Quantifications des algèbres de Hopf d'arbres plans décorés et lien avec les groupes quantiques

Abstract

RésuméNous introduisons un foncteur de la catégorie des espaces tressés dans la catégorie des algèbres de Hopf tressées, associant à tout espace tressé V une algèbre de Hopf tressée d'arbres plans enracinés HP,R(V). Nous montrons que l'algèbre de Nichols de V est un sous-quotient de HP,R(V). Nous construisons un couplage de Hopf non dégénéré entre HP,R(V) et HP,R(V∗), généralisant ainsi l'un des résultats de [Bull. Sci. Math. 126 (2002) 193–239]. Lorsque le tressage de V est de la forme c(vi⊗vj)=qi,jvj⊗vi, nous obtenons une quantification des algèbres de Hopf d'arbres HDP,R introduites dans [Bull. Sci. Math. 126 (2002) 193–239 ; 126 (2002) 249–288]. Lorsque qi,j=qai,j, avec q une indéterminée et (ai,j)i,j la matrice de Cartan d'une algèbre de Lie semi-simple g, Uq(g+) est un sous-quotient de HP,R(V). Dans ce cas, nous effectuons le produit croisé de HP,R(V) avec un tore puis construisons le double de Drinfel'd D(HP,R(V)) de l'algèbre de Hopf ainsi obtenue. Nous montrons que Uq(g) est un sous-quotient de D(HP,R(V)).AbstractWe introduce a functor from the category of braided spaces into the category of braided Hopf algebras which associates to a braided space V a braided Hopf algebra of planar rooted trees HP,R(V). We show that the Nichols algebra of V is a subquotient of HP,R(V). We construct a Hopf pairing between HP,R(V) and HP,R(V∗), generalising one of the results of [Bull. Sci. Math. 126 (2002) 193–239]. When the braiding of c is given by c(vi⊗vj)=qi,jvj⊗vi, we obtain a quantification of the Hopf algebras HDP,R introduced in [Bull. Sci. Math. 126 (2002) 193–239; 126 (2002) 249–288]. When qi,j=qai,j, with q an indeterminate and (ai,j)i,j the Cartan matrix of a semi-simple Lie algebra g, then Uq(g+) is a subquotient of HP,R(V). In this case, we construct the crossed product of HP,R(V) with a torus and then the Drinfel'd quantum double D(HP,R(V)) of this Hopf algebra. We show that Uq(g) is a subquotient of D(HP,R(V))