mances des diffe´rents combineurs en fonction de la puis-sance d’e´mission a` la source en pre´sence d’un bon relais(meilleur SNR de re´ception par rapport a` la destination).On se place dans des conditions telles que le re´cepteur etle relais soient colocalise´s (SNR de re´ception e´leve´ sur lelien de coope´ration). On distingue deux cas: le premier ou`la puissance de coope´ration est insuffisante et le deuxie`meou` cette puissance est assez importante. On rappelle quele SNR conside´re´ est le SNR symbole. Les performances deces diffe´rents combineurs s’e´galisent lorsque la puissancede coope´ration devient insuffisante. D’une fac¸on ge´ne´rale,le ML est le combineur ayant les meilleures performances.Cette conclusion se confirme sur les figure 2 et figure 3repre´sentant les performances des diffe´rents combineursen fonction de la puissance d’e´mission en pre´sence d’unrelais ”moyen” et d’un ”mauvais” relais respectivement.La puissance au relais est suffisante. Le combineur ML aun gain pouvant de´passer 2 dB sur la puissance d’e´missiona` la source par rapport au combineur MMSE. Cet gainest d’autant plus important que les SNRs de re´ception durelais et de la destination sont proches. Contrairement aucombineur MRC, les combineurs ML et MMSE permettenttoujours de tirer profit de la coope´ration (on continue a`ame´liorer la qualite´ du de´codage au re´cepteur) meˆme enpre´sence d’un ”mauvais” relais ou` le MRC de´grade les per-formances. Ceci se confirme sur la figure 4 repre´sentant lesperformances des diffe´rents combineurs en fonction de lapuissance sur le lien de coope´ration. On se place encoredans le cas ou` le SNR au relais est bien moins bon que ce-lui du lien source-destination. On remarque que le MRCde´grade les performances car il ne tient pas compte des er-reurs de de´codage au relais. L’inte´reˆt des combineurs MLet MMSE apparaˆıt assez nettement.−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 210−310−210−1SNRsd  [dB]BERSNRsr = SNRsd +  5  [dB]  Récepteur sans coopRX en mode coop avec MRC conventionnelRX en mode coop avec MMSERX en mode coop avec MLSchéma SIMOSNRrd = 30 dBSNRrd = 0 dBFig. 1: Comparaison des combineurs vs la puissanced’e´mission a` la source avec un ”bon” relais−2 0 2 4 6 810−410−310−210−1SNRsd  [dB]BERSNRsr = SNRsd  &  SNRrd =  30 [dB]  RX without coopRelayRX with the classical MRCRX with MMSERX with MLSIMO boundFig. 2: Comparaison des combineurs vs la puissanced’e´mission a` la source avec un relais ”moyen”1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1110−410−310−210−1SNRsd  [dB]BERSNRsr = SNRsd − 5   &   SNRrd =  30 [dB]  RelayRX with the classical MRCRX without coopRX with MMSERX with MLSIMO boundFig. 3: Comparaison des combineurs vs la puissanced’e´mission a` la source avec un ”mauvais” relais−5 0 5 10 1510−410−310−2SNRrd  [dB]BERSNRsd =  7  [dB]  &   SNRsr =  2  [dB]  RelaiRX en mode coop avec MRC conventionnelRécepteurRX en mode coop avec MMSERX en mode coop avec MLBorne SIMOFig. 4: Comparaison des combineurs vs la puissance decompe´rationRe´fe´rences[1] A. A. El Gamal, M. Mohseni and S. Zahedi, “Boundson capacity and minimum energy-per-bit for AWGNrelay channels”, IEEE Trans. on Information Theory,Vol. 52, Issue 4, April 2006, pp. 1545–1561.[2] T. M. Cover and A. A. El Gamal, “Capacity theoremsfor the relay channel”, IEEE Trans. Inform. Theory,Vol. 25, Issue 5, Sep. 1979, pp. 572–584.[3] B. Zhao and M. C. Valenti, ”Distributed turbo codeddiversity for the relay channel”, IEE Electronics Let-ters, Vol.39, May 2003, pp. 786–787.[4] N. Laneman and G. Wornell, “Energy-efficient an-tenna sharing and relaying for wireless networks”,Proc. of IEEE Wireless Communications and Networ-king Conference (WCNC), Vol.1, Sep. 2000, pp. 7–12.[5] A. Sendonaris, E. Erkip and B. Aazhang, ”User coope-ration diversity-Part II: Implementation aspects andperformance analysis”, IEEE Trans. on Communica-tions, Vol. 51, Issue 11, Nov. 2003, pp. 1939–1948.[6] B. Djeumou, S. Lasaulce and A. G. Klein “Combiningdecoded-and-forwarded signals in Gaussian coopera-tive channels”, IEEE Proc. of ISSPIT, Aug. 2006,pp. 622–627.

Recombinaison de signaux décodés et transférés pour le canal à relais à division fréquentielle

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