U ovom radu prezentiramo matematički model koji opisuje mogući konflikt između dviju država/saveza s pomoću jednostavnog sustava običnih diferencijalnih jednadžbi. Koristeći se osnovnim pojmovima i rezultatima teorije stabilnosti, analiziramo izvedeni model i diskutiramo njegovu valjanost na temelju stvarnih događanja uoči Prvog svjetskog rata.

http://e.math.hr/math_e_article/br16/matijasevic_pazani

Igor Pažanin

Zlatko Matijašević

Croatian

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

math.eHrvatski matematički elektronički časopisMatematičko modeliranje konflikta - Richardsonov modelobične diferencijalne jednadžbe SažetakU  ovom  radu  prezentiramo  matematički  model  koji  opisuje  mogući  konflikt  između  dviju  država/saveza  s  pomoćujednostavnog sustava običnih diferencijalnih jednadžbi. Koristeći se osnovnim pojmovima i rezultatima teorije stabilnosti,analiziramo izvedeni model i diskutiramo njegovu valjanost na temelju stvarnih događanja uoči Prvog svjetskog rata.Budući da je derivacija mjera promjene, diferencijalnim se jednadžbama najjednostavnije izražavaju i modeliraju mnogi prirodnizakoni te razni procesi u različitim područjima znanosti i tehnike (v. npr. [1, 2]). U ovom radu proučavat ćemo matematički modelkojem je cilj opisati odnos dviju država, pri čemu je svaka od njih odlučna braniti se u slučaju agresije druge. Model je zasnovan najednostavnom, linearnom sustavu običnih diferencijalnih jednadžbi te je prvi put prikazan u članku :Richardson, L. F., Generalized foreign politics: a study in group psychology, British Journal of Psychology, Monograph Supplementsno.23 (1939).Ovaj rad napisan je prema pregledu spomenutog članka koji nalazimo u [4] (odjeljak 4.5.1).Premda jednostavan, Richardsonov model predstavlja vrlo uspio pokušaj da se formalno, matematički, analizira sukob dviju strana idođe do spoznaja o uzrocima njegova izbijanja. Upravo su uzroci koji dovode do rata ili eskalacije konflikta bili predmetmnogobrojnih rasprava tijekom povijesti. Prisjetimo se jedne vezane uz Prvi svjetski rat. Sir Edward Grey, ministar vanjskih poslovaVelike Britanije, govorio je u to vrijeme: Povećanje naoružanja koje ima za cilj osnažiti osjećaj moći i sigurnosti jedne nacije,zapravo uopće ne postiže taj efekt. Posve suprotno, ono izaziva strah te uzrokuje jačanje osjećaja snage drugih nacija. Enormniporast naoružanja u Europi - to je ono što je učinilo ovaj veliki rat neizbježnim. S druge strane, L. S. Amery, član Donjeg domabritanskog Parlamenta u svom govoru 1930. replicira: Uz dužno poštovanje prema preminulom državniku, porast naoružanja samoje simptom sukoba ambicija i teritorijalnih pretenzija onih nacionalističkih sila koje su htjele rat. Rat je započeo iz jednostavnogZlatko Matijaševićstudent na PMF-Matematičkom odjeluIgor PažaninPMF-Matematički odjelSveučilište u Zagrebuigor.pazanin@math.hr1 Uvod1Matematičko modeliranje konflikta - Richardsonov model | math.e Vol 16.1razloga. Zato što su Srbija, Italija i Rumunjska željele integrirati u svoj sastav teritorije koji su u to vrijeme pripadali austrijskomcarstvu i kojih se ono nije bilo spremno odreći bez borbe. Važno je napomenuti da Richardsonov model, koji ćemo izvesti u idućempoglavlju, uzima u obzir obje teorije kao uzroke konflikta.Označimo s  ratni potencijal, tj. razinu naoružanja države  u trenutku  (mjereno u godinama), a s  razinunaoružanja države . Osnovna pretpostavka modela jest da funkcija  zadovoljava zakon prema kojem njezina brzinapromjene ovisi o sljedeća tri čimbenika:U najjednostavnijem slučaju, prva dva čimbenika moguće je opisati izrazima  i  respektivno, pri čemu smo s  i  označilipozitivne konstante. Za razliku od  i  koji potiču rast funkcije , čimbenik  usporava njezin rast te ga stogareprezentiramo s , gdje je . Na taj način dobivamo jednadžbuPretpostavljajući da se  ponaša po sličnom zakonu, analognim zaključivanjem dolazimo do jednadžbe koju morazadovoljavati :Dakle, funkcije  zadovoljavaju sljedeći autonomni  linearni sustav običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda skonstantnim koeficijentima:Uvedemo lividimo da se sustav (1) može zapisati u matričnom obliku:2 Izvod modela(1) animozitetu kojeg Država  gaji prema Državi ,(2) razini naoružanja  države ,(3) troškovima naoružavanja države .2(1)(2)Matematičko modeliranje konflikta - Richardsonov model | math.e Vol 16.2Napomena 1.  Model koji opisuje sustav (2) primjenjiv je i na saveze država (alijanse). Primjerice, u kontekstu Prvog svjetskograta, državu  možemo zamijeniti savezom Antante koji su činile Rusija, Francuska i Velika Britanija, a državu  savezom silaosovine u kojem su sudjelovale Njemačka i Austro-Ugarska.Napomena 2.  Pretpostavka modela kojom su animoziteti  i  uzeti kao konstantne vrijednosti koje nisu u funkciji vremena ,vrlo je gruba i ne odgovara realnosti. Ti parametri, bez sumnje, mijenjaju se s vremenom, štoviše, imaju velike i nagle skokove paih ne možemo reprezentirati niti neprekinutim funkcijama (pretpostavka da su  i  po dijelovima konstantnefunkcije bila bi znatno primjerenija). Bez obzira na tu manjkavost, dani model dobro opisuje stvarnu situaciju uoči Prvog svjetskograta (v. Primjer 3.4).Razmotrimo sada neke jednostavne posljedice izvedenog modela:(i) Uzmimo da je . Tada su ,  ravnotežna stanja  sustava (1)–(1), što znači da ako  i  unekom trenutku  poprime vrijednost , ,  za svaki . To možemo interpretirati kao stanje trajnogmira nastalog zbog obostranog razoružanja i nezamjeranja.(ii) Pretpostavimo da  i  iščezavaju u nekom trenutku . Tada je  i . Prema tome,Dakle, ako postoji animozitet (s bilo koje strane), obostrano razoružanje neće samo po sebi dovesti do stanja trajnog mira.(iii) Neka je  za neki . Tada iz (1) slijedi  iz čega zaključujemo da  neće i ostati  ako je barem jedanod  i  pozitivan. Zaključujemo: jednostrano razoružanje nije trajno. To je u skladu s povijesnom činjenicom da seNjemačka, koja je broj vojnika temeljem Versailleskog ugovora smanjila na  (a što je bilo znatno ispod razine njezinihsusjeda), naglo počela jačati vojsku u razdoblju od 1933-1936.(iv) Utrka u naoružavanju započinje kada "obrambeni mehanizmi" počnu dominirati i potpuno prevagnu u odnosu na ostalečimbenike. Na taj način, sustav (1) prelazi uDeriviramo li prvu jednadžbu po  i uvažimo drugu, dobivamoTime smo dobili homogenu linearnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima čije opće rješenje glasiVratimo li to u (3) , jednostavnim integriranjem nalazimoUočavamo da  kad , što možemo interpretirati kao rat.3(3)Matematičko modeliranje konflikta - Richardsonov model | math.e Vol 16.3Kao što smo prije spomenuli, nultočke desne strane predstavljaju ravnotežna stanja sustava (2). Ako je , lako je pokazati da naš sustav imajedinstveno ravnotežno stanje oblikaU ovom poglavlju želimo ustanoviti uz koje uvjete na parametre modela  i  je ravnotežno rješenje (4) stabilno, odnosnonestabilno. Problem stabilnosti sustava običnih diferencijalnih jednadžbi fundamentalno je pitanje kojom se bavi tzv. kvalitativnateorija diferencijalnih jednadžbi. Zainteresirani čitatelj može više o tome pronaći u knjigama [3, 4]. Osnovnu definiciju stabilnosti uvest ćemo za proizvoljno rješenje (ne nužno ravnotežno) autonomnog sustavaDefinicija 3.  Kažemo da je rješenje  sustava (5) stabilno ako za svaki  postoji  tako da zasvako rješenje  sustava koje u početnom trenutku zadovoljavavrijediU slučaju linearnog autonomnog sustava oblikavrijedi sljedeći važan rezultat (za dokaz v. npr. [4]):Teorem 4.  Neka je  i  njen spektar. Tada je svako rješenje linearnog sustava (6) stabilno ako i samo akovrijedipri čemu je  algebarska, a  geometrijska kratnost svojstvene vrijednosti .3 Stabilnost(4)(5)(6)(7)Matematičko modeliranje konflikta - Richardsonov model | math.e Vol 16.4Koristeći se ovim teoremom, ispitajmo sada stabilnost rješenja (4). Kako bismo mogli primijeniti navedeni rezultat, zapišimo sustav(2) u obliku (6). U tu svrhu uvedimokao razliku između proizvoljnog i ravnotežnog rješenja. Tada slijediU zadnjem koraku iskoristili smo da je  ravnotežno rješenje, tj. . Prema tome,  će biti stabilno rješenje polaznogsustava (2) ako i samo ako je  stabilno rješenje sustava (8). Odredimo sada karakteristični polinom matrice :Svojstvene vrijednosti matrice  računamo kao nultočke polinoma  i dane su saBudući da je diskriminanta , slijedi da su obje svojstvene vrijednosti realne (i različite od nule, zbog). Nadalje, one će obje biti negativne ako jetj.Uzimajući u obzir Teorem 4, zaključujemo: ravnotežno rješenje  sustava (2) stabilno je onda i samo onda kad je. Važno je uočiti da uvjet stabilnosti ne ovisi o animozitetima  i .Napomena 5.  Procjena parametara modela , , , ,  i  nije nimalo lak zadatak. Jasno je da animozitete  i  nije mogućeocijeniti. No, budući da uvjet stabilnosti ne ovisi o  i , dovoljno je na neki način procijeniti preostale parametre. Primijetimo da suti parametri obrnuto proporcionalni vremenu te ih stoga možemo izraziti s pomoću mjerne jedinice . Richardson u svomradu parametar  (odn. ) procjenjuje kao duljinu mandata parlamenta države X (odn. Y) dok za  (odn. ) pretpostavlja daje proporcionalan jačini industrije koje država X (odn. Y) posjeduje.(8)(9)Matematičko modeliranje konflikta - Richardsonov model | math.e Vol 16.5Primjer 6.  Usporedimo sada naš model sa stvarnim događanjima u Europi u razdoblju od 1909. – 1914., uoči Prvog svjetskograta. Označimo s X i Y dva saveza: X – Rusija, Francuska i Velika Britanija, Y – Njemačka i Austro-Ugarska. S obzirom na to da suta dva saveza bila približno jednakih snaga, možemo uzeti da je . Richardson dolazi do ocjene  u slučajuNjemačke, pa budući da su oba saveza približno tri puta veća u odnosu na Njemačku, stavimo . S druge strane, budućida duljina mandata parlamenata država koje sudjeluju u savezu iznosi prosječno  godina, uzimamo . Dakle,jednadžbe modela glaseSustav (10) ima jedinstveno ravnotežno stanje dano skoje nije stabilno s obzirom na to da jeTo je, naravno, u skladu s povijesnom činjenicom da su ova dva saveza na kraju ušla u sukob i tako otpočela Prvi svjetski rat.  Detaljan prikaz života i djela Lewisa Frya Richardsona moguće je pronaći na internetskoj stranici http://maths.paisley.ac.uk/LfR/home.htmNa desnim stranama u jednadžbama ne pojavljuje se varijabla .Ravnotežno stanje je rješenje polaznog sustava koje ne ovisi o vremenu, tj. za koje vrijedi . Prema tome,  će biti ravnotežno stanje sustava ako i samo ako je .ISSN 1334-6083© 2009 HMD(10)Bibliografija[1] M. Alić, Obične diferencijalne jednadžbe, Skripta PMF–Matematičkog odjela, Zagreb, 1994.[2] J.R. Brannan, W.E. Boyce, Differential Equations: An Introduction to Modern Methods & Applications, John Wiley & Sons, SanFrancisco, 2007.[3] F. Brauer, J.A. Nohel, The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations: An Introduction, Dover Publications, New York,1989.[4] M. Braun, Differential Equations and Their Applications, Springer–Verlag, New York, 1986.123Matematičko modeliranje konflikta - Richardsonov model | math.e Vol 16.6Matematičko modeliranje konflikta - Richardsonov model | math.e Vol 16.7

Matematičko modeliranje konflikta - Richardsonov model

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia