Исследование вопроса о принадлежности потенциала анизотропному пространству Гельдера С² ª(Ω) при условии, что "боковая" граница области принадлежит лишь классу С¹ 

Коненков, А. Н.

DSpace at Belgorod State University

82 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40MSC 35J60Г Л А Д К О С Т Ь  СТАРШ И Х ПРОИЗВОДНЫ Х ПОТЕНЦИАЛА  ПРОСТОГО С Л О Я  Д Л Я  П АРАБ О ЛИ Ч Е С К И Х  И ЭЛЛИ П ТИ Ч ЕСКИ Х УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО П О РЯ Д К АА.Н . КонёнковРязанский государственный университет, ул. Свободы, 46, Рязань, 390000, Россия, e-mail: а.konenkovQrsu.edu.ruКлю чевые слова: потенциал простого слоя, параболические уравнения, эллиптические уравнения, анизотропное пространство Гельдера.В слое D = Rn х (0, Т ). 0 < Т < оо. рассматривается параболическое уравнение второго порядкаLu = Ut — dij (x,  t )ui j  — bi (x, t )ui  — c(x,  t )u  = 0, (1)вещественнозначные коэффициенты которого удовлетворяют условию равномерной па- раболичности(3 50 > 0) (VP G Д  V£ G Rn) a y > Ш 2 (2)и принадлежат анизотропным пространствам Гельдера:G C°'a (D),  a  G (0 ,1). (3)Д ля области П С -Dc компактной «боковой» границей Е G С 1,а и функции ф рас­сматриваем модифицированный потенциал простого слояU < p ( P ) =  [  [  Г( x , t , y , T ) i l ’( y , T ) < p ( y , T ) d s d T ,  ЕГ = ЕП { t  = r } ,  (4)J  О J  Y1Tгде Т(х,1, у ,т)  фундаментальное решение уравнения (1). При ф = 1 получается по­тенциал простого слоя Uif.Обозначим через Ck'a (&) пространство с нормойО|/;fi|(*'” l = ||/;fi||l‘ '-“ l + sup( , т ,4 ) € Пгде 11/; П| p ’") норма в пространстве Ск'а (й) .Если ip G С°’“ (^ ) и Е G С'1’", то потенциал простого слоя Uip  G С'1’“ (^ ) [1]. При этомО  ОUip не будет, вообще говоря, принадлежать C 2'a (Q).Исследуется вопрос о принадлежности потенциала (4) анизотропному пространству Гельдера С2'а {̂ 1) при условии, что «боковая» граница области принадлежит лишь клас­су С 1'а .НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 83Т ео рем а 1. Пусть коэффициенты оператора L удовлетворяют  у сл о ви ям  (2) и (3), Е G С 1'01 компактна. Тогда сущ ествует  положительная ф ун к ц и яф е С ° ' а ( Е), ( 3 6 > 0 ) ф ( Р ) > 6 > 0  У Р е  Е,такая, что м одиф ицированны й  потенциал простого сл о я  явл яет ся  о гр анич енны м  о п е ­ратором и з  С'1’"(Е ) в C2'a {pl), т.е.О ОU p ( P )  е  С 2'а (П) V р  е  c h a (Е),оприч ем(3 С  > 0) y p e c h a (Е) \Up,tt\{2'a) < С\р-,Е\{1'а) .Функция ф определяется неоднозначно (с точностью до множителя не обраща­ющейся в нуль функции из класса С'1,"(Е )). Если «боковая» граница области П более гладкая, то одну из таких функций ф можно указать явно:Т ео рем а 2. Пусть коэффициенты оператора L удовлетворяют  у сл о ви ям  (2) и (3), область  П ц илин дрич е ска я ,  Е G С2'01 компактна. Тогда д л я  ф = Y^ij=i UijViVj, где v  = . . . ,  un) вн ут р енн яя  е д и н и ч н а я  нормаль к  с е ч ен и ю  Et,Up Е С2'°(П) ^  р Е Cha(Z),О  О{ЗСъ С2 >0) V p e c l'a{Е) Сг\р;Е\{1'а) <\Up,n\{2'a) < C 2\p;E\{l'a).ОЕсли старшие коэффициенты параболического оператора L принадлежат Cl'a{D), то a[u\ G C'1,Q'(E) и для самого потенциала простого слоя мы получаемС л ед стви е . Пусть вы полн ены  у с л о в и я  теоремы 2 и  G С'1’"(Е ), i , j  = 1 , . . .  ,п .  Тогда, потенциал простого сл о яUp е С2'а(П) ^  р е Cha(Е),о о(3 Си С2 >0) Vp G ^ ’"(Е) С\ | р , Е|(1’о) < I Up, П|(2’о) < С2\р, Е|(1’о).ОИспользуя представление эллиптического потенциала простого слоя с помощью па­раболических потенциалов [2]. получены аналогичные утверждения для потенциала простого слоя, ядром которого является главное фундаментальное решение [3] для эл­липтического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.Л итература1. Бадерко Е.А. О гладкости 2т-параболического потенциала простого слоя // Дифферепц. ур-пия. -  1990. -  26, № 1. -  С.3-10.2. Конёнков А.Н. О связи между фундаментальными решениями эллиптических pi парабо­лических уравнений // Дифферепц. ур-ттия. -  2002. -  38, № 2. -  С.247-256.3. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа / М.: ИЛ, 1957.84 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40F L E X IB IL IT Y  OF H IG H E ST  D E R IV A T IV E S OF S IM P L E  L A Y E R  P O T E N T IA L  OF P A R A B O L IC  AN D  E L L IP T IC  EQ U A TIO N SOF SECO N D  O R D E RA .N . K onenkovRyazan State University,Svobody S tr., 46, Ryazan, 390000, Russia, e-mail: a.konenkovQrsu.edu.ruK ey words: simple layer potential, parabolic equations, elliptic equations, anisotropic Golder space.

Гладкость старших производных потенциала простого слоя для параболических и эллиптических уравнений второго порядка

82 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40MSC 35J60Г Л А Д К О С Т Ь  СТАРШ И Х ПРОИЗВОДНЫ Х ПОТЕНЦИАЛА  ПРОСТОГО С Л О Я  Д Л Я  П АРАБ О ЛИ Ч Е С К И Х  И ЭЛЛИ П ТИ Ч ЕСКИ Х УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО П О РЯ Д К АА.Н . КонёнковРязанский государственный университет, ул. Свободы, 46, Рязань, 390000, Россия, e-mail: а.konenkovQrsu.edu.ruКлю чевые слова: потенциал простого слоя, параболические уравнения, эллиптические уравнения, анизотропное пространство Гельдера.В слое D = Rn х (0, Т ). 0 < Т < оо. рассматривается параболическое уравнение второго порядкаLu = Ut — dij (x,  t )ui j  — bi (x, t )ui  — c(x,  t )u  = 0, (1)вещественнозначные коэффициенты которого удовлетворяют условию равномерной па- раболичности(3 50 > 0) (VP G Д  V£ G Rn) a y > Ш 2 (2)и принадлежат анизотропным пространствам Гельдера:G C°'a (D),  a  G (0 ,1). (3)Д ля области П С -Dc компактной «боковой» границей Е G С 1,а и функции ф рас­сматриваем модифицированный потенциал простого слояU < p ( P ) =  [  [  Г( x , t , y , T ) i l ’( y , T ) < p ( y , T ) d s d T ,  ЕГ = ЕП { t  = r } ,  (4)J  О J  Y1Tгде Т(х,1, у ,т)  фундаментальное решение уравнения (1). При ф = 1 получается по­тенциал простого слоя Uif.Обозначим через Ck'a (&) пространство с нормойО|/;fi|(*'” l = ||/;fi||l‘ '-“ l + sup( , т ,4 ) € Пгде 11/; П| p ’") норма в пространстве Ск'а (й) .Если ip G С°’“ (^ ) и Е G С'1’", то потенциал простого слоя Uip  G С'1’“ (^ ) [1]. При этомО  ОUip не будет, вообще говоря, принадлежать C 2'a (Q).Исследуется вопрос о принадлежности потенциала (4) анизотропному пространству Гельдера С2'а {^ 1) при условии, что «боковая» граница области принадлежит лишь клас­су С 1'а .НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 83Т ео рем а 1. Пусть коэффициенты оператора L удовлетворяют  у сл о ви ям  (2) и (3), Е G С 1'01 компактна. Тогда сущ ествует  положительная ф ун к ц и яф е С ° ' а ( Е), ( 3 6 > 0 ) ф ( Р ) > 6 > 0  У Р е  Е,такая, что м одиф ицированны й  потенциал простого сл о я  явл яет ся  о гр анич енны м  о п е ­ратором и з  С'1’"(Е ) в C2'a {pl), т.е.О ОU p ( P )  е  С 2'а (П) V р  е  c h a (Е),оприч ем(3 С  > 0) y p e c h a (Е) \Up,tt\{2'a) < С\р-,Е\{1'а) .Функция ф определяется неоднозначно (с точностью до множителя не обраща­ющейся в нуль функции из класса С'1,"(Е )). Если «боковая» граница области П более гладкая, то одну из таких функций ф можно указать явно:Т ео рем а 2. Пусть коэффициенты оператора L удовлетворяют  у сл о ви ям  (2) и (3), область  П ц илин дрич е ска я ,  Е G С2'01 компактна. Тогда д л я  ф = Y^ij=i UijViVj, где v  = . . . ,  un) вн ут р енн яя  е д и н и ч н а я  нормаль к  с е ч ен и ю  Et,Up Е С2'°(П) ^  р Е Cha(Z),О  О{ЗСъ С2 >0) V p e c l'a{Е) Сг\р;Е\{1'а) <\Up,n\{2'a) < C 2\p;E\{l'a).ОЕсли старшие коэффициенты параболического оператора L принадлежат Cl'a{D), то a[u\ G C'1,Q'(E) и для самого потенциала простого слоя мы получаемС л ед стви е . Пусть вы полн ены  у с л о в и я  теоремы 2 и  G С'1’"(Е ), i , j  = 1 , . . .  ,п .  Тогда, потенциал простого сл о яUp е С2'а(П) ^  р е Cha(Е),о о(3 Си С2 >0) Vp G ^ ’"(Е) С\ | р , Е|(1’о) < I Up, П|(2’о) < С2\р, Е|(1’о).ОИспользуя представление эллиптического потенциала простого слоя с помощью па­раболических потенциалов [2]. получены аналогичные утверждения для потенциала простого слоя, ядром которого является главное фундаментальное решение [3] для эл­липтического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.Л итература1. Бадерко Е.А. О гладкости 2т-параболического потенциала простого слоя // Дифферепц. ур-пия. -  1990. -  26, № 1. -  С.3-10.2. Конёнков А.Н. О связи между фундаментальными решениями эллиптических pi парабо­лических уравнений // Дифферепц. ур-ттия. -  2002. -  38, № 2. -  С.247-256.3. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа / М.: ИЛ, 1957.84 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40F L E X IB IL IT Y  OF H IG H E ST  D E R IV A T IV E S OF S IM P L E  L A Y E R  P O T E N T IA L  OF P A R A B O L IC  AN D  E L L IP T IC  EQ U A TIO N SOF SECO N D  O R D E RA .N . K onenkovRyazan State University,Svobody S tr., 46, Ryazan, 390000, Russia, e-mail: a.konenkovQrsu.edu.ruK ey words: simple layer potential, parabolic equations, elliptic equations, anisotropic Golder space.

http://dspace.bsu.edu.ru/bitstream/123456789/58113/1/Konenkov_Gladkost.pdf

Гладкость старших производных потенциала простого слоя для параболических и эллиптических уравнений второго порядка

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

DSpace at Belgorod State University

DSpace at Belgorod State University