Розглянуто різні системні підходи до вивчення процесів вібраційного ущільнення матеріалу. Весь процес ущільнення матеріалу формалізований як складна фізико-механічна система. Приведено результати досліджень на оптимізацію параметрів математичної моделі для вібраційного ущільнення матеріалу.Various approaches to the mathematical description of the comhressed powder material have been examined in the article. The results of the investigation of optimal parameters to the mathematical description for the comhressed powder material

Орлова, Н. Д.

eNTUKhPIIR Electronic National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"; Institutional Repository

 126 УДК 543.1/532.135:541.12.015  Н.Д. ОРЛОВА, канд. техн. наук,  Одесская национальная морская  академия  О НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ В ТЕОРИИ  ВИБРАЦИОННОГО УПЛОТНЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ  Розглянуто різні системні підходи до вивчення процесів вібраційного ущільнення матеріалу. Весь процес ущільнення матеріалу формалізований як складна фізико-механічна система. Приведено результати досліджень на оптимізацію параметрів математичної моделі для вібраційного ущіль-нення матеріалу.  Various approaches to the mathematical description of the comhressed powder material have been exam-ined in the article. The results of the investigation of optimal parameters to the mathematical description for the comhressed powder material.  Вступление. Уплотнение смеси состоит в укладке твердых частиц, при которой  объём, не занятый твердыми частицами  является наименьшим и неизменным в течение длительного промежутка времени. Механизм уплотнения, состоя-щий из двух фаз, является общепризнанным [3, 4, 5, 6, 7, 8] и имеются  лишь различия в толковании процессов, происходящих в каждой фазе. Меха-низм уплотнения по Е.М. Куприянову [5] и Л.Лермиту [3] состоит в обеспе-чении вихрей и турбулентного движения в смеси, В.Н. Шмигальский [6] и Д.Д. Баркан [7] считают главными деформационные процессы. Процесс уп-лотнения по П.В.Михайлову [8] состоит   из   двух фаз: разрушение струк-турных связей и самоуплотнение. Механизм уплотнения по О.А. Савинову и Е.В. Лавринович [8, 9] состоит из трех стадий: перегруппировки составляю-щих, их   сближения и компрессионного уплотнения. При вибрационном уп-лотнении возможны только первые две стадии, которые по содержанию сов-падают  с соответствующими фазами по Н.В. Михайлову [8]. Встречается уплотнение естественное и принудительное. Процесс есте-ственного уплотнения представляется так: случайные внешние воздействия нарушают равновесие между силами трения, сцепления и весом частиц. Если на некотором  временном промежутке  сила веса частиц оказывается больше сил трения и сцепления и под действием собственного веса частицы прихо-дят в движение, происходит перегруппировка расположения частиц  в более  127 компактную, объем смеси уменьшается и смесь уплотняет. Аналогично осу-ществляется и искусственное уплотнение, только в этом случае случайные внешние воздействия  заменяются целенаправленными  воздействиями для снятия сил трения и сцепления.   Основная часть. Механизм вибрационного уплотнения. Рассмотрим физическую и мате-матическую модель совместного движения вибратора и смеси. Ввиду слож-ности такой общей задачи приходится пользоваться упрощенными моделями как физическими, так и математическими. Наиболее общая модель: вибратор – система двух тел (корпус и вал вибратора), смесь – система материальных точек (тел), помещенных в некоторую непрерывную среду. При этом точки системы - это всевозможные составляющие смеси, а среда – реологическое тело, наделенное определенными свойствами. В  большинстве задаче же по уплотнению смеси наибольший интерес, представляет именно рассмотрение совместного движения смеси и вибратора. Смесь рассматривают  либо как систему физических материальных точек, внутренние силы которой извест-ны (в [4] это силы  сухого трения между частицами), либо как идеальное, изотропное, однородное упругое тело [6] либо вязко-упруго-пластическое тело [7, 8, 1]).  Рассмотрим одну из  физических моделей принудительного  вибрацион-ного уплотнения смесей. Математическая модель процесса уплотнения со-держит дифференциальные виброуплотняющих устройств и смеси. В этом случае вибрационная площадка представлена в виде физической материаль-ной точки, на которую действуют  упругие и вязкие силы, силы инерции, возмущающая сила и сила веса:    gmmFcyyrymm cpcp )(6)( ++=+++ &&& hp   где  )( cp mm + – масса площадки и смеси; h – вязкость смеси, которая явля-ется функцией начальной и конечной вязкости ( mhh ,0 ) смеси; gmmF cp )( ++  – возмущающая сила и сила веса; r радиус шара, объём ко-торого равен объёму смеси; ñ  – суммарная жесткость упругих опор виброп-лощадки и смеси.   В безразмерных величинах  такая математическая модель может быть представлена в виде  [7,1]  128 )(2 2 tuykyny =+¢+¢¢   Рекомендации по выбору режима уплотнения в этом случае рассматри-ваются как одна из задач математического моделирования. Системой в этом случае выступает уплотняемая смесь и вибрационное устройство. Начальная пористость (характеристика смеси) и начальная частота, и амплитуда  вибра-ционной площадки входные характеристики системы. Расчетный процесс время уплотнения. Состояние – истинные характеристики бетонной смеси в процессе уплотнения. Цель управления  получить  минимальную пористость исходной структуры ¥Ï . Следовательно, требуется найти максимум функционала:       ò ®TdttuT 02 max)(21&    при условиях 0)()(,)0(,)0(),(2 102 =¥¢=¥=¢==+¢+¢¢ yyyyyytuykyny .  В данном случае объектом управления является система материальных точек (уплотняемая смесь), )(ty - фазовая координата, )(tu  управление, при котором кинетическая энергия вибрационной площадки достигала бы макси-мума за минимальное время T .  Таким образом,  имеем задачу на условный экстремум функционала при дифференциальных связях. Запишем уравнение связи в виде:  0)(2 2 =-+¢+¢¢ tuykyny .  Построим функцию Лагранжа ))(2)(()( 22 tuykynytutL -+¢+¢¢+= l&  и составим уравнения Эйлера-Пуассона для двух неизвестных функций )(),( tytu :    00;22=¶¶-¶¶=¢¢¶¶+¢¶¶-¶¶uLdtduLyLdtdyLdtdyL&   129 Вычисляя, соответствующие производные и присоединяя к ним уравне-ния связи, получим:                                     0)()(2)( 2 =+¢-¢¢ tktnt lll                                        (1)  )(2 tu l-=&&                                                      (2)  0)(2 2 =-+¢+¢¢ tuykyny                                         (3)  Определим функцию )(tl  из дифференциального уравнения (1), рас-смотрев два случая:   1. Равнодействующая сил, осуществляющих уплотнение, меньше сил препятствующих уплотнению kn f (случай большого сопротивления, смесь не уплотняется) решение дифференциального уравнения (1) имеет вид:  tktknn ecect )n-(n2)(12222)( --+ +=l   и при подстановки  его в уравнения (2) и (3) получаем, что экстремума у за-данного функционала не существует; 2. Равнодействующая сил, осуществляющих уплотнение больше сил препятствующих уплотнению kn p  (упругие характеристики смеси больше характеристик вязкости, случай малого сопротивления и уплотнения смеси).  Решение дифференциального уравнения (1) имеет вид:                                            ),sin()( 0jwl += tÀetnt   где – 222434302423 ,,,,  nkconstccccarctgccA -=-=+= wj .  Из уравнения (2) находим  управление )(tu :                12012 sin2)sin(2)sin(2)( yyjywkAAttkAtu +-++-=     (4)  где ;2; 2201 wwjywy--==nnarctgnarctg   130 Таким образом, оптимальное управление )(tu будет носить периодиче-ский характер, начиная с момента времени:            )sin(sin0210jyy-=kt   Выводы. Анализ теоретических результатов исследования на экстремум функ-ционала подтверждает  известный экспериментальный факт, что для  умень-шения времени уплотнения смеси возмущающее воздействие должно носить периодический характер. Минимальное время уплотнения смеси T  можно определить из уравне-ния:   ò =TTdttu02 2)(&   при управление )(tu  определенным формулой (4). Предложенная математическая модель процесса вибрационного уплот-нения материалов позволяет найти структуру и параметры оптимального управления уплотнения материалов.    Список литературы: 1. Овчинников П.Ф., Орлова Н.Д. Влияние характера движения на укладку шаров во вращающейся емкости // Доклады АН УССР. – 1979. – Серия А, № 1. – С. 31 – 36.  2. Б.Г. Скрамтаев, П.Ф. Шубенкин, Ю.М.Баженов. Способы определения состава бетона различ-ных видов. – М.: Строительство, 1966. – 109 с. 3. Л. Лермит. Проблемы технологии бетона. – М.: Стройиздат, 1959. – 165 с. 4. П.M. Миклошевский. Вибрирование бетонной смеси. – Волгостройиз-дат, 1937. – 127 с. 5. Е.M. Kуприянов Уплотнение насыпных грунтов. – М.: Стройиздат, 1966.  – 175 с. 6. B.H. Шмигальский Проблемы интенсификации повышения качества виброуплотнения бетонных смесей: Автореф. Докт … дис. – Новосибирск, 1968. – 350 с. 7. Д.Д. Б аркан. Виброме-тод в строительстве. – М.: Стройиздат, 1966. – I94 с. 8. Н.В. Михайлов. Основные принципы новой технологии бетона и железобетона. – М., Госстройиздат, 1961. – 208 с. 9. Овчинников П.Ф., Вере-щагин В.Н., Орлова Н.Д. Расчет основных конструктивных параметров вибратора с переменным амплитудно-частотным режимом вибрирования. // Вибротехника. – 1973. – № 3(20). – C. 123 – 129. 10. Овчинников П.Ф., Кропивянский П.С., Орлова Н.Д. Реология виброуплотнения смеси выбор параметров её уплотнения. // ИВУЗ. Строительство и архитектура. – 1976. – № 9. – C. 103 – 107.  Поступила в редколлегию 16.10.08.   

О некоторых математических моделях в теории вибрационного уплотнения материалов

Library of National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

 126 
УДК 543.1/532.135:541.12.015 
 
Н.Д. ОРЛОВА, канд. техн. наук,  
Одесская национальная морская  академия 
 
О НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ В ТЕОРИИ  
ВИБРАЦИОННОГО УПЛОТНЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 
 
Розглянуто різні системні підходи до вивчення процесів вібраційного ущільнення матеріалу. Весь 
процес ущільнення матеріалу формалізований як складна фізико-механічна система. Приведено 
результати досліджень на оптимізацію параметрів математичної моделі для вібраційного ущіль-
нення матеріалу. 
 
Various approaches to the mathematical description of the comhressed powder material have been exam-
ined in the article. The results of the investigation of optimal parameters to the mathematical description 
for the comhressed powder material. 
 
Вступление. 
Уплотнение смеси состоит в укладке твердых частиц, при которой  
объём, не занятый твердыми частицами  является наименьшим и неизменным 
в течение длительного промежутка времени. Механизм уплотнения, состоя-
щий из двух фаз, является общепризнанным [3, 4, 5, 6, 7, 8] и имеются  
лишь различия в толковании процессов, происходящих в каждой фазе. Меха-
низм уплотнения по Е.М. Куприянову [5] и Л.Лермиту [3] состоит в обеспе-
чении вихрей и турбулентного движения в смеси, В.Н. Шмигальский [6] и 
Д.Д. Баркан [7] считают главными деформационные процессы. Процесс уп-
лотнения по П.В.Михайлову [8] состоит   из   двух фаз: разрушение струк-
турных связей и самоуплотнение. Механизм уплотнения по О.А. Савинову и 
Е.В. Лавринович [8, 9] состоит из трех стадий: перегруппировки составляю-
щих, их   сближения и компрессионного уплотнения. При вибрационном уп-
лотнении возможны только первые две стадии, которые по содержанию сов-
падают  с соответствующими фазами по Н.В. Михайлову [8]. 
Встречается уплотнение естественное и принудительное. Процесс есте-
ственного уплотнения представляется так: случайные внешние воздействия 
нарушают равновесие между силами трения, сцепления и весом частиц. Если 
на некотором  временном промежутке  сила веса частиц оказывается больше 
сил трения и сцепления и под действием собственного веса частицы прихо-
дят в движение, происходит перегруппировка расположения частиц  в более 
 127 
компактную, объем смеси уменьшается и смесь уплотняет. Аналогично осу-
ществляется и искусственное уплотнение, только в этом случае случайные 
внешние воздействия  заменяются целенаправленными  воздействиями для 
снятия сил трения и сцепления.  
 Основная часть. 
Механизм вибрационного уплотнения. Рассмотрим физическую и мате-
матическую модель совместного движения вибратора и смеси. Ввиду слож-
ности такой общей задачи приходится пользоваться упрощенными моделями 
как физическими, так и математическими. Наиболее общая модель: вибратор 
– система двух тел (корпус и вал вибратора), смесь – система материальных 
точек (тел), помещенных в некоторую непрерывную среду. При этом точки 
системы - это всевозможные составляющие смеси, а среда – реологическое 
тело, наделенное определенными свойствами. В  большинстве задаче же по 
уплотнению смеси наибольший интерес, представляет именно рассмотрение 
совместного движения смеси и вибратора. Смесь рассматривают  либо как 
систему физических материальных точек, внутренние силы которой извест-
ны (в [4] это силы  сухого трения между частицами), либо как идеальное, 
изотропное, однородное упругое тело [6] либо вязко-упруго-пластическое 
тело [7, 8, 1]).  
Рассмотрим одну из  физических моделей принудительного  вибрацион-
ного уплотнения смесей. Математическая модель процесса уплотнения со-
держит дифференциальные виброуплотняющих устройств и смеси. В этом 
случае вибрационная площадка представлена в виде физической материаль-
ной точки, на которую действуют  упругие и вязкие силы, силы инерции, 
возмущающая сила и сила веса: 
   
gmmFcyyrymm cpcp )(6)( ++=+++ &&& hp  
 
где  )( cp mm + – масса площадки и смеси; h – вязкость смеси, которая явля-
ется функцией начальной и конечной вязкости ( mhh ,0 ) смеси; 
gmmF cp )( ++  – возмущающая сила и сила веса; r радиус шара, объём ко-
торого равен объёму смеси; ñ  – суммарная жесткость упругих опор виброп-
лощадки и смеси.  
 
В безразмерных величинах  такая математическая модель может быть 
представлена в виде  [7,1] 
 128 
)(2 2 tuykyny =+¢+¢¢  
 
Рекомендации по выбору режима уплотнения в этом случае рассматри-
ваются как одна из задач математического моделирования. Системой в этом 
случае выступает уплотняемая смесь и вибрационное устройство. Начальная 
пористость (характеристика смеси) и начальная частота, и амплитуда  вибра-
ционной площадки входные характеристики системы. Расчетный процесс 
время уплотнения. Состояние – истинные характеристики бетонной смеси в 
процессе уплотнения. Цель управления  получить  минимальную пористость 
исходной структуры ¥Ï . 
Следовательно, требуется найти максимум функционала: 
   
   ò ®
T
dttu
T 0
2 max)(
2
1
&  
 
 при условиях 0)()(,)0(,)0(),(2 10
2 =¥¢=¥=¢==+¢+¢¢ yyyyyytuykyny . 
 
В данном случае объектом управления является система материальных 
точек (уплотняемая смесь), )(ty - фазовая координата, )(tu  управление, при 
котором кинетическая энергия вибрационной площадки достигала бы макси-
мума за минимальное время T .  
Таким образом,  имеем задачу на условный экстремум функционала при 
дифференциальных связях. 
Запишем уравнение связи в виде: 
 
0)(2 2 =-+¢+¢¢ tuykyny . 
 
Построим функцию Лагранжа ))(2)(()( 22 tuykynytutL -+¢+¢¢+= l&  и 
составим уравнения Эйлера-Пуассона для двух неизвестных функций 
)(),( tytu : 
 
  00;2
2
=
¶
¶
-
¶
¶
=
¢¢¶
¶
+
¢¶
¶
-
¶
¶
u
L
dt
d
u
L
y
L
dt
d
y
L
dt
d
y
L
&
 
 
 129 
Вычисляя, соответствующие производные и присоединяя к ним уравне-
ния связи, получим: 
 
                                   0)()(2)( 2 =+¢-¢¢ tktnt lll                                        (1) 
 
)(2 tu l-=&&                                                      (2) 
 
0)(2 2 =-+¢+¢¢ tuykyny                                         (3) 
 
Определим функцию )(tl  из дифференциального уравнения (1), рас-
смотрев два случая:   
1. Равнодействующая сил, осуществляющих уплотнение, меньше сил 
препятствующих уплотнению kn f (случай большого сопротивления, смесь 
не уплотняется) решение дифференциального уравнения (1) имеет вид: 
 
tktknn ecect )n-(n2
)(
1
2222
)( --+ +=l  
 
и при подстановки  его в уравнения (2) и (3) получаем, что экстремума у за-
данного функционала не существует; 
2. Равнодействующая сил, осуществляющих уплотнение больше сил 
препятствующих уплотнению kn p  (упругие характеристики смеси больше 
характеристик вязкости, случай малого сопротивления и уплотнения смеси).  
Решение дифференциального уравнения (1) имеет вид:   
 
                                        ),sin()( 0jwl += tÀet
nt  
 
где – 22243
4
3
0
2
4
2
3 ,,,,  nkconstccc
carctgccA -=-=+= wj . 
 
Из уравнения (2) находим  управление )(tu : 
 
              12012 sin2
)sin(
2
)sin(
2
)( yyjyw
k
AAtt
k
Atu +-++-=     (4) 
 
где ;2; 2201 w
w
jy
w
y
-
-==
n
narctg
n
arctg  
 130 
Таким образом, оптимальное управление )(tu будет носить периодиче-
ский характер, начиная с момента времени: 
    
       
)sin(
sin
0
2
1
0
jy
y
-
=
k
t  
 
Выводы. 
Анализ теоретических результатов исследования на экстремум функ-
ционала подтверждает  известный экспериментальный факт, что для  умень-
шения времени уплотнения смеси возмущающее воздействие должно носить 
периодический характер. 
Минимальное время уплотнения смеси T  можно определить из уравне-
ния: 
  
ò =
T
Tdttu
0
2 2)(&  
 
при управление )(tu  определенным формулой (4). 
Предложенная математическая модель процесса вибрационного уплот-
нения материалов позволяет найти структуру и параметры оптимального 
управления уплотнения материалов.   
 
Список литературы: 1. Овчинников П.Ф., Орлова Н.Д. Влияние характера движения на укладку 
шаров во вращающейся емкости // Доклады АН УССР. – 1979. – Серия А, № 1. – С. 31 – 36.  
2. Б.Г. Скрамтаев, П.Ф. Шубенкин, Ю.М.Баженов. Способы определения состава бетона различ-
ных видов. – М.: Строительство, 1966. – 109 с. 3. Л. Лермит. Проблемы технологии бетона. – М.: 
Стройиздат, 1959. – 165 с. 4. П.M. Миклошевский. Вибрирование бетонной смеси. – Волгостройиз-
дат, 1937. – 127 с. 5. Е.M. Kуприянов Уплотнение насыпных грунтов. – М.: Стройиздат, 1966.  
– 175 с. 6. B.H. Шмигальский Проблемы интенсификации повышения качества виброуплотнения 
бетонных смесей: Автореф. Докт … дис. – Новосибирск, 1968. – 350 с. 7. Д.Д. Б аркан. Виброме-
тод в строительстве. – М.: Стройиздат, 1966. – I94 с. 8. Н.В. Михайлов. Основные принципы новой 
технологии бетона и железобетона. – М., Госстройиздат, 1961. – 208 с. 9. Овчинников П.Ф., Вере-
щагин В.Н., Орлова Н.Д. Расчет основных конструктивных параметров вибратора с переменным 
амплитудно-частотным режимом вибрирования. // Вибротехника. – 1973. – № 3(20). – C. 123 – 129. 
10. Овчинников П.Ф., Кропивянский П.С., Орлова Н.Д. Реология виброуплотнения смеси выбор 
параметров её уплотнения. // ИВУЗ. Строительство и архитектура. – 1976. – № 9. – C. 103 – 107. 
 
Поступила в редколлегию 16.10.08. 
 
 


http://repository.kpi.kharkov.ua/bitstream/KhPI-Press/34386/1/vestnik_KhPI_2008_39_Orlova_O_nekotorykh.pdf

О некоторых математических моделях в теории вибрационного уплотнения материалов

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

eNTUKhPIIR Electronic National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"; Institutional Repository

Library of National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"