Основные функции для классического преобразования Фурье-Бесселя ока­зались плохо приспособленными при работе с полным преобразованием Фурье-Бесселя. В связи с чем появилась необходимость введения новых классов основных функций, которые частично рассмотрены в этой работ

Рощупкин, С. А.

DSpace at Belgorod State University

124 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Ш Л Сепия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40MSC 42А38К Л А С С Ы  ОСНОВНЫ Х ФУНКЦИЙ для полного П РЕО БРАЗО ВАН И Я Ф У РЬ Е -Б Е С С Е Л ЯС .А . РощупкинЕлецкий государственный университет им. 1/1.А.Бунина, ул. Совхозная, 13, Елец, 399761, Россия, e-mail: roshupkinsa@mail.ruКлю чевые слова: преобразование Фурье-Бесселя, основные функции, интегральное яд­ро, быстро-убыватощие функции.Основные функции для классического преобразования Фурье-Бесселя (см. [1]). ока­зались плохо приспособленными при работе с полным преобразованием Фурье-Бесселя (см. [2]). В связи с чем появилась необходимость введения новых классов основных функций, которые частично рассмотрены в этой работе.Пусть R~x = Rn х RN~n, х = (х' ,х"),  х' G Rn, х" G Rn- п, j v (x)  одно из решений сингулярного уравнения Бесселя = — отвечающее индексу 7 = 2v  + 1 иудовлетворяющее условиям ^ ( 0) = 1, j'v {0) = 0.Ядра прямого и обратного полного преобразований Фурье-Бесселя имеют вид:П , чЛ7 = П ( м Ы Ф )  т i 1 , 7  = (ть  • • - .Тп), ъ  > о, ъ  = 2^  + 1.г=1 '  'Прямое и обратное полные смешанные преобразования Фурье-Бесселя (далее, со­кращ ая. будем писать 5Fв -п р е о б р а з о в а н и я ) функции и  задается выражениями:Эгв[и](^)= J  A^(xf ,£f) е_г(-т//’?//) и(х) (х')1 dx,RnЭ^1 [«](*) = Съп<м f  А~(х' ,ф) е~г{х”^”] и(х)  (х') 7 dx = С ^ м ^ в ф ф - х ) .RnЗдесь Cy.n.jv = 22(,l2i^r2(^ +1), (У )7 = П (^2)7г/2-Введем следующие обозначения: а  = (с/, а") ,  а 1 и а 11 целочисленные мультииндексьт. размерности п. N — п  соответственно.D S= № '),T, a ? : ,  ( з £ Ь = д а  . . . a g - ,  эщ=£-, 1 = 1,2Л«г _  ) , Q'j 2ki, — n 1 9 7 — 1 9  nгде B li = - j r r сингулярный дифференциальный оператор Бесселя, отвечаю­щий индексу 7j. В классе четных, достаточно гладких интегрируемых функций опера­тор Db  имеет символ (?■£)" : Dg(p=3rg 1[(i£)a3rB (/?] (такие операторы рассмотрены в [3]). Введем систему нормK^)|fc = m aa ; (  sup xaDi(p(x) , sup Di(xa(p(x)) , (1)lQ' I+1/31 < x&RnНАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математртка. Фртзртка. 2015. №17(214). Вып. 40 125где выполнено условиеQ 'i  +  / З г  =  2 к г ,  г =  1, • • • ,  п ,  к г  =  0 , 1, 2 , . . .  (2).Через Sev(RN) будем обозначать множество быстро убывающих функций четных по каждой из переменных x i , . . . , x n с конечными нормами (1) для каждого целого по­ложительного к .  Эти нормы определяют топологию в Sev(RN)- В частности, последо­вательность функций ип из Scv(Rn) сходится к функции и  в этом пространстве, если сходится к ней по каждой из этих норм, когда индекс к  пробегает все неотрицательные числа.Т ео рем а 1. При вы полн ении  у с л о в и я  (2) ЗГ® -преобра зование о сущ ествляет  н еп р е ­ры вны й  (в о б е  стороны) и зом орф изм  пространства Sev, т.е. д л я  л ю б о го  неотрицатель­н о го  ц ел о го  числа, к ,  найдет ся чи сл о  к ' ,  что выполняет ся  неравен ство  )|fc < l(^)lfci-Среди основных функций оказывается удобным класс основных функций Л. Ш варца S ( Rn), исчезающих на координатных гиперплоскостях Хг = 0, i = 1,2, . . . ,/?,  (типа основных функций П.И. Лизоркина. см. такж е в [4]):* 7(i?+)={V’ : ф е я ,  д 13Вгф(0)=0, ) 3 e z +}, г = 1,...,'/?,, Ф7(Я+)={^ : ф= Ы Ф 1  4 > ^ (R + )} .В классах Ф7(Д ^) и Ф7(Д ^) символ оператора D% имеет тот же вид. что и в Sev.Т ео рем а 2. К л а сс  Ф7(Д^) состоит и з  тех и только тех ф ункц и й  lp(x) eS(R^) ,  ко ­торые ортогональны (в см ы сл е в е с о в о г о  с к а л яр н о г о  п р о и з в е д е н и я )  в с ем  многочленам :( p ( x ) e S ( R^ ) , f  {;x')mtp{;x) х1 dx=0, -<=>- <^еФ7(Д ^),чД л я  четного п р е о б р а зо в а н и я  Ф ур ь е -Б е с с ел я  (см. книгу [4]) ф ункц и и  tp Е Ф орто­гональны  (в см ы сл е в е с о в о г о  с к а л яр н о г о  п р о и з в е д е н и я )  в с ем  многочленам , четным по  ка ж дой  и з  п ерем енных Х\,. . .  , хп :i p ( x ) e S ( R ^ ) , j (:х')2тф )  х^ dx=Q,  -<=>- <^еФ7(Д ^),Л итература1. Кртпрртяпов И.А. Сртттгулярпые эллртптртческрте краевые задачрт / М.: Наука, 1997.2. Катрахов В.В., Ляхов Л.Н. Полное преобразоваирте Фурье-Бесселя рт алгебра сртттгуляр- ттых псевдодртфферетщртальттых операторов // Дртфферетщ. Уравпетт. -  2011. -  47, № 5. -  С.681- 695.3 Lyakhov L.N. , Raykhelgauz L.B. Even and odd Fourier-Bessel transformations and some singular differential equations // Cambridge Scientific Publishers. -  2012 / Analytic Methods of Analysis and Differential Equations. AMADE-2009. -  C.107-112.126 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математртка. Фртзртка. 2015. №17(214). Вып. 404 Ляхов Л . Н .  В-гртперсртттгулярттые рттттегралы рт р т х  прртложеттртя к опртсаттртто фупкцртотталь- ттых классов Кртпрртяттова рт к  рттттегралытым уравпеттртям с -В-потетщрталытымрт ядрамрт / Л р т -  пецк: ЛГПУ, 2007. -  232 с.B A SE D  FU N C T IO N S C L A SSE S FO R  C O M P L E T E  F O U R IE R -B E SSE L ’S T R A N SF O R M A T IO NS .A . R o sh ch up k inElets State University,Sovkhoznaya S tr., 13, Elets, 399761, Russia, e-mail: roshupkinsa@mail.ruK ey words: Fourier-Bessel’s transformation, based functions, integral kernel, rapid decreasing functions.

Классы основных функций для полного преобразования Фурье-Бесселя

124 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Ш Л Сепия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40MSC 42А38К Л А С С Ы  ОСНОВНЫ Х ФУНКЦИЙ для полного П РЕО БРАЗО ВАН И Я Ф У РЬ Е -Б Е С С Е Л ЯС .А . РощупкинЕлецкий государственный университет им. 1/1.А.Бунина, ул. Совхозная, 13, Елец, 399761, Россия, e-mail: roshupkinsa@mail.ruКлю чевые слова: преобразование Фурье-Бесселя, основные функции, интегральное яд­ро, быстро-убыватощие функции.Основные функции для классического преобразования Фурье-Бесселя (см. [1]). ока­зались плохо приспособленными при работе с полным преобразованием Фурье-Бесселя (см. [2]). В связи с чем появилась необходимость введения новых классов основных функций, которые частично рассмотрены в этой работе.Пусть R~x = Rn х RN~n, х = (х' ,х"),  х' G Rn, х" G Rn- п, j v (x)  одно из решений сингулярного уравнения Бесселя = — отвечающее индексу 7 = 2v  + 1 иудовлетворяющее условиям ^ ( 0) = 1, j'v {0) = 0.Ядра прямого и обратного полного преобразований Фурье-Бесселя имеют вид:П , чЛ7 = П ( м Ы Ф )  т i 1 , 7  = (ть  • • - .Тп), ъ  > о, ъ  = 2^  + 1.г=1 '  'Прямое и обратное полные смешанные преобразования Фурье-Бесселя (далее, со­кращ ая. будем писать 5Fв -п р е о б р а з о в а н и я ) функции и  задается выражениями:Эгв[и](^)= J  A^(xf ,£f) е_г(-т//’?//) и(х) (х')1 dx,RnЭ^1 [«](*) = Съп<м f  А~(х' ,ф) е~г{х”^”] и(х)  (х') 7 dx = С ^ м ^ в ф ф - х ) .RnЗдесь Cy.n.jv = 22(,l2i^r2(̂ +1), (У )7 = П (^2)7г/2-Введем следующие обозначения: а  = (с/, а") ,  а 1 и а 11 целочисленные мультииндексьт. размерности п. N — п  соответственно.D S= № '),T, a ? : ,  ( з £ Ь = д а  . . . a g - ,  эщ=£-, 1 = 1,2Л«г _  ) , Q'j 2ki, — n 1 9 7 — 1 9  nгде B li = - j r r сингулярный дифференциальный оператор Бесселя, отвечаю­щий индексу 7j. В классе четных, достаточно гладких интегрируемых функций опера­тор Db  имеет символ (?■£)" : Dg(p=3rg 1[(i£)a3rB (/?] (такие операторы рассмотрены в [3]). Введем систему нормK^)|fc = m aa ; (  sup xaDi(p(x) , sup Di(xa(p(x)) , (1)lQ' I+1/31 < x&RnНАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математртка. Фртзртка. 2015. №17(214). Вып. 40 125где выполнено условиеQ 'i  +  / З г  =  2 к г ,  г =  1, • • • ,  п ,  к г  =  0 , 1, 2 , . . .  (2).Через Sev(RN) будем обозначать множество быстро убывающих функций четных по каждой из переменных x i , . . . , x n с конечными нормами (1) для каждого целого по­ложительного к .  Эти нормы определяют топологию в Sev(RN)- В частности, последо­вательность функций ип из Scv(Rn) сходится к функции и  в этом пространстве, если сходится к ней по каждой из этих норм, когда индекс к  пробегает все неотрицательные числа.Т ео рем а 1. При вы полн ении  у с л о в и я  (2) ЗГ® -преобра зование о сущ ествляет  н еп р е ­ры вны й  (в о б е  стороны) и зом орф изм  пространства Sev, т.е. д л я  л ю б о го  неотрицатель­н о го  ц ел о го  числа, к ,  найдет ся чи сл о  к ' ,  что выполняет ся  неравен ство  )|fc < l(^)lfci-Среди основных функций оказывается удобным класс основных функций Л. Ш варца S ( Rn), исчезающих на координатных гиперплоскостях Хг = 0, i = 1,2, . . . ,/?,  (типа основных функций П.И. Лизоркина. см. такж е в [4]):* 7(i?+)={V’ : ф е я ,  д 13Вгф(0)=0, ) 3 e z +}, г = 1,...,'/?,, Ф7(Я+)={^ : ф= Ы Ф 1  4 > ^ (R + )} .В классах Ф7(Д ^) и Ф7(Д ^) символ оператора D% имеет тот же вид. что и в Sev.Т ео рем а 2. К л а сс  Ф7(Д^) состоит и з  тех и только тех ф ункц и й  lp(x) eS(R^) ,  ко ­торые ортогональны (в см ы сл е в е с о в о г о  с к а л яр н о г о  п р о и з в е д е н и я )  в с ем  многочленам :( p ( x ) e S ( R^ ) , f  {;x')mtp{;x) х1 dx=0, -<=>- <^еФ7(Д ^),чД л я  четного п р е о б р а зо в а н и я  Ф ур ь е -Б е с с ел я  (см. книгу [4]) ф ункц и и  tp Е Ф орто­гональны  (в см ы сл е в е с о в о г о  с к а л яр н о г о  п р о и з в е д е н и я )  в с ем  многочленам , четным по  ка ж дой  и з  п ерем енных Х\,. . .  , хп :i p ( x ) e S ( R ^ ) , j (:х')2тф )  х^ dx=Q,  -<=>- <^еФ7(Д ^),Л итература1. Кртпрртяпов И.А. Сртттгулярпые эллртптртческрте краевые задачрт / М.: Наука, 1997.2. Катрахов В.В., Ляхов Л.Н. Полное преобразоваирте Фурье-Бесселя рт алгебра сртттгуляр- ттых псевдодртфферетщртальттых операторов // Дртфферетщ. Уравпетт. -  2011. -  47, № 5. -  С.681- 695.3 Lyakhov L.N. , Raykhelgauz L.B. Even and odd Fourier-Bessel transformations and some singular differential equations // Cambridge Scientific Publishers. -  2012 / Analytic Methods of Analysis and Differential Equations. AMADE-2009. -  C.107-112.126 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математртка. Фртзртка. 2015. №17(214). Вып. 404 Ляхов Л . Н .  В-гртперсртттгулярттые рттттегралы рт р т х  прртложеттртя к опртсаттртто фупкцртотталь- ттых классов Кртпрртяттова рт к  рттттегралытым уравпеттртям с -В-потетщрталытымрт ядрамрт / Л р т -  пецк: ЛГПУ, 2007. -  232 с.B A SE D  FU N C T IO N S C L A SSE S FO R  C O M P L E T E  F O U R IE R -B E SSE L ’S T R A N SF O R M A T IO NS .A . R o sh ch up k inElets State University,Sovkhoznaya S tr., 13, Elets, 399761, Russia, e-mail: roshupkinsa@mail.ruK ey words: Fourier-Bessel’s transformation, based functions, integral kernel, rapid decreasing functions.

http://dspace.bsu.edu.ru/bitstream/123456789/17003/1/Roshchupkin_Klassy.pdf

Классы основных функций для полного преобразования Фурье-Бесселя

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

DSpace at Belgorod State University

DSpace at Belgorod State University