Best, Mareike

Bikner-Ahsbahs, Angelika

Eldorado - Repository of the TU Dortmund

In Institut für Mathematik und Informatik Heidelberg (Hrsg.), Beiträge zum Mathema-tikunterricht 2016      –          : WTM-Verlag  Mareike BEST, Angelika BIKNER-AHSBAHS, Universität Bremen „From past to future“ – wie der Vorunterricht das Lernen beschränkt. Di  C  a iv  U i  „Fachbezogene Bildungsprozesse in Transformation“ (FaBiT)1 ist ein interdisziplinärer Verbund von FachdidaktikerInnen, der Wandel im Fachunterricht mittels Design-Based Research untersucht. Das Mathematikprojekt (vgl. Bikner-Ahsbahs, Thode & Best, 2015) in diesem Verbund erforscht, wie Wandel des Funktionskonzepts in der Einführungs-phase der Oberstufe (E-Phase) gestaltet werden kann. Methodologische Ba-sis für dieses Projekt ist das Bremer Modell zum Design-Based Research, eine Variante des Dortmunder Modells (Prediger et al., 2012). Das Bremer Modell greift fünf Kernbereiche auf  (Peters & Róviro, 2016). Ausgangs-punkt für den Designprozess ist ein Handlungsdruck, dem eine Klärung des Designkontextes folgt, d.h. der Lernbedingungen und des entsprechenden Fachdiskurses. Die Designzyklen bestehen aus drei Schritten: Restrukturie-rung des Designgegenstandes, zu dem der Lerngegenstand gehört und der Gegenstand, an dem gelernt wird; das ist die Basis für eine Revision der Designkonzeption und die Entwicklung von Hypothesen, Designprinzipien oder auch hypothetischen Lernpfaden, die in der Designerprobung empi-risch geprüft werden. Wir gehen davon aus, dass Theoriekonstruktion in jedem der Schritte mitgedacht wird. Nach einer gewissen Sättigung sollte es gelingen, einen Theoriebaustein empirisch begründet zu extrahieren und ein typisches Referenzdesign zu definieren. Dieser Prozess wird in ein Sys-tem von Institutionsschichten eingebettet, die den Wandel prinzipiell be-schränken und deshalb mitgedacht werden müssen. Institutionelle Be-schränkungen können mithilfe von Praxeologien (Bosch & Gascón 2014) beschrieben werden. Diese sind gekennzeichnet durch typische Aufgaben und Techniken der Bearbeitung der Aufgaben sowie durch diskursive Be-standteile: die Technologie begründet die Technik und die Theorie ist die zugrunde liegende Philosophie der Technologie.       Lernende kommen mit einem äußerst fragmentierten Funktionsverständnis in die E-Phase. Entwickelt werden soll ein Design, das diese Fragmentie-rung überwindet: Angestrebt wird, den Umgang mit Funktionen zu flexibi-lisieren. Aufgrund der sehr heterogenen Schülerschaft sind diese Prozesse jedoch kaum vorhersehbar. Deshalb wird in dem Designprozess die Frage untersucht, welche Bedingungen diesen Prozess fördern oder behindern. Flexibilität meint: „Abili    o  hif  fl  ibl  ac o   diff      p   p c iv  “ (Ellis 2011, S. 226). Als Perspektiven betrachten wir Diagramme, Parame-ter und Variablen, Funktionen und ihre Aspekte, Kontexte. Potenzial für  eine solche Flexibilisierung enthalten Formeln für Flächeninhalte oder Vo-lumina, etwa das Kegelvolumen. Letzteres beschreibt in Abhängigkeit von der Höhe bei konstantem Radius einen linearen Zusammenhang. In diesem Fall ist der Radius ein Parameter und die Höhe die Funktionsvariable. Ist der Radius die Variable und die Höhe ein Parameter, dann wird der Zu-sammenhang quadratisch. Zugleich ändern sich die Variablenaspekte: Be-reichsaspekt und Einzelaspekt tauschen ihre Rollen im Term.   Abb.1: Formel und Funktionen Als Einführungsdesign erwies sich die Formel des Kegelvolumens in den Designexperimenten als viel zu komplex. Deshalb wurde die Flächenin-haltsberechnung von Rechtecken für das Klassenexperiment in der E-Phase verwendet. Gemäß dem Conceptual blending (Fauconnier & Turner 2003) wurden Role-ups wie z.B. Kleberollen als materielle Repräsentationen ge-nutzt, um variable Flächeninhalte zu illustrieren und einen flexiblen Ge-brauch von Funktionen zu praktizieren. Sie dienten als generische, reale Modelle für die funktionale Interpretation der Formel zum Flächeninhalt.  Designerprobung Abb. 2: Arbeitsblatt  Das obige Arbeitsblatt wurde zu Beginn der E-Phase eingesetzt. Eine ge-meinsame Sammelphase an der Tafel stellte mögliche Formeln und Dar-stellungsformen (Wertetabelle, Graph, Skizzen, Formeln) bereit. Die an-schließende schriftliche Bearbeitung führte zu folgenden Ergebnissen.   Abb. 3 Zur Rekonstruktion von Techniken  Die Aufgabe „G aph   da    ll  “ illu   i   , w lch  Techniken Lernende aus der Sekundarstufe mitbringen: Die äquidistante Skalierung wird zu-nächst konstant und dann nicht äquidistant beschriftet. Punkte werden ge-radlinig verbunden, auch bei quadratischen Zusammenhängen. Konventio-nen in der Verwendung von Koordinatensystemen werden nicht befolgt. Die Zahlen werden wie in der Aufgabe vorgegeben übergetragen, zunächst nur die gewählte Zahl 8 (cm), dann die vorgegebenen in der gegebenen Reihenfolge. Es scheint als gäbe es folgende Technologie/Theorie: Was ich tun soll, zeigt die Lehrkraft mit den angegebenen Zahlen an, deshalb kann man die Zahlen einfach übertragen (im Sine von woanders hinschreiben). Abb. 4 Zur Rekonstruktion von Technologien  Der gleiche Schüler bearbeitet die obigen Aufgaben, die den Umgang mit Begründungen und Regelmäßigkeiten als Grundlage für die Technologie und die Theorie prüft.  Je mehr … desto mehr … wird mit der Eigenschaft proportional verbunden. Die Aufgabe g) wird nicht beantwortet, d.h. ähnli-che  Regelmäßigkeiten werden hier nicht angegeben. Stattdessen wird er-gänzt, dass die Breite konstant bleibt, ein wichtiger Aspekt für die hier vor-liegende Proportionalität, aber keine Antwort auf die Aufgabe. Der gleiche  Schüler lässt die Interpretation der Kovariation (Abb.4, rechts) aus, be-schreibt nur die Pfeile zur Zuordnung als Ablesen der Wertetabelle. Er ak-tiviert also gewohnte, nicht zur Frage passende Deutungsmuster.  Die Lösungen der Aufgaben legen die Vermutung nahe, dass dieser Schüler singuläre, gewohnte Bestandteile aktiviert und bearbeitet, zuweilen auch unpassend. Begründungen und Muster scheinen  ich d    a im  „ein Be-  a d  il g   g “ u    zuo d    u d nicht vollumfänglich zur Technologie zu gehören. Wir erhalten individuelle Spuren von Praxeologien (preaxeo-logische Equipments), die vermischt mit individuellen Erfahrungen und Sichtweisen als Gewohnheit aus der Sekundarstufe 1 mitgebracht werden. Dieser Befund passt zu einer Rekonstruktion aus den Zuliefererschulen: Die betreffende Lehrerin unterrichtet nach der Maxime, wenn du Konzepte lehrst, dann lehre seine Teile und vereinfache so weit wie möglich. Es ent-stehen sich spiegelnde praxeologische Equipments von Schüler und Lehr-kraft, die den angelegten Wandel in der E-Phase beschränken.  Wenn Flexibilisierung bei Lernenden erzielt werden soll, dann müssen neue Lehrkraft und Lernende ihre praxeologischen Hindernisse überwinden und eine gemeinsame, neue Praxeologie aufbauen.  1 Creative Unit (www.uni-bremen.de/cu-fabit), gefördert von der Exzellenzinititive des BMBF Literatur Bikner-Ahsbahs, A., Thode, D. & Best, M. (2015). Funktionsverständnis im Übergang zur Sekundarstufe II. Beiträge für den Mathematikunterricht, Vortrag auf der Jahres-tagung 2015 in Basel, Schweiz. Bosch, M. & Gacòn, J. (2014). Introduction to the Anthropological Theory of the Di-dactic (ATD). In A. Bikner-Ahsbahs, und S. Prediger (Eds.), Networking of Theories as a Research Practice in Mathematics Education (pp. 67-83), Advances in Mathe-matics Education. New York: Springer. Ellis, A. (2011). Algebra in the Middle-School: Developing Functional Relationships Through Quantitative Reasoning. In Jinfa Cai und Eric Knuth (Eds.), Early Algebra-ization. A Dialogue from multiple perspectives (pp. 215—238), Advances in Math-ematic Education. New York: Springer  Fauconnier, G. & Tuner, M. (2003). Conceptual Blending, Form and Meaning. Recherches en communication Nr. 19 (n.p.). Retrieved 01.07.2015 from: http://tecfa.unige.ch/tecfa/maltt/cofor-1/textes/Fauconnier-Turner03.pdf.  Peters, M. & Róviro, B. (2016, im Druck). Introduction and Methodology. In Sabine Doff und Regine Komoss (Hrsg.). How  does change happen? Wandel im Fachun-terricht analysieren und gestalten. NewYork, Berlin, Heidelberg: Springer. Prediger, S. , Link., M., Hinz, R., Hussmann, & S., Ralle, B. & Thiele, J. (2012). Lehr-Lernprozesse initiieren und erforschen. MNU 65/8 (pp. 452–457). Neuss: Verlag Klaus Seeberger. 

„From past to future“ – wie der Vorunterricht das Lernen beschränkt.

https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/35542/1/BzMU16%20BIKNER%20Praxelogie.pdf

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