LE MONDE DE LA CONVEXITÉ DISCRÈTE

Abstract

A set $S \subset \mathbb{Z}^d$ is \emph{digital convex} if \conv(S) \cap \mathbb{Z}^d = S, where \conv(S) denotes the convex hull of $S$.Herein, we consider various algorithmic problems related to recognizing digital convex sets or finding digital convex subsets.We show that the quickhull algorithm runs in linear time for digital convex sets and use this result to provide an algorithm for testing the digital convexity of $S\subset \mathbb{Z} ^2$ in $O(n + h \log r)$ time, where $h$ is the number of edges of the convex hull and $r$ is the diameter of $S$. We then extend this result and show how this can be used to solve the digital convex set recognition problem in the same time complexity.Finally, we provide polynomial time algorithms to find the largest union of $k$ digital convex subsets of $S\subset \mathbb{Z} ^2$.Un ensemble $S \subset \mathbb{Z}^d$ est \emph{convexe discret} si \conv(S) \cap \mathbb{Z}^d = S, où \conv(S) est l'enveloppe convexe de $S$.Ici, nous considérons plusieurs problèmes algorithmiques traitant de la reconnaissance d'ensembles convexes discrets ainsi que de la détection de sous ensembles convexes discrets.Nous montrons que l'algorithme quickhull s'exécute en temps linéaire pour des ensembles convexe discret. Puis nous utilisons ce résultat afin de proposer un algorithme qui teste la convexité discrète de $S\subset \mathbb{Z} ^2$ en $O(n + h \log r)$ temps, où $h$ est le nombre de sommet de l'enveloppe convexe de $S$ et $r$ est le diamètre de $S$. Ensuite, nous étendons ce résultat et montrons comment il peut être utilisé afin de résoudre le problème de reconnaissance d'ensemble convexe discret. Enfin, nous proposons un algorithme en temps polynomial qui détecte la plus grande union de $k$ sous ensembles convexes discrets de $S\subset \mathbb{Z} ^2$