Stabilité locale et montée en ordre pour la reconstruction de quantités volumes finis sur maillages coniques non-structurés en dimension 2

Abstract

We are interested here in the third order extension both on the geometric description of the cells (curved edge with conical section) and on the reconstructed physical fields. The edges are parameterized by rational quadratic Bezier curves, the reconstructions of the unknowns are obtained by a least squares method.We then apply these ingredients in finite volume nodal and edges schemes for the conservative transport equation ∂t ρ + ∇ · (aρ) = 0, where a(t,x) is a divergence free velocity field.We study the limitation process APITALI (A Posteriori ITerAtive LImiter) allowing the numerical scheme based on the reconstruction of order 3 to fullfill a stability property. A study is made on a volume and/or mass quantity. The concept of real degree of reconstruction allows to define a decreasing sequence (mono index) with real value allowing to lower the degree more regularly than a rough truncation of the degree (n to n-1: like MOOD).We also compare finite volume nodal schemes on polygonal and degenerate conics(which are not identical!). The latter, unlike the former, allow an increase to order 3 (in L1 norm).On s'intéresse ici au passage à l'ordre 3 à la fois sur la description géométrique des cellules (bord courbe à section conique) et sur les champs physiques reconstruits. Les arêtes sont représentées par des courbes de Béziers rationnelles quadratiques, les reconstructions des inconnuessont elles obtenues par une méthode aux moindres carrés.On applique alors ces ingrédients dans des schémas volumes finis aux nœuds et aux arêtes pour l’équation de transportconservative ∂t ρ + ∇ · (aρ) = 0, où a(t, x) est un champ de vitesse à divergence nulle. Nous étudions le processus de limitation APITALI (A Posteriori ITerAtive LImiter) permettant au schéma numérique basé sur la reconstruction d’ordre 3 de vérifier une propriété de stabilité. Une étude est faite sur une quantité volumique et/ou massique. La notion de degré réel de reconstruction permet de définir une suite (mono indice) décroissante à valeur réelle permettant d'abaisser le degré de manière plus régulière qu'une troncature brutale du degré (n à n-1 : à l'instar de MOOD).Nous comparons également les schémas volumes finis aux nœuds polygonaux et les schéma coniques dégénérés (qui ne sont pas identiques!). Ces derniers au contraire des premiers permettent une montée à l'ordre 3 (en norme L1)