Рассматривается проблема разрешимости и устойчивости полиномиальных разностных операторов, основным источником появления которых является теория разностных схем. Основной результат работы сформулирован в теореме, в которой приведены условия на переменные коэффициенты полиномиального разностного оператора, обеспечивающие его разрешимость и устойчивость. Общая идея доказательства состоит в том, что мы сводим задачу Коши для полиномиального разностного уравнения к вопросу о разрешимости бесконечной системы линейных уравнений с бесконечным числом неизвестны
