The paper deals with two exact mathematical models of study: A borrowed model with constant intensity of study and a
model with variable intensity of study derived by the authors are presented using data acquired in real pedagogical research. The
bounding of study performance is proved and precisely determined in dependence on personal (group) parameters of study and
intensity of forgetting. The parameter of forgetting has decisive influence on total performance

Dedera, Pavel

Miklecová, Tatiana

Tomčíková, Ivana

Advances in Electrical and Electronic Engineering

DSpace at VSB Technical University of Ostrava

 Matematické modelovanie uenia   9 MATEMATICKÉ MODELOVANIE UENIA MATHEMATICAL MODELLING OF STUDY  Pavel Dedera, Ivana Tomíková, Tatiana Miklecová  Katedra základov inžinierstva, Elektrotechnická fakulta, Žilinská univerzita, Detašované pracovisko v L. Mikuláši, kpt. J. Nálepku 1390, 033 01 Liptovský Mikuláš  Abstrakt V lánku sa uvádzajú dva exaktné matematické  modely uenia. Prevzatý model s konštantnou intenzitou uenia a autormi odvodený model s premenlivou intenzitou uenia sa prezentujú na dátach z reálnych pedagogických výskumov. Dokazuje sa a exaktne uruje ohranienos študijného výkonu v závislosti na osobných, resp. skupinových parametroch uenia a zabúdania. Pre celkový výkon je parametrom s rozhodujúcim vplyvom parameter zabúdania.  Summary The paper deals with two exact mathematical models of study: A borrowed model with constant intensity of study and a model with variable intensity of study derived by the authors are presented using data acquired in real pedagogical research. The bounding of study performance is proved and precisely determined in dependence on personal (group) parameters of study and intensity of forgetting. The parameter of forgetting has decisive influence on total performance.  1. ÚVOD      V procese uenia sa osvojujú vedomosti, zrunosti a návyky, formuje sa vzah k okoliu a svetu, poznávacie schopnosti a tvorivé sily študentov. Predmetom našich modelov bude proces osvojovania vedomostí ako asová funkcia.       Každý model predstavuje silne zjednodušený systém vybraných prvkov, ktorých aktivácia rieši istú hlavnú ideu tohto systému. Model  potrebujeme napríklad vtedy, ak chceme vhodnou zmenou parametrov docieli optimálne fungovanie systému.      Cieom lánku je rozšíri známy model uenia s konštantnou intenzitou na prirodzenejší prípad uenia s premenlivou intenzitou uenia.  2. MATEMATICKÝ MODEL UENIA S KONŠTANTNOU INTENZITOU      Model publikovali Komenda – Klementa  1982 [1]. Dedera – Baa 2003 [2] z neho vychádzali pri návrhu originálnej metódy hodnotenia efektívnosti vzdelávania, priom používali  štatistické dáta z reálnych pedagogických výskumov Baa 2003 [3] a Bellová [4].       Zavedieme nasledovné veliiny: V(t) je asová funkcia „nadobúdania vedomostí“. Tu hne povedzme, že každý uite má špecifické predstavy o pojme „vedomos“ a jej meraní a hodnotení a to pre každý predmet i tému. Napr. Skála (1985, VŠTS Liberec, nepubl.) sa v prednáškach zaoberal definovaním a meraním vedomostí aparátom teórie informácie, ke každému pojmu a vzahu priraoval informanú hodnotu vyjadrenú bitmi. Gunaga[5] posudzuje vedomosti vo forme kreatívnosti myslenia cez netradine vybudovaný pojem limity. V tomto lánku vedomos ako  zložitá štruktúra nebude predmetom, ale len prostriedkom pre vyjadrenie efektu uenia v tej najjednoduchšej forme množstvom „naueného, zvládnutého uebného textu štandardného formátu a približne rovnakej obtiažnosti“. Každý uite pozná obsah tohto pojmu, pretože jeho zobrazenie do škály  hodnotenia študijného výkonu je  nutnou súasou jeho profesie. α  ... koeficient uenia. V tomto lánku ním vyjadrujeme poet zvládnutých strán textu za jednotku asu, ktorou bude jeden de. β  ...  koeficient zabúdania. Vyjadrujeme ním podiel zabudnutého textu k nauenému textu v tej istej asovej jednotke. β  nadobúda hodnoty z intervalu 1;0 . Pri hodnote 0 je všetko zapamätané, pri hodnote 1 je všetko nauené v tom dni zabudnuté.      V [1] bola pre tieto prvky odvodená diferenciálna rovnica αβ   V(t)   )( =+dttdV,                (1)  ktorá pri poiatonej podmienke  V(0) = 0  má partikulárne riešenie               ( ) t-e - 1  )( ββα=tV .                  (2)       Podrobnejšie sa rovnicou ako modelom uenia s využitím pre hodnotenie efektívnosti novej vyuovacej metódy zaoberá lánok [2], kde koeficienty βα ,  sú zistené pedagogickým výskumom vo Vojenskej akadémii (VA) v rámci spracovania dizertaných prác [3], [4]. Obdobný výskum  vykonali autorky tohto lánku na Detašovanom pracovisku Žilinskej univerzity (DP) v zimnom semestri 2003/2004. V tabuke 1 uvádzame štatistiku skupinových charakteristík na DP a VA, doplnenú limitným (maximálnym teoretickým) študijným výkonom, ktorým je podiel parametrov βα / . Na obrázku 1 prezentujeme grafické riešenie rovnice uenia s konštantnou intenzitou a limitné výkony v porovnaní vzoriek z Vojenskej akadémie (VA) a Detašovaného pracoviska Žilinskej univerzity v Liptovskom Mikuláši (DP). Advances in Electrical and Electronic Engineering  10   Obr. 1. Porovnanie modelov uenia s konštantnou intenzitou z dvoch výskumov Fig. 1. Comparison of models of study with constant intensity with data acquired in two separate researches   Tab. 1. Vybrané parametre uenia (skupinové koeficienty) Tab. 1. Selected parameters of study (group coefficients)  Škola Detašované pracovisko ŽU Vojenská akadémia Parameter α  β  α  β  Stredná hodnota 19,4 0,2383 6,2 0,0878 Rozptyl 331,24 0,031 125,44 0,0121 Smerod. odchýlka 18,02 0,175 11,2 0,11 Šikmos 1,7 2,07 1,98 -0,652 Špicatos 2,31 5,95 3,25 2,78 Interv. odhad (0,95) (14,111;24,694) (0,187;0,28) (3,5; 8,9) (0,0755;0,10) Limitný výkon 81,4 70,6  3. MATEMATICKÝ MODEL UENIA S PREMENLIVOU INTENZITOU UENIA      Predchádzajúci model rozšírime akceptovaním faktu, že intenzita uenia subjektu vo všeobecnosti nikdy nie je konštantná, ale je uritou funkciou asu. Nech teda  k funkcii uenia V(t) a konštante zabúdania β  je ( )tα  funkcia priebehu (závislosti) intenzity uenia na ase a ( )to ∆  je nekonene malá veliina. Procesy uenia a zabúdania sa uskutoujú súasne, preto platí                          t)o(t  V(t)  -t  (t)  V(t)  )( ∆+∆∆+=∆+ βαttV . (3)  Delením rovnice t∆  a limitným prechodom  0→∆t  získame po úprave diferenciálnu rovnicu                                             0  (t) - V(t)    )( =+ αβdttdV,               (4) ktorá za poiatonej podmienky V(0) = 0  (na zaiatku uenia spravidla nevieme ni) má partikulárne riešenie                                               t-t0 t e e (t)  )( ββα =  dttV .                 (5)       Pedagogická skúsenos potvrdzuje teoretické predpoklady pedagogickej psychológie o premenlivom charaktere intenzity uenia (Linhart [6], Homola [7]) v závislosti od pôsobenia pozitívnych motívov a „antimotívov“ uenia (únavy, zdravotných a osobných problémov, iných rušivých príin a vplyvov). Preto nahradíme reálnu závislos intenzity uenia periodickou funkciou ( ) t cos - 1    2    )( ωαα =t ,              (6) kde { } (t) max  αα = , T2  piω =  je kruhová frekvencia periodickej zmeny intenzity uenia a T je perióda extrémov funkcie )(tα . Zárove T je aj perióda, v ktorej je nutné zaradením vhodného motívu podnieti opätovný návrat silnejšej intenzity uenia. Skúsený pedagóg predvída tento priebeh a vo vhodnom ase zarauje do výuby motívy ako kontrolné práce, seminárne vystúpenia apod. nielen preto, že to predpisuje Študijný a skúšobný poriadok fakulty.       Motivované správanie je determinované celým radom initeov. Isté motívy vedia zvýši aktivanú úrove, o následne zvyajne vedie k zvýšeniu výsledkov (Homola, cit. dielo, s.26). V našej práci je akceptovaná kognitívna teória motivácie, a preto sme ako prirodzené pre prostredie vysokej školy ako motívy vybrali ciele, ktoré najviac korešpondujú s aspiranou úrovou našich študentov: kontrolné práce a skúšku. -6414243444546474841 8 15 22 29 36 43 DniV(t)V(DP)V(VA)DPmaxVAmax Matematické modelovanie uenia   11      Predvýskum nás upozornil aj na možnos extrémneho priebehu intenzity „pílou“, kedy okamžite  po odznení motívu (napr. kontrolná alebo zápotová práca) klesne študijná aktivita na nulu. Obidva priebehy, pre prípad T = 3, t = 105 výubových dní jedného semestra a prvej skúšky a skupinového koeficientu α , zisteného na DP, sú na obr. 2. Obr. 2.  Porovnanie priebehov funkcie intenzity uenia α (t) Fig. 2. Comparison of waveforms of the function of study intensity α(t)       Dosadením (6) do (5) dostaneme riešenie ( )  t -t0 t e dt e  t cos - 12 )( ββωα = tV .                 (7)       Po výpote integrálu má konené riešenie úlohy tvar ( ).e    t cos   t  sin  e -   1 - e 2  )( t -22 t tββββωωβωωββα+++=tV(8)      Maximum osvojených vedomostí uruje suprémum funkcie V(t), pretože limita  tejto funkcie pre ∞→  t  neexistuje:    ( ){ } ( )++=∞ 22,max  12    sup βωβωβαV .              (9) 4. UKÁŽKA REALIZÁCIE MODELU S PREMENLIVOU INTENZITOU NA VÝSKUMNÝCH DÁTACH      Teoretický matematický model uenia s premenlivou intenzitou uenia sme overovali na dátach z vlastného a príbuzného ([3],[4]) výskumu. Zvolili sme jednoduchý model jedného predmetu v semestri, ktorý má zaradené dve alebo štyri kontrolné práce a skúšku v asovom intervale 105 dní (iže 3 alebo 5 motívov). Skupinové parametre uenia a zabúdania βα ,  pochádzajú z uvedených výskumov. Grafickým vyjadrením modelu a teda riešením diferenciálnej rovnice (7) v tvare (8) je príslušná krivka výkonu V(t) v ase t.  Obr. 3. Realizácie modelu uenia s premenlivou sínusovou intenzitou uenia Fig. 3. Realisation of the model of study with variable sine-wave intensity of study      05101520251 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 DniIntezita ueniasinpílamax0204060801001201401601801 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101DniV(t)V(3minbeta)V(3strbeta)V(konšt)V(5maxbeta)Advances in Electrical and Electronic Engineering  12 Pri všetkých ukážkach realizácie sme používali stredné α = 19,4, zistené na DP a simulácie sme robili len na zmenách koeficientu zabúdania β. Viedlo nás k tomu experimentálne zistenie, že práve tento parameter má rozhodujúci vplyv na riešenie rovnice uenia. Postupne sú zhora v grafe zobrazené tieto riešenia: • V(3minbeta). Zaradené sú 3 motívy, o na 105 výubových dní uruje kruhovú frekvenciu  ω = 2pi/35. Koeficient β = 0,1 predstavuje dolný odhad pri spoahlivosti 0,9 na DP a zárove horný odhad na VA. • V(3strbeta) má tie isté parametre, okrem tlmenia β = 0,2383, o je stredná hodnota na DP. • V(konšt) predstavuje na porovnanie s premenlivými intenzitami priebeh na DP pri konštantnej intenzite. • V(5maxbeta). Zaradených je 5 motívov s kruhovou intenzitou ω = 2pi/21. Koeficient β = 0,28 predstavuje horný odhad pri spoahlivosti 0,95 na DP .      Z porovnania priebehov je zrejmé, že veký koeficient zabúdania v poslednej realizácii v podstate utlmí kmity premenlivej intenzity uenia a spôsobí absolútny pokles výkonu napriek relatívne vysokému priebehu α(t).      V nasledujúcom obrázku je grafické vyjadrenie modelu vytvoreného na sínusovom a extrémnom pílovom priebehu intenzity uenia pri rovnakých parametroch (T je 5 motívov, ω = 2pi/21, α(str) = 19,4, β = 0,187.  • Riešenie V(5,sin) je analytickým vyjadrením riešenia rovnice (8). • Riešenie V(5,píla) je analytickým vyjadrením riešenia rovnice (5), do ktorej sme vložili integrál hornej medze Fourierovho radu „pílového“ signálu.      Z porovnania priebehu je síce  zrejmé limitné približovanie k tomu istému maximálnemu výkonu, ale stredná hodnota „sínusového“ signálu je zretene vyššia, o dáva pedagógovi argument pri prezentácii odporúanej techniky štúdia svojho predmetu študentom.  0204060801001201401 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101DniV(t)V(5,píla)V(5,sin)  Obr. 4. Realizácie modelu uenia s premenlivou sínusovou  a pílovou intenzitou uenia Fig. 4. Realisations of the models of study with variable sine-wave and saw intensity of study   5. ZÁVER      V rámci výskumu sme okrem iného regresnou a korelanou analýzou  zistili, že koeficienty α a β sú lineárne nezávislé, nekorelujú spolu a dokonca nekorelujú ani s džkou dennej doby uenia. Spolu s analýzou riešení rovnice uenia s premenlivou intenzitou uenia a simuláciou  pri rôznych hodnotách týchto parametrov nám to dovouje najmenej tieto konštatovania: Všeobecné. Existuje možnos exaktne opísa priebeh uenia a obdobne zrejme aj priebeh získavania zruností, resp. návykov. Keže náš model sleduje jeden predmet v semestri, zrejme model celého semestra predstavuje systém diferenciálnych rovníc tvaru  (4), resp. riešení (7) alebo (8) s indexovanými premennými iii ωβα ,, , i=1,2,...k, kde k je poet kreditných predmetov v semestri. Koeficienty by boli zisované pre každý predmet osobitne. Pre pedagóga: vhodným zaraovaním motívov do organizanej formy vyuovania možno vybudi vyšší študijný výkon študentov. Tento výkon nie je neohraniený, študent, resp. skupina študentov má pri osobných parametroch uenia a zabúdania ohraniené maximum, ktoré neprekroí ani pri pridávaní asu na uenie. Pre študenta: zo štyroch vybraných parametrov uenia (asová džka potom dní na predmet, doba štúdia v jednom dni, intenzita štúdia a zabúdanie) má na celkový výkon najväší vplyv parameter štvrtý. Ako nutné pri vysokoškolskom štúdiu (i skôr pred ním) sa nám javí zoznámenie s technikami racionálneho  Matematické modelovanie uenia   13 a efektívneho štúdia. Ako vemi neefektívny, a teda neodporúaný, sa javí spôsob uenia, kedy po odznení motívu klesá okamžite študijná aktivita na minimum.  LITERATÚRA [1] KOMENDA, J.- KLEMENTA, J.: Analýza náhodného v pedagogickém výskumu a v praxi. SPN, Praha 1988. [2] DEDERA, P. – BAA, S.:Meranie efektívnosti výuby pomocou analytického modelu Zborník VA, X, .3, Liptovský Mikuláš 2003, v tlai: 2 obr., 3 tab. – Lit. 10 zázn.  ISSN 1335-0935 [3] BAA, S.: Možnosti zvyšovania efektívnosti vyuovania v predmete riadenie špeciálnych vozidiel. Dizertaná práca. Vojenská akadémia, Liptovský Mikuláš 2003. Doposia nepublikované. [4] BELLOVÁ, R.: Možnosti zvyšovania efektívnosti vyuovania v predmete aplikovaná chémia. Dizertaná práca. Vojenská akadémia, Liptovský Mikuláš 2003. Doposia nepublikované. [5] GUNAGA, J.:Možnos využitia problémového vyuovania pri limitných procesoch. Disputationes Scientificae, roník II, 2002, íslo 1. Katolícka univerzita, Ružomberok. S.3-8 [6] LINHART, J.: Psychologické problémy teorie uení.      SPN, Praha 1965. [7] HOMOLA, J.: Motivace lidského konání. SPN, Praha 1974.  

Mathematical modelling of study

The paper deals with two exact mathematical models of study: A borrowed model with constant intensity of study and amodel with variable intensity of study derived by the authors are presented using data acquired in real pedagogical research. Thebounding of study performance is proved and precisely determined in dependence on personal (group) parameters of study andintensity of forgetting. The parameter of forgetting has decisive influence on total performance

Pavel Dedera

Ivana Tomcikova

Tatiana Miklecova

Directory of Open Access Journals

 Matematické modelovanie uenia   9 MATEMATICKÉ MODELOVANIE UENIA MATHEMATICAL MODELLING OF STUDY  Pavel Dedera, Ivana Tomíková, Tatiana Miklecová  Katedra základov inžinierstva, Elektrotechnická fakulta, Žilinská univerzita, Detašované pracovisko v L. Mikuláši, kpt. J. Nálepku 1390, 033 01 Liptovský Mikuláš  Abstrakt V lánku sa uvádzajú dva exaktné matematické  modely uenia. Prevzatý model s konštantnou intenzitou uenia a autormi odvodený model s premenlivou intenzitou uenia sa prezentujú na dátach z reálnych pedagogických výskumov. Dokazuje sa a exaktne uruje ohranienos študijného výkonu v závislosti na osobných, resp. skupinových parametroch uenia a zabúdania. Pre celkový výkon je parametrom s rozhodujúcim vplyvom parameter zabúdania.  Summary The paper deals with two exact mathematical models of study: A borrowed model with constant intensity of study and a model with variable intensity of study derived by the authors are presented using data acquired in real pedagogical research. The bounding of study performance is proved and precisely determined in dependence on personal (group) parameters of study and intensity of forgetting. The parameter of forgetting has decisive influence on total performance.  1. ÚVOD      V procese uenia sa osvojujú vedomosti, zrunosti a návyky, formuje sa vzah k okoliu a svetu, poznávacie schopnosti a tvorivé sily študentov. Predmetom našich modelov bude proces osvojovania vedomostí ako asová funkcia.       Každý model predstavuje silne zjednodušený systém vybraných prvkov, ktorých aktivácia rieši istú hlavnú ideu tohto systému. Model  potrebujeme napríklad vtedy, ak chceme vhodnou zmenou parametrov docieli optimálne fungovanie systému.      Cieom lánku je rozšíri známy model uenia s konštantnou intenzitou na prirodzenejší prípad uenia s premenlivou intenzitou uenia.  2. MATEMATICKÝ MODEL UENIA S KONŠTANTNOU INTENZITOU      Model publikovali Komenda – Klementa  1982 [1]. Dedera – Baa 2003 [2] z neho vychádzali pri návrhu originálnej metódy hodnotenia efektívnosti vzdelávania, priom používali  štatistické dáta z reálnych pedagogických výskumov Baa 2003 [3] a Bellová [4].       Zavedieme nasledovné veliiny: V(t) je asová funkcia „nadobúdania vedomostí“. Tu hne povedzme, že každý uite má špecifické predstavy o pojme „vedomos“ a jej meraní a hodnotení a to pre každý predmet i tému. Napr. Skála (1985, VŠTS Liberec, nepubl.) sa v prednáškach zaoberal definovaním a meraním vedomostí aparátom teórie informácie, ke každému pojmu a vzahu priraoval informanú hodnotu vyjadrenú bitmi. Gunaga[5] posudzuje vedomosti vo forme kreatívnosti myslenia cez netradine vybudovaný pojem limity. V tomto lánku vedomos ako  zložitá štruktúra nebude predmetom, ale len prostriedkom pre vyjadrenie efektu uenia v tej najjednoduchšej forme množstvom „naueného, zvládnutého uebného textu štandardného formátu a približne rovnakej obtiažnosti“. Každý uite pozná obsah tohto pojmu, pretože jeho zobrazenie do škály  hodnotenia študijného výkonu je  nutnou súasou jeho profesie. α  ... koeficient uenia. V tomto lánku ním vyjadrujeme poet zvládnutých strán textu za jednotku asu, ktorou bude jeden de. β  ...  koeficient zabúdania. Vyjadrujeme ním podiel zabudnutého textu k nauenému textu v tej istej asovej jednotke. β  nadobúda hodnoty z intervalu 1;0 . Pri hodnote 0 je všetko zapamätané, pri hodnote 1 je všetko nauené v tom dni zabudnuté.      V [1] bola pre tieto prvky odvodená diferenciálna rovnica αβ   V(t)   )( =+dttdV,                (1)  ktorá pri poiatonej podmienke  V(0) = 0  má partikulárne riešenie               ( ) t-e - 1  )( ββα=tV .                  (2)       Podrobnejšie sa rovnicou ako modelom uenia s využitím pre hodnotenie efektívnosti novej vyuovacej metódy zaoberá lánok [2], kde koeficienty βα ,  sú zistené pedagogickým výskumom vo Vojenskej akadémii (VA) v rámci spracovania dizertaných prác [3], [4]. Obdobný výskum  vykonali autorky tohto lánku na Detašovanom pracovisku Žilinskej univerzity (DP) v zimnom semestri 2003/2004. V tabuke 1 uvádzame štatistiku skupinových charakteristík na DP a VA, doplnenú limitným (maximálnym teoretickým) študijným výkonom, ktorým je podiel parametrov βα / . Na obrázku 1 prezentujeme grafické riešenie rovnice uenia s konštantnou intenzitou a limitné výkony v porovnaní vzoriek z Vojenskej akadémie (VA) a Detašovaného pracoviska Žilinskej univerzity v Liptovskom Mikuláši (DP). Advances in Electrical and Electronic Engineering  10   Obr. 1. Porovnanie modelov uenia s konštantnou intenzitou z dvoch výskumov Fig. 1. Comparison of models of study with constant intensity with data acquired in two separate researches   Tab. 1. Vybrané parametre uenia (skupinové koeficienty) Tab. 1. Selected parameters of study (group coefficients)  Škola Detašované pracovisko ŽU Vojenská akadémia Parameter α  β  α  β  Stredná hodnota 19,4 0,2383 6,2 0,0878 Rozptyl 331,24 0,031 125,44 0,0121 Smerod. odchýlka 18,02 0,175 11,2 0,11 Šikmos 1,7 2,07 1,98 -0,652 Špicatos 2,31 5,95 3,25 2,78 Interv. odhad (0,95) (14,111;24,694) (0,187;0,28) (3,5; 8,9) (0,0755;0,10) Limitný výkon 81,4 70,6  3. MATEMATICKÝ MODEL UENIA S PREMENLIVOU INTENZITOU UENIA      Predchádzajúci model rozšírime akceptovaním faktu, že intenzita uenia subjektu vo všeobecnosti nikdy nie je konštantná, ale je uritou funkciou asu. Nech teda  k funkcii uenia V(t) a konštante zabúdania β  je ( )tα  funkcia priebehu (závislosti) intenzity uenia na ase a ( )to ∆  je nekonene malá veliina. Procesy uenia a zabúdania sa uskutoujú súasne, preto platí                          t)o(t  V(t)  -t  (t)  V(t)  )( ∆+∆∆+=∆+ βαttV . (3)  Delením rovnice t∆  a limitným prechodom  0→∆t  získame po úprave diferenciálnu rovnicu                                             0  (t) - V(t)    )( =+ αβdttdV,               (4) ktorá za poiatonej podmienky V(0) = 0  (na zaiatku uenia spravidla nevieme ni) má partikulárne riešenie                                               t-t0 t e e (t)  )( ββα =  dttV .                 (5)       Pedagogická skúsenos potvrdzuje teoretické predpoklady pedagogickej psychológie o premenlivom charaktere intenzity uenia (Linhart [6], Homola [7]) v závislosti od pôsobenia pozitívnych motívov a „antimotívov“ uenia (únavy, zdravotných a osobných problémov, iných rušivých príin a vplyvov). Preto nahradíme reálnu závislos intenzity uenia periodickou funkciou ( ) t cos - 1    2    )( ωαα =t ,              (6) kde { } (t) max  αα = , T2  πω =  je kruhová frekvencia periodickej zmeny intenzity uenia a T je perióda extrémov funkcie )(tα . Zárove T je aj perióda, v ktorej je nutné zaradením vhodného motívu podnieti opätovný návrat silnejšej intenzity uenia. Skúsený pedagóg predvída tento priebeh a vo vhodnom ase zarauje do výuby motívy ako kontrolné práce, seminárne vystúpenia apod. nielen preto, že to predpisuje Študijný a skúšobný poriadok fakulty.       Motivované správanie je determinované celým radom initeov. Isté motívy vedia zvýši aktivanú úrove, o následne zvyajne vedie k zvýšeniu výsledkov (Homola, cit. dielo, s.26). V našej práci je akceptovaná kognitívna teória motivácie, a preto sme ako prirodzené pre prostredie vysokej školy ako motívy vybrali ciele, ktoré najviac korešpondujú s aspiranou úrovou našich študentov: kontrolné práce a skúšku. -6414243444546474841 8 15 22 29 36 43 DniV(t)V(DP)V(VA)DPmaxVAmax Matematické modelovanie uenia   11      Predvýskum nás upozornil aj na možnos extrémneho priebehu intenzity „pílou“, kedy okamžite  po odznení motívu (napr. kontrolná alebo zápotová práca) klesne študijná aktivita na nulu. Obidva priebehy, pre prípad T = 3, t = 105 výubových dní jedného semestra a prvej skúšky a skupinového koeficientu α , zisteného na DP, sú na obr. 2. Obr. 2.  Porovnanie priebehov funkcie intenzity uenia α (t) Fig. 2. Comparison of waveforms of the function of study intensity α(t)       Dosadením (6) do (5) dostaneme riešenie ( )  t -t0 t e dt e  t cos - 12 )( ββωα = tV .                 (7)       Po výpote integrálu má konené riešenie úlohy tvar ( ).e    t cos   t  sin  e -   1 - e 2  )( t -22 t tββββωωβωωββα+++=tV(8)      Maximum osvojených vedomostí uruje suprémum funkcie V(t), pretože limita  tejto funkcie pre ∞→  t  neexistuje:    ( ){ } ( )++=∞ 22,max  12    supβωβωβαV .              (9) 4. UKÁŽKA REALIZÁCIE MODELU S PREMENLIVOU INTENZITOU NA VÝSKUMNÝCH DÁTACH      Teoretický matematický model uenia s premenlivou intenzitou uenia sme overovali na dátach z vlastného a príbuzného ([3],[4]) výskumu. Zvolili sme jednoduchý model jedného predmetu v semestri, ktorý má zaradené dve alebo štyri kontrolné práce a skúšku v asovom intervale 105 dní (iže 3 alebo 5 motívov). Skupinové parametre uenia a zabúdania βα ,  pochádzajú z uvedených výskumov. Grafickým vyjadrením modelu a teda riešením diferenciálnej rovnice (7) v tvare (8) je príslušná krivka výkonu V(t) v ase t.  Obr. 3. Realizácie modelu uenia s premenlivou sínusovou intenzitou uenia Fig. 3. Realisation of the model of study with variable sine-wave intensity of study      05101520251 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 DniIntezita ueniasinpílamax0204060801001201401601801 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101DniV(t)V(3minbeta)V(3strbeta)V(konšt)V(5maxbeta)Advances in Electrical and Electronic Engineering  12 Pri všetkých ukážkach realizácie sme používali stredné α = 19,4, zistené na DP a simulácie sme robili len na zmenách koeficientu zabúdania β. Viedlo nás k tomu experimentálne zistenie, že práve tento parameter má rozhodujúci vplyv na riešenie rovnice uenia. Postupne sú zhora v grafe zobrazené tieto riešenia: • V(3minbeta). Zaradené sú 3 motívy, o na 105 výubových dní uruje kruhovú frekvenciu  ω = 2π/35. Koeficient β = 0,1 predstavuje dolný odhad pri spoahlivosti 0,9 na DP a zárove horný odhad na VA. • V(3strbeta) má tie isté parametre, okrem tlmenia β = 0,2383, o je stredná hodnota na DP. • V(konšt) predstavuje na porovnanie s premenlivými intenzitami priebeh na DP pri konštantnej intenzite. • V(5maxbeta). Zaradených je 5 motívov s kruhovou intenzitou ω = 2π/21. Koeficient β = 0,28 predstavuje horný odhad pri spoahlivosti 0,95 na DP .      Z porovnania priebehov je zrejmé, že veký koeficient zabúdania v poslednej realizácii v podstate utlmí kmity premenlivej intenzity uenia a spôsobí absolútny pokles výkonu napriek relatívne vysokému priebehu α(t).      V nasledujúcom obrázku je grafické vyjadrenie modelu vytvoreného na sínusovom a extrémnom pílovom priebehu intenzity uenia pri rovnakých parametroch (T je 5 motívov, ω = 2π/21, α(str) = 19,4, β = 0,187.  • Riešenie V(5,sin) je analytickým vyjadrením riešenia rovnice (8). • Riešenie V(5,píla) je analytickým vyjadrením riešenia rovnice (5), do ktorej sme vložili integrál hornej medze Fourierovho radu „pílového“ signálu.      Z porovnania priebehu je síce  zrejmé limitné približovanie k tomu istému maximálnemu výkonu, ale stredná hodnota „sínusového“ signálu je zretene vyššia, o dáva pedagógovi argument pri prezentácii odporúanej techniky štúdia svojho predmetu študentom.  0204060801001201401 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101DniV(t)V(5,píla)V(5,sin)  Obr. 4. Realizácie modelu uenia s premenlivou sínusovou  a pílovou intenzitou uenia Fig. 4. Realisations of the models of study with variable sine-wave and saw intensity of study   5. ZÁVER      V rámci výskumu sme okrem iného regresnou a korelanou analýzou  zistili, že koeficienty α a β sú lineárne nezávislé, nekorelujú spolu a dokonca nekorelujú ani s džkou dennej doby uenia. Spolu s analýzou riešení rovnice uenia s premenlivou intenzitou uenia a simuláciou  pri rôznych hodnotách týchto parametrov nám to dovouje najmenej tieto konštatovania: Všeobecné. Existuje možnos exaktne opísa priebeh uenia a obdobne zrejme aj priebeh získavania zruností, resp. návykov. Keže náš model sleduje jeden predmet v semestri, zrejme model celého semestra predstavuje systém diferenciálnych rovníc tvaru  (4), resp. riešení (7) alebo (8) s indexovanými premennými iii ωβα ,, , i=1,2,...k, kde k je poet kreditných predmetov v semestri. Koeficienty by boli zisované pre každý predmet osobitne. Pre pedagóga: vhodným zaraovaním motívov do organizanej formy vyuovania možno vybudi vyšší študijný výkon študentov. Tento výkon nie je neohraniený, študent, resp. skupina študentov má pri osobných parametroch uenia a zabúdania ohraniené maximum, ktoré neprekroí ani pri pridávaní asu na uenie. Pre študenta: zo štyroch vybraných parametrov uenia (asová džka potom dní na predmet, doba štúdia v jednom dni, intenzita štúdia a zabúdanie) má na celkový výkon najväší vplyv parameter štvrtý. Ako nutné pri vysokoškolskom štúdiu (i skôr pred ním) sa nám javí zoznámenie s technikami racionálneho  Matematické modelovanie uenia   13 a efektívneho štúdia. Ako vemi neefektívny, a teda neodporúaný, sa javí spôsob uenia, kedy po odznení motívu klesá okamžite študijná aktivita na minimum.  LITERATÚRA [1] KOMENDA, J.- KLEMENTA, J.: Analýza náhodného v pedagogickém výskumu a v praxi. SPN, Praha 1988. [2] DEDERA, P. – BAA, S.:Meranie efektívnosti výuby pomocou analytického modelu Zborník VA, X, .3, Liptovský Mikuláš 2003, v tlai: 2 obr., 3 tab. – Lit. 10 zázn.  ISSN 1335-0935 [3] BAA, S.: Možnosti zvyšovania efektívnosti vyuovania v predmete riadenie špeciálnych vozidiel. Dizertaná práca. Vojenská akadémia, Liptovský Mikuláš 2003. Doposia nepublikované. [4] BELLOVÁ, R.: Možnosti zvyšovania efektívnosti vyuovania v predmete aplikovaná chémia. Dizertaná práca. Vojenská akadémia, Liptovský Mikuláš 2003. Doposia nepublikované. [5] GUNAGA, J.:Možnos využitia problémového vyuovania pri limitných procesoch. Disputationes Scientificae, roník II, 2002, íslo 1. Katolícka univerzita, Ružomberok. S.3-8 [6] LINHART, J.: Psychologické problémy teorie uení.      SPN, Praha 1965. [7] HOMOLA, J.: Motivace lidského konání. SPN, Praha 1974.  

Mathematical Modelling of Study

http://doaj.org/search?source=%7B%22query%22%3A%7B%22bool%22%3A%7B%22must%22%3A%5B%7B%22term%22%3A%7B%22id%22%3A%22c9c0aee0d9474e49b4410652eafb086c%22%7D%7D%5D%7D%7D%7D

Mathematical modelling of study

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

DSpace at VSB Technical University of Ostrava

Directory of Open Access Journals