AbstractIn this note, we consider the notion of simple components of a linear code over the field F and show that linear codes C and C′ are equivalent if and only if there exists an additive Hamming isometry f sending C onto C′ whose restriction to simple components of C are semi-linear. In case where F is of prime order, f is a linear map but in general f cannot always be taken to be globally semi-linear. We give an example where the restrictions of f to simple components must have different associated automorphisms

Montpetit, André

Elsevier - Publisher Connector 

Discrete Mathematics 65 (1987) 177-185 
North-Holland 
177 
NOTE SUR LA NOTION D 'EQUIVALENCE ENTRE DEUX 
CODES L INEAIRES 
Andr~ MONTPETIT 
D6partement deMath~matiques et d'Informatique, Universit~ de Sherbrooke, Sherbrooke, 
Qu6bec, Canada J IK 2RI 
and 
G.E.C.T., Universit~ de Toulon et du Var, 83130 La Garde, France 
Received 2 May 1986 
In this note, we consider the notion of simple components of a linear code over the field 0: 
and show that linear codes C and C' are equivalent if and only if there exists an additive 
Hamming isometry f sending C onto C' whose restriction to simple components of C are 
semi-linear. In ease where F is of prime order, f is a linear map but in general f cannot always 
be taken to be globally semi-linear. We give an example where the restrictions of f to simple 
components must have different associated automorphisms. 
Introduction 
Soit F = Fq le corps a q616ments et d: P' x IF"---> N la distance de Hamming sur 
F"; d(x, y)= nombre de composantes oh x et y different. L'espace 0 :" muni de 
c~tte distance est un espace m6trique appel6 espace de Hamming. Les mor- 
phismes naturels sont alors les isom6tries de Hamming, i.e., les bijections 
f : 0:"---* f" telles que d(f(x), f(y)) = d(x, y). Deux codes (i.e., deux parties de P' 
munies de leur structure m6trique induite) seront done dits 6quivalents 'ils 
appartierment ~ la m~me orbite pour l'action du groupe des isom~tries de 
Hamming surf". 
Boneau [1] a d6montr~ que toute isom6trie de Hamming est de la forme 
f :(Xl, X2,' . . ,Xn)-- '>(~l(Xo-l(1)),g2(Xo-l(2)), . . . ,gn(Xo-l(n))),  (*) 
ofa {ar~ ] 1 ~< i ~< n} est une famille de permutations de D: et o une permutation de 
{1,2,. . .  ,n}. 
Darts le eas des codes lin~aires, il est naturel de se restreindre au sous-groupe 
des isom6tries lin6aires ou A eelui des isom6tries emi-lin~aires. MacWilliams [4], 
[5] (voir aussi [2] et [3]) d6montre que si C et C' sont deux codes lin6aires, si f est 
de type (,) et si la restriction de f ~ C est semi-lin6aire, alors chacune des 
permutations ar~ est la compos~e d'un m~me automorphisme fix~ de F et d'une 
homoth6tie. 
Le probl~me se pose donc de savoir si l'existenee d'une isom6trie f du code 
lin6aire C vers le code lin6aire C', i.e., f (C)= C' entraine l'existence d'une 
isom6trie lin6aire ou semi-lin6aire de C vers C'. 
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178 A. Montpetit 
Dans ce travail, on d6montre que la solution de ce probl~me st positive dans 
le cas oh le corps 0: est premier ou, dans le cas contraire, lorsque le code C est 
simple, i.e., C n'est pas somme directe de sous-codes ~ supports disjoints. 
Finalement on donne un exemple montrant que la solution du probl~me st 
n6gative n g6n6ral. 
1. Un cas particulier 
Dans toute la suite, C et C' d6signeront des (n, k)-codes lin6aires, i.e., et des 
sous-espaces vectoriels de dimension k plong6s dans ~:"; f sera une isom6trie de C 
vers C'. 
Remarqne 1. On peut supposer sans perte de g6n6raiit6 que C est un code 
syst6matique, i.e., que les k premiers ymboles ont des symboles d'information. 
Les symboles en position or(l), t r (2 ) , . . . ,  tr(k) de C' peuvent donc 8tre choisis 
comme symboles d'information. 
Remarque 2. On peut supposer que f (0 )= 0. Sinon on pose f ' (x )=f (x ) - f (0 ) .  
Comme f(0) e C' et que C' est un sous groupe de F n alorsf '  est une isom6trie de 
C vers C'. On fera donc les suppositions suivantes ur f :  
(a) :ri(0) = 0, pour i = 1, 2 , . . . ,  n; 
(b) suppf (x )  = o(suppx) ,  Vx e ~:"; 
(c) w(f(x))  = w(x), Vx 
o0 supp x = {i I xi #: 0} est le support de x et w(x) = cardinalit6 de supp x est le 
poids de x. On supposera ussi, pour des raisons techniques, que :t1(1)= 1. 
Sinon on choisit f '  telle que f ' (x )= :rl(1)-lf(x). Comme C' est un sous-espace 
de ~=n alors f '  est une isom6trie de C vers C'. 
Consid6rons d'abord le cas o0 tr est la permutation identit6 et les permutations 
/ / /sont toutes identiques. 
Proposition 1. Soit fune  isom#trie de C vers C' telle que :ri = ar pour i = 1, 
2 , . . . ,  net  o = identit# alors il existe un automorphisme ~ de if= tel que 
g : (x , ,x2 , . . . ,  x, ,)" '~(~(xl),  ~(x2),. • •, ~(x,,)) 
est une isomdtrie de C vers C'. 
Preuve. Soit G la matrice g6n6ratrice de C de la forme [ I IA],  vi la i-~me ligne 
de G et vq l'616ment en position (i, j). Consid6rons pour aft, a~2,.. •, a~k e 0: les 
k vecteurs f(~i=a olivi), ~ki=lf(triVi) et ~k=a ~r(o:i)f(vi). Si 1 <~j<~k alors les j-~me 
Note sur la notion d'equivalence entre deux codes lineaires 179 
coordonn6es de ces vecteurs ont 
E = O~iVi OLiVij , 
\ \ '=1  j i=1  
OliV i "-" ffF,(ociVij ) -- fr,(oci¢~ij ) --" ff~'(t:~'j) ; 
'=1  / j  i=l i=l 
= = = 
j i=1 ,=1  
Donc ces trois vecteurs sont 6gaux sur les positions 1, 2 , . , . ,  k qui sont en 
vertu de la Remarque 1 des positions d'information de C'. Ils sont donc ~gaux. 
En particulier, si on pose tousles oc, = 0 sauf oct et ocm pour 1 ~< l, m ~< k on obtient 
pour 1 ~< j ~< n. 
ff[( Ogl~Jlj "~ O~ml)mj ) -- .7[( OgIVlj ) "Jr" J[( ocml)mj ) "--" I7~( ocl)~7[(Vlj ) "JI- ff[( ocm)ff[(Vmj). 
Soit K le sous-corps de ~: engendr6 par {v0ll<~i<<-k, l<~j<~n} et K'  le 
sous-corps engendr6 par {:r(vij) 11 ~< i ~< k, 1 <~j <~ m}. Alors :r lr  est un isomor- 
phisme de corps de K vers K'  qui s'6tend ~ un automorphisme • de U=. Si on 
d~finit 
alors g est bijective, semi-lin6aire et g(C) = C' car 
(,+(, A (,,(,  g oLilI i --- (D oci v i -- (I) oci ~3 i e C ' ,  \ i=1  "= "= 
fe t  g co'incidant sur {Vl, v2,. • •, Vk}. [] 
2. Codes simples 
Comme Welsh [7] on appellera mot #l#mentaire d  C un mot non nul de C de 
support minimal. Tous les  mots de poids minimum sont 6videmment des mots 
616mentaires. 
Proposition 2. Soit x un mot dl#mentaire de C. Alors 
(i) tout mot de C de m~me support que x lui est proportionnel; 
(ii) l'image de x par une isom~trie de C vers C' est un mot #ldmentaire de C'. 
Preuve. (i) Soit x 'e  C tel que suppx'  = suppx. Pour j  e suppx il existe 3. e U:* tel 
que x] = Lrj, donc supp(x' - Ax) ~ supp x et x '  - Lve C. D'ofl x '  - Ax = O. 
(ii) Soit f une isom6tde de C vers C'. Soit y e C' tel que suppy ~ suppf(x).  
Comme f est bijective, il existe x '  e C tel que f (x ' )  =y  et suppx'  ~suppx  donc 
x '=O ety  =0.  [] 
180 A. Montpetit 
Remarque 3. L'ensemble des supports des mots 616mentaires de C v6dfient des 
axiomes des circuits d'un matro'ide M(C) sur {1, 2 , . . . ,  n} (voir Welsh [7]). La 
proposition 2 signifie alors que s'il existe une isom6trie de C vers C' alors les 
matro'ides M(C) et M(C') sont isomorphes. 
Proposition 3. Les mots ~l~mentaires de C forment un ensemble g~n~rateur de C. 
Preuve. Soit x • C \  {0}. II existe un mot 616mentaire xl tel que suppxx c suppx 
et 21 • ~:* tel que w(x-  )-~xO < w(x). Si w(x-  )-xx~)~0 alors il existe un mot 
616mentair x2 tel que suppx2 c supp(x-  )-~Xl) et )-2 • F* tel que w(x-  )-~Xl- 
22x2)<w(x-)- ix~). On trouve ainsi une suite xx, x2 , . . .  ,Xl de roots 
616mentaires tels que 
(x ' ) ) w -~)-~x~ <w - )-ix~ pour l~ j~ l .  
i=1  i=1  
- ~=o )-ix~) = 0. D'og la conclusion. [] Apr~s 1 6tapes, on aura w(x t 
D6finition. Notons supp C le support du code C, i.e., la r6union des supports des 
mots de C. Un code C est dit simple s'il n'existe pas de sous-codes non-triviaux C1 
et C2 a supports disjoints tels que C = C1 • C2. 
Proposition 4. C est simple si et settlement si pour tout i, j • supp C il existe une 
suite xl, x2 , . . .  ,xm de mots #l#mentaires tels que i •suppxl ,  j •suppXm et 
supp xt tq supp Xl+l ~ ~ pour l = 1, 2 , . . . ,  m -- 1. 
Preuve. Supposons que pour i, j fix6s, il n'existe pas de telle suite. Soit C1 
l'espace ngendr6 par les mots 616mentaires dont le support peut 8tre reli6 a i et 
C2 l'espace ngendr6 par les autres roots 616mentaires. C1 ~ {0} car i • supp C1 et 
C2 #: {0} car j • supp C2 et C = C1 • C2 par la Proposition 3. 
R6ciproquement si C n'est pas simple alors pour i • supp C1 et j • supp C2, la 
suite requise n'existe pas. [] 
Exemples. (1) Le code sur D:2 engendr~ par la matrice 
est simple mais celui engendr6 par 
ne l'est pas. 
(2) Les codes MDS (Maximum Distance S6parable) (voir [6]) sont simples 
puisque pour chaque choix de d 616ments de {1, 2 , . . . ,  n} il y a un mot de code 
Note sur la notion d'equivalence entre deux codes lineaires 181 
dont c'est le support. Ces codes ont la propri6t6 que les mots 616mentaires sont 
les mots de poids minimum. 
(3) Les codes cycliques sont simples. Soit P(X) un mot 616mentaire alors 
{P(X), XP(X), X2p(x) , . . .}  est une suite requise par la Proposition 4 et elle 
couvre tout l'ensemble {1, 2 , . . . ,  n}. 
Proposition 5. (i) C se d~compose de fafon unique comme somme directe de 
sous-codes simples appel~s composantes simples de C; 
(ii) Soit C = C1 • C2 ~ " " • CI la d£composition en composantes simples de 
C e t fune  isom~trie de C vers C'. Alors C' =f (C1)~f (C2)~"  "~f(Cm) est la 
d~composition e  composantes simples de C'. 
lhreuve. (i) Consid6rons la relation d'6quivalence sur (1, 2 , . . . ,  n} d6finie par 
i - j  si il existe Xx, x2 , . . .  ,Xm des mots 616mentaires tels que i~suppx~ 
] e suppxm suppx/n suppx/+~ 4:~, pour 1 = 1, 2 , . . . ,  m - 1. Cette relation 
d6fmit une partition {Ai} de {1, 2, . . . ,  n}. Posons Ci = {x e C I suppx =Ai}. 
Par la Proposition 4 Ci est simple et par construction C = C~ ~ C2 ~"  • • • Cn. 
Soit C = C~ ~ C~ ~-- :C"  une autre d6composition en commposantes simples. 
Alors C~ = (C1 n C~) ~ (C2 n C~) ~. . .  ~ (C~ n C~). Les sous-codes C~ n Cj ont 
des supports disjoints. Comme C" est simple alors il existe un unique j tel que 
C~ n C; = C~. Donc C; = C/. 
(ii) Comme f est une isom6trie et que les Ci sont ~ supports disjoints on a 
C' =f(Cl)~f(C2)~'" "~)f(Cm). Si f(Ci) n'est pas simple alors il existe deux 
sous-codes D1, 1)2 de f(Ci) ~ supports disjoints mais alors f-l(D1) et f-l(D2) sont 
deux sous-codes de Ci ~ supports disjoints. Contradiction puisque simple. [] 
3. Le cas general 
Nous allons ramener le cas g6n6ral au cas particulier clue nous avons trait6 ~ la 
Section 1 en utilisant les codes simples. 
Proposition 6. Soient C et C' deux codes simples et f une isom#trie de C vers C'. 
Alors il existe oll, ~2 , . . . ,  oLn, ill, f12, . . . ,  fin ~8:* tels que ~i(x)= oCdrl(flix) 
pour i= 1, 2 , . . . ,  n. 
Preave. Posons A0 = {1} et pour l~  > 1, At = {i l i  ~ [_)~j-~Aj, il existe m ~A/-1 et 
un mot 616mentaire x de C tel que {i, m} = suppf(x)}. Puisque C' est simple 
Uj~,oA j={1,2 , . . .  ,n},  en vertu la Proposition 4. Posons t rx=f l l= l  et 
montrons par induction sur I que la proposition est vraie pour i ~ Uj~,oAj. 
Supposons que Z~h(X) = trh:tX(flhX) pour les h ~ U~F 1Ap Soit i ~ Al alors il existe 
un mot 616mentaire x = (xl, x2 , . . . ,  x,,) tel que {i, m} = suppf(x) pour un 
certain m ¢ At-~. On peut poser en vertu de la Proposition 2 que xo-l(o = 1. f (x)  
182 A. Montpetit 
admet en positions i et m les coordonn6es ~ri(1) et :rm(xo-l(,~}). Pour Z • ~:*, f(Zx) 
a dans les m~mes positions Jri(A) et :rm(ZXo-l~m~). Par la Proposition 2, il existe 
Z '•P* ,  tel que f (Ax)=~' f (x ) .  D'o~ Z'=~r,,,(ZXo-l(r~))~r,~(Xo-,(,0) -1. Donc 
~i( ) . )  - "  ~rm(~.Xo-~(m))~m(Xo-~(m))--l~i(1). En utilisant l'hypoth~se d'induction, on 
obtient :r~()~): ~ri(Zfl,~Xo-~m))~l(flr~Xo-~(r~)-l~r~(1). En posant f l~=flmXo-l(m ~ et 
a~ = :rl(fl~)-~:ri(1) on a le  r6sultat. [] 
Remsurque 4. On peut simplifier un peu la preuve pr6c6dente n invoquant le fait 
que C est simple si et seulement si le matro'ide M(C)  associ6 (dont les circuits 
sont les supports des mots 616mentaires) est connexe et en utilisant la 
caract6risation des matroides connexes donn6e en [8, p. 317]: un matro'ide st 
connexe si et seulement si toute paire d'616ments est contenue dans un circuit. 
Des Propositions 1 et 2, on d6duit le r6sultat principal de ce travail. 
Th6or~me 7. Soit  C et C '  deux codes s imples.  II existe une isom#trie de C vers C'  
si et seu lement  si il existe une isom~trie semi- l in#aire de C vers C' .  
Preuve. Soit f une isom6trie de C vers C'. Par la Proposition 6, il existe tr~, 
a~2, • • . ,  try, ill, fiE, • • . ,  fl,, • ~:* tels que :ri(x) = trl:rl(/fix) pour i = 1, 2 , . . .  , n. 
Consid6rons les isom6tries lin6aires 
h l " (x l ,  x2, . . . , x~)--->(fl lxo-,o), f12Xo-,(2),..., flnXo71(~)), 
h2"(x l ,  x2, . . . , x,,)--->(o:-llxl, tr21x2, . . . , tr~-lxn). 
On a la situation suivante 
C f ~ C' 
h~(C) , h2(C') 
h2ofoh?  1 est une isom6tde de h i (C)  vers h2(C')  d6finie par 
(x , ,  x2 ,  • • • ,  xn) - - ,  
Appliquant la Proposition 1 on trouve un automorphisme • tel que 
g: (x l ,  x2, . . . , x~)--->(O(xl) ,  O(x2), . . . ,  O(xn)) 
est une isom6trie de hi(C) vers h2(C'). Donc h~logoh l  est une 
semilin6aire de C vers C'. [] 
isom6tde 
En utilisant la d6composition en codes simples d'un code lin6aire on d6duit le 
r6sultat suivant. 
Note sur la notion d'equivalence entre deux codes lineaires 183 
Th6or~me 8. Soit C et C' deux codes lindaires. II existe une isomdtrie de C vers C' 
si et seulement si il existe une isomdtrie additive de C vers C' dont les restrictions 
aux composantes simples de C sont semi-lin~aires. 
Prenve. Soit C = C 1 ~ C 2 ~) .  • • ~ C m la d6composition en composantes simples 
de C et f une isom6trie de C vers C'. Alors par la Proposition 5, C '= 
f(C1) ~)f(C2) ~- - -  @f(Cm) est la d6composition de C' en composantes simples. 
Puisque f lc l  est une isom6trie de C1 vers f(Ci) pour i = 1, 2 , . . . ,  mi l  existe par 
le Th6or6me 7 une isom6trie semi-lin6aire gi de Ci vers f(Ci). Si x e C alors 
x = Xl + x2 +""  + Xm avec Xl e Ci. Posons g(x) = gl(xO + gE(x2) +" -  + gm(Xm). 
La fonction g est additive, ses restrictions aux composantes simples de C sont 
semi-lin6aires. Enfin g est une isom6trie puisque les Ci ont des supports 
disjoints. [] 
Si 0: est un corps premier, on obtient le th6or6me suivant comme corollaire 
imm6diat du TheorSme 8 car il n'y a pas d'autre automorphisme que l'identit6. 
Th6or~me 9. Soit ~: un corps premier, C et C' deux codes lindaires de ~:'. II existe 
une isomdtrie de C vers C' si et seulement si il existe une isom#trie lin#aire de C 
vers C. 
4. Un exemple 
Nous donnons un exemple de codes lindaires C et C' isom6triques (i.e., 
6quivalents aux sens g6n6ral du terrne [6, p. 40] et [1]) tels qu'il n'existe aucune 
application semi-lin6aire f 'Fq--> Fq pr6servant le poids de Hamming et telle que 
f (C )  = C'. Cet exemple off les codes C et C' sont nonsimples, montre que la 
condition n6cessaire du Th6orSme 8 est la meilleure possible. 
Soit q =pm Oh pest  premier et m I> 2. Soit tp un automorphisme de F et a~, 
f le F. Consid6rons les codes C et C' engendr6s respectivement par les lignes 
I 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 i1  G= 0 0 1 a, fl 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 a~ 
[ i  1 1 1  1 0 0 0 0  
G '= 01  (p(tr) (p(fl) 0 0 0 0  
00  0 0 1111 
00  0 0 0001 
Oil 0 1 
a, 
I1 existe une isom6trie de C vers C': il suffit de prendre o = identit6, :ri =q9 
pour 1 ~< i ~< 5 et ~r/= identit6 pour 6 <~ i ~< 11. 
184 A. Montpetit 
Si on choisit q0, t~ et fl de teUe sorte que tr, f le F \  {0, 1} et q0(y) ~ {3, 3 '-~} 
pour ) ,= t r (1 - f l ) f l - l (1 -  ~)-1, alors on peut d6montrer qu'il n'existe pas 
d'application semi-lin6aire f:F~-...~ F 1~ qui soit une isom6trie de Hamming. 
Supposons au contraire l'existence d'une telle application semi-lin6aire f 
d'automorphisme associ6 ~. 
Remarquons d'abord que les d6eompositions en composantes simples de C et 
C' sont 
C-- C 1~ C2, C' -- C~ ~ C2, 
o~ C1 et CI sont les codes engendr6s par les deux premi6res lignes des matrices G 
et G' respectivement. C2 6tant le code engendr6 par les deux derni6res. 
La Proposition 5 entraine alors que f (C1)= C~ et f (C2)= C2 puisque f 
pr6servant le poids l'image de [00000111111] ne peut ~tre dans CI (qui n'a pas de 
mot de poids 6). Utilisant ensuite l'6galit6 (,) de l'introduction, on est amen6 
des contraintes ur l'automorphisme T qui ne peuvent ~tre satisfaites ous les 
conditions indiqu6es plus haut portant sur t~, fl et tp. 
Dans le cas particulier q = 8, on peut prendre pour a~ et fl deux 616ments 
distincts quelconques diff6rents de 0 ou 1 et pour tp un automorphisme 
quelconque diff6rent de l'indentit6. 
Remarque 5. Le travail fait plus naut montre 6galement qu'il n'existe pas 
d'isom6tde lin6aire de C1 sur CI malgr6 le fait que ces codes soient simples. 
L'hypoth~se que le corps F soit premier darts le Th6or~me 9 est done essentielle. 
Remerciements 
Je tiens h exprimer ma gratitue aux membres du groupe de recherche en 
th6orie des codes et combinatoire de l'Universit6 de Sherbroke dont les 
remarques judicieuses ont guid6 ce travail et Pierre Bonneau pout l'int6rSt qu'il a 
manifest6 pour ce travail et son apport essentiel darts la conception de l'exemple 
4. 
Bibliographie 
[1] P. Bonneau, Codes et Combinatoire, Th~'se de 3eme Cycle, Paris VI (1984). 
[2] K. Bogart, D. Goldberg and J. Gordon, An elementary proof of the MacWilfiams theorem on 
equivalence of codes, Inform. Control 37 (1978) 19-22. 
[3] D. Goldberg, A generalized weight for linear codes and a Witt-MacWilliams theorem. J. 
Combin. Theory Ser. A 29 (1980) 363-367. 
[4] F.J. MacWilliams, Error-correcting codes for multiple level transmission, Bell System Tech. J. 40 
(1961) 281-308. 
Note sur la notion d'equivalence entre deux codes lineaires 185 
[5] F.G. MacWilliams, Combinatorial problems of elementary groups, Ph. D. Thesis, Harvard 
University (1962). 
[6] F.J. MacWilliams and N.J.A. Sloane, The Theory of Error Correcting Codes (North-Holland, 
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[7] N.D.A. Welsh, Matroid Theory (Academic Press, New York, 1976). 
[8] M. Aigner, Combinatorial Theory (Springer, Berlin, 1979). 


Note sur la notion d'equivalence entre deux codes lineaires 

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