Dyachuk, S.

Mykhailyshyn, M.

Дячук, С.

Михайлишин, Михайло Стахович

Ukrainian

Electronic archive of Ternopil National Ivan Puluj Technical University

6 УДК 621.791.927.7 С. Дячук, М. Михайлишин (Тернопільський національний технічний університет імені Івана Пулюя)  ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ПРОЦЕСОМ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ З МІНІМАЛЬНОЮ ЕНЕРГІЄЮ  UDC 621.791.927.7 S. Dyachuk, M. Mykhailyshyn (Ternopil I.Pulyu National Technical University, Ukraine)  EFFICIENT CONTROL OF THE HEAT CONDUCTION PROCESS USING MINIMUM ENERGY  Розглядається керований процес, який в області 𝑄 = {𝑅1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏} описується функцією 𝑇(𝑟, 𝑡), яка задовольняє всередині області рівнянню  1𝑎2𝜕𝑇𝜕𝑡=𝜕2𝑇𝜕𝑟2+1𝑟𝜕𝑇𝜕𝑟+𝑤(𝑟, 𝑡)𝜆, початковим і граничним умовам 𝑇 = 0  при  𝑡 = 0,𝜕𝑇𝜕𝑟− 𝑘1𝑇 = 0  при  𝑟 = 𝑅1,   𝜕𝑇𝜕𝑟+ 𝑘2𝑇 = 0  при  𝑟 = 𝑅2. Задача оптимального керування полягає в тому, щоб знайти 𝑤(𝑟, 𝑡)𝜖𝐿2(𝑄) таку, при якій функціонал 𝐼[𝑤] = ∫ [𝑇(𝑟, 𝜏) − 𝑇з(𝑟)]2𝑟𝑑𝑟𝑅2𝑅1+ ∫ ∫ 𝑤2(𝑟)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜏𝑅2𝑅1,𝜏0 де 𝑇з(𝑟) − задана функція, приймав найменше можливе значення. Будується розширений функціонал задачі 𝐼[𝑤] + ∫ ∫ ?̃?(𝑟, 𝑡) [𝜕2𝑇𝜕𝑟2+1𝑟𝜕𝑇𝜕𝑟−1𝑎2𝜕𝑇𝜕𝑡+𝑤(𝑟, 𝑡)𝜆]𝑅2𝑅1𝜏0𝑟𝑑𝑟𝑑𝜏, з умови стаціонарності якого отримуємо спряжену задачу 𝜕2?̃?𝜕𝑟2+1𝑟𝜕?̃?𝜕𝑟−1𝑎2𝜕?̃?𝜕𝑡= 0, 𝜕?̃?𝜕𝑟− 𝑘1?̃? = 0  при  𝑟 = 𝑅1,   𝜕?̃?𝜕𝑟+ 𝑘2?̃? = 0  при  𝑟 = 𝑅2. ?̃?(𝑟, 𝜏) = 2[𝑇(𝑟, 𝜏) − 𝑇з(𝑟)],   𝑤(𝑟, 𝑡) = −12𝜆?̃?(𝑟, 𝑡). Використовуючи метод Фур’є знайдено розв’язки спряженої та прямої задач і отримано оптимальний закон розподілу питомої потужності джерел 𝑤(𝑟, 𝑡) = ∑2𝑡𝑘𝜇𝑘2𝑒𝑎2𝜇𝑘2(𝑡−𝜏)1 + 2𝜇𝑘2 − 𝑒−2𝑎2𝜇𝑘2𝜏?̃?𝑘(𝑟),∞𝑘=1 де  ?̃?𝑘(𝑟) = [𝑘2𝑌0(𝜇𝑘𝑅2) − 𝜇𝑘𝑌1(𝜇𝑘𝑅2)]𝐽0(𝜇𝑘𝑟) − [𝑘2𝐽0(𝜇𝑘𝑅2) − 𝜇𝑘𝐽1(𝜇𝑘𝑅2)](𝑌0(𝜇𝑘𝑟), 𝑡𝑘 =1‖?̃?𝑘‖2 ∫ 𝑇з(𝑟)𝑅2𝑅1?̃?𝑘(𝑟)𝑟𝑑𝑟, 𝜇𝑘 −корені характеристичного рівняння [𝑘2𝐽0(𝜇𝑅2) − 𝜇𝐽1(𝜇𝑅2)] ∙ [𝑘1𝑌0(𝜇𝑅1) − 𝜇𝑌1(𝜇𝑅1)] − −[𝑘1𝐽0(𝜇𝑅1) + 𝜇𝐽1(𝜇𝑅1)] ∙ [𝑘2𝑌0(𝜇𝑅2) − 𝜇𝑌1(𝜇𝑅1)], ‖?̃?𝑘‖2=(𝜇𝑘2 + 𝑘22)[𝑘1𝐽0(𝜇𝑘𝑅1) + 𝜇𝑘𝐽1(𝜇𝑘𝑅1)]2 − (𝜇𝑘2 + 𝑘12)[𝑘2𝐽0(𝜇𝑘𝑅2) − 𝜇𝑘𝐽1(𝜇𝑘𝑅2)]2𝜋2𝜇𝑘22[𝑘2𝐽0(𝜇𝑘𝑅2) − 𝜇𝑘𝐽1(𝜇𝑘𝑅2)]2. Знайдений оптимальний закон розподілу теплових джерел при індукційному нагріві деталей циліндричної форми.  

Efficient control of the heat conduction process using minimum energy

http://elartu.tntu.edu.ua/bitstream/lib/30423/2/IMST_2019_Dyachuk_S-Efficient_control_of_the_heat_6.pdf

Efficient control of the heat conduction process using minimum energy

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic archive of Ternopil National Ivan Puluj Technical University