ACCCette note a pour but d'établir les expressions analytiques utilisées dans le code BETA[1] pour caratériser le mouvement des particules autour de l'orbite fermée chromatique dans un cyclotron. Elle détaille des calculs effectués depuis dix ans. Le formalisme utilisé est celui des aberrations au second ordre développé pour le code TRANSPORT[2]. Il conduit aux expressions de la fonction dispersion au second ordre. Des chromaticités au premier ordre et du "momentum compaction" au second ordre en fonction des termes de la matrice de transfert de la maille au second ordre

Lachaize, A.

Tkatchenko, A.

HAL-IN2P3

Mouvement de particules autour de l’orbite ferme´echromatique dans un synchrotronA. Lachaize, A. TkatchenkoTo cite this version:A. Lachaize, A. Tkatchenko. Mouvement de particules autour de l’orbite ferme´e chromatiquedans un synchrotron. 2007, pp.11. <in2p3-00137682>HAL Id: in2p3-00137682http://hal.in2p3.fr/in2p3-00137682Submitted on 21 Mar 2007HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.IPN 07-02Mouvement des particules autour de l’orbiteferme´e chromatique dans un synchrotronA. Lachaize et A. TkatchenkoCNRS/IN2P3/IPNO, Orsay, France28 fe´vrier 200711 IntroductionCette note a pour but d’e´tablir les expressions analytiques utilise´es dans le codeBETA [1] pour caracte´riser le mouvement des particules autour de l’orbite ferme´e chro-matique dans un synchrotron. Elle de´taille des calculs effectue´s il y a plus d’une dizained’anne´es mais non publie´s alors. Le formalisme utilise´ est celui des aberrations au secondordre de´veloppe´ pour le code TRANSPORT [2]. Il conduit aux expressions de la fonctiondispersion au second ordre, des chromaticite´s au premier ordre et du « momentum com-paction »au second ordre en fonction des termes de la matrice de transfert de la mailleau second ordre.On retrouve ainsi certains re´sultats connus et publie´s ante´rieurement [3], [4], [5]. Deplus, cette approche permet d’obtenir une expression analytique explicite du momentumcompaction au second ordre.2 Matrice de transfert pour le mouvement autourde l’orbite ferme´e chromatiqueDans les notations du code TRANSPORT, les coordonne´es d’une particule (x, θ, z, ϕ, l, δ)par rapport a` la trajectoire centrale en un azimut s d’une maille s’expriment en fonc-tion des coordonne´es (x0, θ0, z0, ϕ0, l0, δ0) a` l’origine de cette maille sous la forme d’unde´veloppement au second ordre et prenant en compte l’existence d’un plan d’antisyme´triepour les champs.x(s) = r11x0 + r12θ0 + r16δ (1)+t111x02 + t112x0θ0 + t122θ02+t116x0δ + t126θ0δ + t166δ2+t133z02 + t134z0ϕ0 + t144ϕ02θ(s) = r21x0 + r22θ0 + r26δ (2)+t211x02 + t212x0θ0 + t222θ02+t216x0δ + t226θ0δ + t266δ2+t233z02 + t234z0ϕ0 + t244ϕ02z(s) = r33z0 + r34ϕ0 (3)+t313x0z0 + t314x0ϕ0 + t323θ0z0+t324ϕ0θ0 + t336z0δ + t346ϕ0δ2ϕ(s) = r43z0 + r44θ0 (4)+t413x0z0 + t414x0ϕ0 + t423θ0z0+t424ϕ0θ0 + t436z0δ + t446ϕ0δDans ces expressions, les termes rij et tijk sont des fonctions de la coordonne´e lon-gitudinale s et on a pris en compte le fait que la re´fe´rence e´tait inscrite dans le planhorizontal qui est un plan d’antisyme´trie pour les champs de guidage et de focalisation.Conside´rons maintenant une particule pre´sentant un e´cart δ relatif en impulsion parrapport a` la particule de re´fe´rence et oscillant autour d’une orbite ferme´e chromatiquexc(s) inscrite elle aussi dans le plan horizontal.En introduisant les e´carts x¯, θ¯, z¯, ϕ¯, δ¯ caracte´risant le mouvement autour de l’orbiteferme´e xc(s), on peut e´crire :x(s) = xc(s) + x¯(s), θ(s) = θc(s) + θ¯(s), δ = δc + δ¯ (5)z(s) = z¯(s), ϕ(s) = ϕ¯(s)Il vient alors :x¯(s) = x¯0[r11 + 2t111xc0 + t112θc0 + t116δc] (6)+θ¯0[r12 + t112xc0 + 2t122θc0 + t126δc]+δ¯[r16 + t116xc0 + t126θc0 + 2t166δc]θ¯(s) = x¯0[r21 + 2t211xc0 + t212θc0 + t216δc] (7)+θ¯0[r22 + t212xc0 + 2t222θc0 + t226δc]+δ¯[r26 + t216xc0 + t226θc0 + 2t266δc]z¯(s) = z¯0[r33 + t313xc0 + t323θc0 + t336δc] (8)+ϕ¯0[r34 + t314xc0 + t324θc0 + t346δc]ϕ¯(s) = z¯0[r43 + t413xc0 + t423θc0 + t436δc] (9)+ϕ¯0[r44 + t414xc0 + t424θc0 + t446δc]3Ici, les quantite´s xc0, θc0, δc caracte´risent l’orbite ferme´e chromatique au premier ordrea` l’origine de la maille et s’e´crivent :xc0 = D10δc, θc0 = D′10δcou` D10 et D′10sont la fonction dispersion au premier ordre et sa de´rive´e par rapporta` s a` l’origine de la maille.3 Variation des nombres d’onde et des parame`tresde Twiss en fonction de l’e´cart relatif δ en impul-sion (chromaticite´ au premier ordre en δ)Les expressions montrent que le mouvement des particules pre´sentant un e´cart enimpulsion peut-eˆtre de´crit, autour de l’orbite ferme´e chromatique, par une matrice detransfert dont les termes R¯ij s’e´crivent :R¯ij = Rij + ∆Rijou` Rij correspond a` la matrice de transfert au premier ordre d’une maille pour lemouvement autour de la trajectoire de re´fe´rence et ∆Rij traduit l’influence des termesdu second ordre.Sachant que les nombres d’onde νx, νz et les fonctions optiques βx, βz, αx, αz peuvent eˆtrede´termine´s a` partir des termes de la matrice de transfert d’une pe´riode dans un synchro-tron, il est imme´diat de de´duire leur variation pour le mouvement autour de l’orbiteferme´e chromatique.En effet, en e´crivant :R11 + R22 = 2cosµx0, R33 + R44 = 2cosµz0 (10)pour le mouvement autour de l’orbite de re´fe´rence.R¯11 + R¯22 = 2cosµx = 2cos(µx0 + ∆µx), R¯33 + R¯44 = 2cosµz = 2cos(µz0 + ∆µz) (11)pour le mouvement autour de l’orbite ferme´e chromatique et :4∆νx =N∆µx2pi, ∆νz =N∆µz2pi(12)on trouve, apre`s quelques calculs e´le´mentaires :∆νx = −N4pisinµx0[∆R11 + ∆R22] (13)∆νz = −N4pisinµx0[∆R33 + ∆R44] (14)∆βx =∆R12sinµx0−2piNβx0∆νxcotgµx0 (15)∆βz =∆R34sinµx0−2piNβz0∆νzcotgµz0 (16)∆αx =12sinµx0[∆R11 −∆R22 − 2αx02piN∆νxcosµx0] (17)∆αz =12sinµz0[∆R33 −∆R44 − 2αz02piN∆νzcosµz0] (18)Dans ces expressions, µx0 et µz0 sont les avances de phase betatron sur une maillepour le mouvement autour de la re´fe´rence, βx0, βx0, αx0, αx0 sont les fonctions optiquesassocie´es a` l’origine de la maille et N est le nombre de mailles. Les termes Rij sont lescoefficients de la matrice de transfert de la maille.Les termes ∆Rij caracte´risent la modification des coefficients de la matrice de transfertd’une pe´riode lorsqu’on de´crit le mouvement des particules autour de leur orbite ferme´echromatique. Ils sont donne´s par :∆R11 + ∆R22 = δc[D10(2T111 + T212) + D′10(T112 + 2T222) + T116 + T226] (19)∆R33 + ∆R44 = δc[D10(T313 + T414) + D′10(T323 + T424) + T336 + T446] (20)∆R12 = δc[D10T112 + 2D′10T122 + T126] (21)∆R34 = δc[D10T314 + D′10T324 + T346] (22)5∆R21 = δc[2D10T211 + D′10T221 + T216] (23)∆R43 = δc[D10T413 + 2D′10T423 + T436] (24)∆R11 −∆R22 = δc[D10(2T111 − T212) + D′10(T112 − 2T222) + T116 − T226] (25)∆R33 −∆R44 = δc[D10(T313 − T414) + D′10(T323 − T424) + T336 − T446] (26)ou` les termes Tijk sont eux aussi repre´sentatifs de la matrice de transfert de la mailleau second ordre.4 Fonction dispersion au second ordreAu second ordre, l’orbite ferme´e chromatique xc(s) et sa pente θc(s) a` l’origine d’unemaille s’e´crivent :xc(0) = D10δc + D20δ2c (27)θc(0) = D′10δc + D′20δ2c (28)Imposer la fermeture de l’orbite sur une pe´riode revient a` e´crire les relations suivantesou` δc a` e´te´ remplace´ par δ pour alle´ger l’e´criture :D10δ + D20δ2 = R11(D10δ + D20δ2) + R12(D′10δ + D′20δ2) + R16δ (29)+T111(D10δ + D20δ2)2 + T112(D10δ + D20δ2)(D′10δ + D′20δ2)+T122(D′10δ + D′20δ2)2 + T116(D10δ + D20δ2)δ+T126(D′10δ + D′20δ2)δ + T166δ2D′10δ + D′20δ2 = R21(D10δ + D20δ2) + R22(D′10δ + D′20δ2) + R26δ (30)+T211(D10δ + D20δ2)2 + T212(D10δ + D20δ2)(D′10δ + D′20δ2)+T222(D′10δ + D′20δ2)2 + T216(D10δ + D20δ2)δ+T226(D′10δ + D′20δ2)δ + T266δ26En re´solvant le syste`me forme´ par ces deux e´quations et en se´parant les termes en δet en δ2, il vient :D10 =(1−R22)R16 + R12R262(1− cosµx0)(31)D′10=(1−R11)R26 + R21R162(1− cosµz0)(32)D20 =12(1− cosµx0){R12T266 + (1−R22)T166 (33)+[R12T216 + (1−R22)T116]D10+[R12T226 + (1−R22)T126]D′10+[R12T211 + (1−R22)T111]D210+[R12T222 + (1−R22)T122]D′210+[R12T212 + (1−R22)T112]D10D′10}D′20=12(1− cosµx0){R21T166 + (1−R11)T266 (34)+[R21T116 + (1−R11)T216]D10+[R21T126 + (1−R11)T226]D′10+[R21T111 + (1−R11)T211]D210+[R21T122 + (1−R11)T222]D′210+[R21T112 + (1−R11)T212]D10D′10}Comme dans le paragraphe pre´ce´dent, toutes les quantite´s Rij et Tijk repre´sentent lamatrice de transfert d’une maille.75 Facteur de compression des moments (momentumcompaction) au second ordreConnaissant la fonction dispersion au premier et au second ordre a` l’origine d’unemaille, il est possible de calculer l’orbite ferme´e chromatique xc(s) en tout points del’acce´le´rateur en posant :xc(s) = D1(s)δ + D2(s)δ2 (35)θc(s) = D′1(s)δ + D′2(s)δ2 (36)avec :D1(s) = r11D10 + r12D′10+ r16D2(s) = r11D20 + r12D′20+ t111D210+ t112D10D′10(37)+t122D′210+ t116D10 + t126D′10+ t166D′1(s) = r21D10 + r22D′10+ r26D′2(s) = r21D20 + r22D′20+ t211D210+ t212D10D′10(38)+t222D′210+ t216D10 + t226D′10+ t266Ou`, ici, les termes rij et tijk sont des fonctions de la coordonne´e longitudinale s.Inte´ressons-nous maintenant a` la diffe´rence de longueur l sur une maille entre uneorbite ferme´e chromatique (L) et l’orbite de re´fe´rence (L0) .On a :8l = L− L0 =∫ L00[h(s)xc(s) +θ2c (s)2]ds (39)Ou` h(s) est la courbure locale de l’orbite de re´fe´rence.En introduisant les e´quations 35 et 36 dans l’e´quation 39 il vient :l =∫ L00h(r11D10 + r12D′10+ r16)δds (40)+∫ L00D210[ht111 +r2122]δ2ds+∫ L00D′210[ht122 +r2222]δ2ds+∫ L00D10D′10[ht112 + r21r22]δ2ds+∫ L00D10[ht116 + r21r26]δ2ds+∫ L00D′10[ht126 + r22r26]δ2ds+∫ L00[ht166 +r2262]δ2ds+∫ L00[r11D20 + r12D′20]δ2dsSous forme plus concise, avec les notations TRANSPORT, ces expressions peuvents’e´crire :l = [R51D10 + R52D′10+ R56]δ + [R51D20 + R52D′20]δ2 (41)+[T511D210+ T522D′210+ T512D10D′10+ T516D10 + T526D′10+ T566]δ29Finalement, en introduisant la notion de « momentum compaction », l’e´quation 41s’e´crit :l = L0(α1δ + α2δ2)avec :α1 =1L0[R51D10 + R52D′10+ R56] (42)α2 =1L0[R51D20 + R52D′20+ T511D210+ T522D′210(43)+T512D10D′10+ T516D10 + T526D′10+ T566]6 ConclusionLe formalisme des aberrations au second ordre permet de de´terminer des expressionsanalytiques explicites pour caracte´riser au premier ou au second ordre en δ le comporte-ment des faisceaux pre´sentant une dispersion en impulsion.La minimisation des perturbations chromatiques se re´duit alors a` la minimisation destermes du second ordre Tijk qui sont lie´s entre eux par les conditions de symplecticite´.10Re´fe´rences[1] J.Payet Code BETA, LNS version ; ftp ://ftp.cea.fr/incoming/y2k01/beta[2] K.L.Brown A first and second order matrix theory for the design of beam transportsystems and charged particles spectrometers., SLAC Report N˚ 75 (1967)[3] J-L.Laclare Etude des aberrations de second ordre dans les syste`mes optiques avecapplications a` l’e´jection re´sonnante dans les acce´le´rateurs circulaires, The`se de laFaculte´ de Paris-XI 1970[4] G.Leleux, D.Poirier, A.Tkatchenko Le glissement des nombres d’ondes en fonctionde la quantite´ de mouvement dans MIMAS, Rapport interne MIMAS 83/01- TP/031983[5] M.G Nagaenko,Y.P Servergin, I.A. Shukeilo Proceedings of the 12th InternationalConference on High Energy Accelerators, Fermilab- August 198311

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