Rolfes, Tobias

Roth, Jürgen

Schnotz, Wolfgang

Eldorado - Ressourcen aus und für Lehre, Studium und Forschung

In Institut für Mathematik und Informatik Heidelberg (Hrsg.), Beiträge zum Mathema-
tikunterricht 2016 (S. x–y). Münster: WTM-Verlag 
 
Tobias ROLFES, Jürgen ROTH, Wolfgang SCHNOTZ, Landau 
Der Einfluss von Repräsentationsformen auf die Lösung von 
Aufgaben zu funktionalen Zusammenhängen 
Ein mathematisches Objekt ist nur über eine Repräsentation zugänglich 
(Duval, 2006). Diese Erkenntnis induziert die Frage, ob es unterschiedlich 
„vorteilhafte“ Repräsentationsform für den Umgang mit mathematischen 
Objekten gibt. Nach Larkin und Simon (1987) ist eine Repräsentation nut-
zungseffizienter, wenn die relevanten Informationen schneller und einfa-
cher als einer anderen Repräsentation entnommen werden kann. Die Reprä-
sentation mit der höchsten Nutzungseffizienz ist die „beste“ Repräsentati-
onsform für die Aufgabe. 
Vergleich der Repräsentationsformen Graph und Wertetabelle 
Graphen und Wertetabellen sind zwei 
übliche Repräsentationsformen von 
funktionalen Zusammenhängen. Wainer 
(1992) behauptet, dass Graphen gut ver-
ständlich seien, da Menschen gut darin 
seien, Dinge zu sehen. Beispielsweise 
könne bereits ein Kind erkennen, dass 
ein Drittel eines Kuchens größer als ein 
Viertel eines Kuchens ist, lang bevor es beurteilen könne, dass der Bruch 
1/3 größer als 1/4 ist. Allerdings stellen wohlbekannte Beispiele von verzerr-
ten visuellen Wahrnehmungen (z.B. Abb. 1) Wainers Überzeugung zumin-
dest in seiner Allgemeinheit infrage. Die Beurteilung, ob 19/60 oder 20/60 ei-
nes Kuchens größer ist, lässt sich mit einer Bruchdarstellung schneller und 
zweifelsfreier beurteilen als anhand der realen Kuchenstücke. 
Aufgrund dieser ambivalenten Ergebnisse über die mentale Verarbeitung 
von visuellen Eindrücken war das Hauptziel der Untersuchung, den Ein-
fluss von Graphen auf das Lösen von Aufgaben zum funktionalen Zusam-
menhang zu untersuchen. Als kontrastierende Repräsentationsform wurde 
die Wertetabelle ausgewählt, da sie eine ausschließlich symbolische Reprä-
sentationsform darstellt. 
Da die Nutzungseffizienz einer Repräsentationsform von der Anforderung 
abhängt, wurden unterschiedliche Aufgabenkategorien identifiziert. Zu-
nächst wurde zwischen einer quantitativen und einer qualitative Analyse 
eines funktionalen Zusammenhangs unterschieden. Eine quantitative Ana-
lyse liegt vor, wenn bei Verwendung des Graphen konkrete Funktionswerte 
entnommen werden müssen, um beispielsweise eine Änderungsrate zu be-
 
Abbildung 1: Die untere Linie er-
scheint länger als die obere, obwohl 
beide Linien die gleiche Länge ha-
ben (Müller-Lyer, 1889) 
 rechnen. Bei Items dieser Itemkategorie K1 ist anzunehmen, dass die Wer-
tetabelle nutzungseffizienter als ein Graph ist, da die benötigten Funkti-
onswerte in der Tabelle explizit in symbolischer Form dargeboten werden.  
Eine qualitative 
Analyse liegt 
nach unserer De-
finition vor, wenn 
die Aufgabe an-
hand der Form 
des Graphen ge-
löst werden kann, 
d.h. wenn bei 
Verwendung des 
Graphen keine 
konkreten Funk-
tionswerte ent-
nommen werden 
müssen. Entspre-
chend der darge-
stellten Erkennt-
nissen zur mentalen Verarbeitung von visuellen Eindrücken vermuten wir, 
dass es einen Unterschied macht, ob bei der qualitativen Analyse die Form 
des Graphen genau inspiziert werden muss (Itemkategorie K2) oder eine 
grobe Inspektion des Graphen ausreicht (Itemkategorie K3). Ist eine genau 
Inspektion des Graphen zur Lösung der Aufgabe anhand der Form des 
Graphen notwendig, so kann es zu Wahrnehmungsverzerrung wie in 
Abb. 1 kommen. In diesem Fall ist die Arbeit mit konkreten Zahlenwerten 
anhand der Tabelle fehlerfreier und nutzungseffizienter. Wenn dagegen die 
benötigte visuelle Eigenschaft des Graphen zur Lösung der Aufgabe relativ 
einfach erkennbar ist, muss die Form des Graphen nur grob inspiziert wer-
den. Daher sollte für diese Itemkategorie K3 der Graph nutzungseffizienter 
als die Tabelle sein. 
Methode 
N = 377 Schülerinnen und Schüler aus zehn sechsten Klassen und fünf 
siebten Klassen in sechs Schulen (Gymnasium und IGS) in Rheinland-Pfalz 
nahmen an der Untersuchung teil. Der Papier-Bleistift-Test bestand aus 
insgesamt 24 Items der drei Itemkategorien zu drei unterschiedlichen funk-
tionalen Zusammenhängen. Jedes Testlet war entweder mit einer Tabelle 
oder einem Graph begleitet. Die Schülerinnen und Schüler wurden zufällig 
einer Experimentalgruppe zugeordnet. 
 
Abbildung 2: Itemkategorien und Hypothesen zu Aufgaben 
zum funktionalen Zusammenhang 
 Die Zuordnung der qualitativen Items zu den Kategorien K2 und K3 wurde 
auf der Grundlage eines Ratings mit fünf Experten durchgeführt. Unter-
schiede in den Itemschwierigkeiten wurden mit Hilfe des linear-
logistischen Testmodells (LLTM) nach Fischer (1995) modelliert. Vor 
Anwendung des LLTM wurde die grundsätzliche Raschskalierbarbeit der 
Items vor allem durch Untersuchung der Itemtrennschärfe und der INFIT-
Werte bestätigt. 
Ergebnisse 
Bei den zwölf Items der Itemkategorie K1 gab es bei acht Items keine sig-
nifikanten Schwierigkeitsunterschiede zwischen Tabellen- und Graph-
Items (vgl. Tab. 1). Bei drei Items war entsprechend der Hypothese die Ta-
belle signifikant leichter als der Graph. Bei einem Item war entgegen der 
Hypothese der Graph signifikant leichter als die Tabelle. Bei den Items der 
zweiten Kategorie waren alle Ergebnisse hypothesenkonform, da bei alle 
sieben Items die Tabelle leichter als der Graph war. Bei den fünf Items der 
Kategorie K3 gab es bei drei Items hypothesenkonforme signifikante Un-
terschiede (G ≥ T) und bei zwei Items keine signifikanten Unterschiede. 
Tabelle 1: Ergebnisse des LLTM für den Vergleich von Graph und Tabelle 
Item-
kate-
gorie 
Hypo-
these 
Ergebnis Hypothesentest 
(H0: T = G)       
Anzahl 
Items 
K1 T ≥ G Hypothesenkonforme signifikante Unterschiede (T > G) 3 
  
Keine signifikanten Unterschiede (T ≈ G) 
 
8 
  
Nicht hypothesenkonforme signifikante Unterschiede (G > T) 1 
        K2 T ≥ G hypothesenkonforme signifikante Unterschiede (T > G) 7 
  
keine signifikanten Unterschiede (T ≈ G) 
 
0 
  
nicht hypothesenkonforme signifikante Unterschiede (G > T) 0 
        K3 G ≥ T hypothesenkonforme signifikante Unterschiede (G > T) 3 
  
keine signifikanten Unterschiede (G ≈ T) 
 
2 
  nicht hypothesenkonforme signifikante Unterschiede (T > G) 0 
Anmerkungen: G = Graph, T = Tabelle 
Diskussion 
Die empirischen Daten verhielten sich konform zu den Hypothesen. Bei 
qualitativen Analysen ist der Graph nur nutzungseffizienter gegenüber der 
Tabelle, wenn zur Lösung der Aufgabe der Graph nur grob inspiziert wer-
den muss. Ist eine genaue Inspektion der Form des Graphen notwendig, ist 
die Tabelle vorteilhafter. 
 Die Verallgemeinerbarkeit der Ergebnisse ist eingeschränkt, da die Proban-
den aus den Klassenstufen 6 und 7 stammten. Ältere Schülerinnen und 
Schüler könnten eine höhere Performanz bei Graph-Items aufweisen. Zum 
anderen ist unklar, ob die Lernenden bei Items der Kategorie K2 bei Ver-
wendung des Graphen wirklich qualitativ gearbeitet haben. Sollten die Pro-
banden Funktionswerte aus dem Graphen entnommen und damit die Auf-
gabe gelöst haben, würde die Tabelle ebenfalls nutzungseffizienter sein. 
Trotz der Einschränkungen ergibt sich vor dem Hintergrund der dargestell-
ten Ergebnisse die Frage, warum im Schulunterricht bei der Behandlung 
linearer Funktionen nicht verstärkt mit dem Begriff der Änderungsrate ne-
ben dem Begriff der Steigung gearbeitet wird. Zum einen können Ände-
rungsraten in verschiedenen Repräsentationsformen identifiziert werden, 
wohingegen der Steigungsbegriff mit der graphischen Repräsentationsform 
verknüpft ist (Rolfes, Roth und Schnotz, 2013). Zum anderen erfordert die 
Bestimmung einer Steigung bzw. einer Änderungsrate eine quantitative 
Analyse, bei der die Tabelle nutzungseffizienter als der Graph ist.  
Außerdem erscheint es empfehlenswert, in der Schule Metastrategien für 
den Umgang mit dem Graphen zu lehren. So kann es hilfreich sein, bei ei-
ner quantitativen Analyse entnommene Zahlenwerte an den Graphen zu 
schreiben oder in eine kleine Wertetabelle ins Heft zu überführen, um das 
Arbeitsgedächtnis zu entlasten und Fehler zu vermeiden. Außerdem sollten 
Schülerinnen und Schüler sich auch bei qualitativen Analysen nicht alleine 
auf den visuellen Eindruck verlassen. Stattdessen empfiehlt es sich, quanti-
tativ zu überprüfen, ob beispielsweise die Zunahme in einem Abschnitt ei-
nes Graphen wirklich größer als in einem anderen Abschnitt ist. 
Literatur 
Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of 
mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61 (1-2), 103–131. 
Fischer, G. H. (1995). The linear logistic test model. In G. H. Fischer & I. W. Molenaar 
(Hrsg.), Rasch Models. Foundations, recent developments, and applications (S. 131–
155). New York, NY: Springer. 
Larkin, J. H. & Simon, H. A. (1987). Why a diagram is (sometimes) worth ten thousand 
words. Cognitive Science, 11 (1), 65–100. 
Müller-Lyer, F. C. (1889). Optische Urtheilstäuschungen. Archiv für Physiologie Suppl, 
263–270. 
Rolfes, T., Roth, J. & Schnotz, W. (2013). Der Kovariationsaspekt in der Sekundarstufe 
I. In G. Greefrath, F. Käpnick & M. Stein (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunter-
richt 2013 (S. 834–837). Münster: WTM 
Wainer, H. (1992). Understanding graphs and tables. Educational Researcher, 21 (1), 
14–23 


Der Einfluss von Repräsentationsformen auf die Lösung von Aufgaben zu funktionalen Zusammenhängen

https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/35449/1/BzMU16%20ROLFES%20Graph.pdf

Der Einfluss von Repräsentationsformen auf die Lösung von Aufgaben zu funktionalen Zusammenhängen

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