Доказывается, что для функций классов Аρα дробный интеграл порядка β в частных случаях может принадлежать классам Харди НрyesБелгородский государственный университе

Даллакян, Р. В.

Доказывается, что для функций классов Аρα дробный интеграл порядка β в частных случаях может принадлежать классам Харди Н

DSpace at Belgorod State University

MSG 30Н20О П Р Е Д С Т А В Л Е Н И И  О Д Н ОГО  К Л А С С А  А Н А Л И Т И Ч Е С К И Х  В Е Д И Н И Ч Н О М  К Р У Г Е  Ф У Н К Ц И ЙР.В. ДаллакянГосударственный инженерный университет Армении, ул. Терян, 105, кор. 12, Ереван, Армения, e-mail: dallakyan57@mail.ruАннотация. Пусть Т> единичный круг комплексной плоскости С. Аналитическая в Т> функ­ция /  принадлежит классу Аа, если[  (1 — \z\)a \f(z)\p dxdy <  +оо.JvВ настоящей работе доказывается, что для функций классов Аа дробный интеграл порядка j3 в частных случаях может принадлежать классам Харди Нр. Пользуясь этими результатами приводятся два представления (соответственно для случаев 0 < р < 2 и 2 < р < о о )  функций классов Аа, которые в частном случае р =  2 совпадают с одним представлением функций класса а 1 , полученным М. М. Джрбашяном.Ключевые слова: Классы функций Нр, Аа, дробный интеграл порядка /3 функции / .НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30 611. Введение. Пусть Т) =  {л; |с| <  1} -  единичный круг комплексной плоскости С. Множество аналитических в круге Т) функций обозначим через Hol(D).  Далее пусть 0 <  г <  1, 0 <  р <  оо , f  Е Hol(D)  и пустьMp ( r , f ) = ( - ^ - [  \f {гегв)\Р clt) , M o o ( r , / ) =  sup \f (r e te)\.V^TT J 0 J  0 <в < 2жСкажем, что /  G Hol(D)  принадлежит классу Харди Н р, 0 <  р <  схэ, еслиd& f\\f\\Hp =  sup M p (r , f ) <  + o o .0<r<lСвойства функций классов Харди описаны в [1], [2]. Обозначим через А%, 0 <  р <  +схэ, — 1 <  а <  +схэ, множество тех функций / ,  /  G Hol(D)  для которыхА?, = (1 -\z\r\f(z )\p dA(z)\ <  + оо  .\т>где dA(z) =  7x~ldxdy =  Ti~lrdrd0 -  мера Лебега. Определим Ар =  А$ Классы А1̂ некото­рыми специалистами называются классами Бергмана (см. например [3]). Функции этих классов были исследованы и М.М. Джрбашяном [4], который эти классы обозначил через Нр(а). Свойства этих классов описаны и в [5].62 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30В вышеуказанных работах [3], [4], [5] доказывается, что если /  G Ар , то| 7 ^ Л -  _  | .| ) ( 2+ « ) / P  ’OOПусть /3 >  0 и f ( z )  =  anzn G HolV.  Дробным интегралом порядка /3 функции /»г=0называется следующая функция:ООЫ ~ )  =  Y  г (п +  1 +  /3)п =О 4 7anz , z £Т> .В [6] доказано, что /[/з](~) G Hol(D).  Взяв /3 =  из теоремы F  работы [7] получаем, что если f  (~) 'у ' cinZn G 4̂̂ , то /'|м | (л) G Д2р. Известно, что (см. [6]) Нр С Др("+2).2. Основные результаты.Т еор ем а  1. Если f ( z ) =  '}2,anzn G Д^, 0 <  р <  2, а- >  —1, то функцияH z ) =  r ( Z ± l  +  l ) j r , - * ------------ а „ ; \  |~| <  1V р > t S  Г (2±1 +  1 +  „ )принадлежит классу Н р.В случае 2 <  р <  +оо, взяв /3 =  1 также доказывается, что дробный интегралпорядка /3 функции / ,  /  G Д^ принадлежит классу Н р т.е. справедливо следующее утверждение.ООТеорема 2. Если f ( z ) =  anzn G Д^, 2 <  р <  +оо, а >  —1, тоВ Д  =  ^ —    /  (! “  p f ,Lf(p~)dp = У 2~]—г~г—  ------------------------ (2)Р /  Г (г±|=1 +  1 +  » )принадлежит классу Н р.В работах [3], [4], [5] доказано, что если /  G Apa) 1 <  р <  +оо, а >  — 1, то /  имеет следующий вид1 2тг^  1 + а  i f / 1 ^  / ( р е^ ) л л/ W  =  — ] J ( l - r) (1 -  •»г=01 Г п!о оМ.М. Джрбашяном в [4] (см. также [5]) дано еще одно представление функций классаА2, а >  - 1:НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е^Я Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30 63Теорема 3. (М.М. Джрбашян). Если /  G А 2а, а >  — 1, то1h(z) =  J ( l -  p ) ^ f ( p z ) d p ,  |с| <  1 опринадлежит классу Н 2, a f ( z )  имеет следующее интегральное представление:3+а * 2В частном случае a  =  0 это утверждение доказано М.В. Келдышем [8]. Пользуясь результатами теорем 1 и 2, далее удалось получить интегральные представления типа(3) для функций классов Ара) 0 <  р <  +оо, а > — 1.ООТеорема 4. Пусть f ( z )  =  anzn G Ара, 0 <  р <  2, а >  —1. Тогда f ( z )  допускаетп =Оследующ ее интегральное представление2тг . Л.f ( z )  =  -  Г h (е } сЮгде1 СУо1h{z) = --------  /  (1 -  р) v f(pz)dp =Р о/  Q'  +  1 \  n\  1 1 1=  Г  hi > — т------------------r-anz , с < 1V р ; ^ г ( 2 ± 1  +  1 + п 'ООТеорема 5. Пусть f ( z )  =  an~n G А1̂, 2 <  р <  +оо, a >  —1. Тогда f ( z )  имеетп =Оследующее интегральное представление2тг Jгде2тг/ w  =  J_ Г h М  м2р-\-ск— 1 )(1 — e~iez) р/ф )  =     I (1 -  р) р 1 f(pz)dp =  Р^ /  ^ г ( 2 ± | ^  +  1 +  /гЛ1 о о  р +  ^  ,,,,пr ( l  +  n ) - r ( ^ ± i  +  l )Г ( l  +  п +  ^когда п —> +оо. Следовательно по лемме 1.1 работы [9], действительно дробный инте­грал h.(z) принадлежит классу Н р. UДоказательство теоремы 2. Сначала докажем справедливость равенства (2). Легко заметить, что64 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е д  Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 303. Доказательство теорем.Доказательство теоремы 1. Пользуясь формулой Стирлинга, нетрудно убедиться, что_  а+1~  п  Р ,h(z) =Т) (У — ]_ (* ol—1 Т) 01 — ]_ х—л (* а—1Р +  а Р +  а / р п( 1 - р )  —  dp =РIX  -L(1 -  р) v f{pz)dpр +  а — 1 РоООР »г=0»г=0п +р +  а — 1р +  а — 1 РРоо рЕ»г=0anz =  ( е + ^ 1 )  Г („  +  1)ГОО РЕ»г=0 Г  (  Р ± 2 = 1  +  1  +  пa„zТаким образом равенство (2) доказано. В случае р =  2 принадлежность функции h(z) классу Н 2 доказана в [4]. Пусть р >  2 и пусть л =  гегв. Пользуясь неравенством Гельдера легко видеть, что1 В Д Г  <  ( Р +  "  ду  (  У (1 -  Р Т  | /  ( г р е “>)\” фу(1 — p)~pclpгде q -  такое число, что -  +  -  =  1. Значит1ВДГ <р +  Q'  —  1р( !  -  р )" |/ (rpe^)|Pdp (1 — р) р- 1 dpр - 1Откуда, так как р >  2 получаем1|ВДГ <  <?• / ( 1  - р ) "  |/ (rpe^)|p d0НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ В2Я  Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30 65где С  зависит только от р и а. Пользуясь последним неравенством будем иметь2тг 2тг 1h (гегв) \ ав <  С  • /  /  (1 -  р)а | /  (грегв) \Р dpcWо о2тгТеперь, так как f  |/ (t.e%e) | d9 является монотонно возрастающей функцией от t и /  Е оАр , легко заметить чтог-2тгh { r e w)\ d 9 < C -  \\f\\pAPДоказательство теоремы 4. Сначала докажем справедливость равенства (4). Легко видеть, что~  1О! 1h(z) = ------------------------ / (1 — р) р 1 pndp =Р п =О»г=0Б  f /г +  1Q' +  1 “  Г (2 ± i )  Г(1 +  п)р 7^0 г  ( 2±1 +  1 +  пa„z =«  r ( ^  +  l ) r ( l  +  n)h o  г  ( ^  + 1 + пa„zТаким образом равенство (4) доказано. Из биномиальной теоремы имеем1 °° т ( ^  +  1 +  к)1 -  5 ]  Л  " '---------е - м ; к(1 — е~гв z )о ; —|— 1 I -I —1-1 а.=о Г М  +  1 )Г (1  +  А:)Пользуясь этим равенством нетрудно убедиться, чтоh(eie)d02тг  ̂ Г2тг о ; —|— 1 I -I(1 — e~iez) рГ 2тг2тг“  г (  +  1) Г(1 +  п ) 00 Г ( q±1 +  1 +  к£  - Ц ---------- У ^  Л  р .---------------e-*kezk(  Oi-\-1п=0 Г ( 2±i +  1 +  П к=О Г («±1 +  i )  Г (1 +  fc)^2 anzn =  f ( z )n=066 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30Доказательство теоремы 5. Из биномиальной теоремы имеемоо р(1 — e~iez)2р-\-а — 1 Ек=Оf  2 р + а — 1V РПользуясь этим равенством, получаем2тг1 Г h(e%e)d9 2tvо2р-\-а— 1(1 — e~iez ) рГ ( Г(1 +  к)e - i k e z k _2тг12тгОО Р 2 р + а —1РГ(1 +  п)п=О р  I 2р + а - 1 Р Па„.еоогпв ^   ̂ __п =О ГГ 2 р + а —1Рк2р + а —1 РГ(1 +  к)deЕп=О&п% №  •З аклю чени е. В статье доказано, что для 0 < р < 2 ,  а >  — 1 дробный интеграл порядка /3 =  аналитической функции класса принадлежит классу Н р. Для случая же 2 < р < + о о , а > —1 доказано, что аналогичное утверждение верно при /3 =  р+р~ ■ Пользуясь этими утверждениями, получены представления функций классов А%, соответственно для случая 0 <  р <  2 и случая 2 <  р <  +оо. Оба эти представления при р =  2 совпадают с уже известным представлением функций классов А 2аЛ итература1 Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций /  М.: Гос.изд технико­теоретической литературы, 1950.Duren FT. Theory of Нр Spaces /  NY: Academic Press, 1970.Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. "Theory of Bergman Spaces-/ in: Graduate Texts in Mathematics. V.199. -  Berlin: Springer 2000, 2000.Джрбашян M.M. К проблеме представимости аналитических функций / /  Сообщения инст. мат. и механики АН Арм.ССР. -  1948. -  2. -  СЗ-40.Djrbashian А.Е., Shamoian F.A. Topics in tne theory of A„  spaces /  in: Teubner Texts in Mathematics, 105. -  Teipzig: Teubner, 1988.Duren Р.Г., Romberg B., Shields AT . Linear functionals on Hp spaces with 0 < p <  1, j  j  j  Reine Angew. Math. -  1969. -  238. -  P.32-60.Maher М., Marzuq H. Linear functionals on some weighted Bergman spaces / /  Bull. Austral. Math. Soc. -  1980. -  42. -  P.417-425.Keldysch M.V. Sur les Conditions pour Qu’un Systeme de Polynomes Ort.hogonaux Avec un Poids Soit Ferme / /  Copt.es Rendus (Doklady) Academie des Sciences USSR (ns) -  1941. -  30. -  C.778-780.9. Buckley S.М., Koskela P., Vukotic D. Functional unite gration differentiation, and weighted Bergman spaces /  Math. Proc. Comb. Soc. -  1999. -  126. -  P.369-385.567НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30 67ON THE REPRESENTATION OF A CLASS OF FUNCTIONS ANALYTIC IN THE UNIT CIRCLER.V. DallakyanState Engineering University of Armenia,Teryan St., 105-12, Yerevan, Armenia, e-mail: dallakyan57@mail.ruAbstract. Let V  be the unit circle on the complex plane C. A function /  being analytic in V  belongs to the class iff  (1 — \z\)a \f(z)\p dxdy <  +oo.JvWe show that, the fractional integral of order [3 of functions from the class may belong in some cases to Hardy’s classes Hp. Using this result, we obtain two representations (for cases 0 < p <  2 and 2 < p < oo, respectively) of functions from classes A„,  which coincide in the particular case p =  2 with the representation obtained by M.M. Djrbashyan for the class A2.Key words: Classes of functions Hp and A„, fractional integral of order f3.

О представлении одного класса аналитических в единичном круге функций

MSG 30Н20О П Р Е Д С Т А В Л Е Н И И  О Д Н ОГО  К Л А С С А  А Н А Л И Т И Ч Е С К И Х  В Е Д И Н И Ч Н О М  К Р У Г Е  Ф У Н К Ц И ЙР.В. ДаллакянГосударственный инженерный университет Армении, ул. Терян, 105, кор. 12, Ереван, Армения, e-mail: dallakyan57@mail.ruАннотация. Пусть Т> единичный круг комплексной плоскости С. Аналитическая в Т> функ­ция /  принадлежит классу Аа, если[  (1 — \z\)a \f(z)\p dxdy <  +оо.JvВ настоящей работе доказывается, что для функций классов Аа дробный интеграл порядка j3 в частных случаях может принадлежать классам Харди Нр. Пользуясь этими результатами приводятся два представления (соответственно для случаев 0 < р < 2 и 2 < р < о о )  функций классов Аа, которые в частном случае р =  2 совпадают с одним представлением функций класса а 1 , полученным М. М. Джрбашяном.Ключевые слова: Классы функций Нр, Аа, дробный интеграл порядка /3 функции / .НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30 611. Введение. Пусть Т) =  {л; |с| <  1} -  единичный круг комплексной плоскости С. Множество аналитических в круге Т) функций обозначим через Hol(D).  Далее пусть 0 <  г <  1, 0 <  р <  оо , f  Е Hol(D)  и пустьMp ( r , f ) = ( - ^ - [  \f {гегв)\Р clt) , M o o ( r , / ) =  sup \f (r e te)\.V^TT J 0 J  0 <в < 2жСкажем, что /  G Hol(D)  принадлежит классу Харди Н р, 0 <  р <  схэ, еслиd& f\\f\\Hp =  sup M p (r , f ) <  + o o .0<r<lСвойства функций классов Харди описаны в [1], [2]. Обозначим через А%, 0 <  р <  +схэ, — 1 <  а <  +схэ, множество тех функций / ,  /  G Hol(D)  для которыхА?, = (1 -\z\r\f(z )\p dA(z)\ <  + оо  .\т>где dA(z) =  7x~ldxdy =  Ti~lrdrd0 -  мера Лебега. Определим Ар =  А$ Классы А1^ некото­рыми специалистами называются классами Бергмана (см. например [3]). Функции этих классов были исследованы и М.М. Джрбашяном [4], который эти классы обозначил через Нр(а). Свойства этих классов описаны и в [5].62 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30В вышеуказанных работах [3], [4], [5] доказывается, что если /  G Ар , то| 7 ^ Л -  _  | .| ) ( 2+ « ) / P  ’OOПусть /3 >  0 и f ( z )  =  anzn G HolV.  Дробным интегралом порядка /3 функции /»г=0называется следующая функция:ООЫ ~ )  =  Y  г (п +  1 +  /3)п =О 4 7anz , z £Т> .В [6] доказано, что /[/з](~) G Hol(D).  Взяв /3 =  из теоремы F  работы [7] получаем, что если f  (~) 'у ' cinZn G 4^^ , то /'|м | (л) G Д2р. Известно, что (см. [6]) Нр С Др("+2).2. Основные результаты.Т еор ем а  1. Если f ( z ) =  '}2,anzn G Д^, 0 <  р <  2, а- >  —1, то функцияH z ) =  r ( Z ± l  +  l ) j r , - * ------------ а „ ; \  |~| <  1V р > t S  Г (2±1 +  1 +  „ )принадлежит классу Н р.В случае 2 <  р <  +оо, взяв /3 =  1 также доказывается, что дробный интегралпорядка /3 функции / ,  /  G Д^ принадлежит классу Н р т.е. справедливо следующее утверждение.ООТеорема 2. Если f ( z ) =  anzn G Д^, 2 <  р <  +оо, а >  —1, тоВ Д  =  ^ —    /  (! “  p f ,Lf(p~)dp = У 2~]—г~г—  ------------------------ (2)Р /  Г (г±|=1 +  1 +  » )принадлежит классу Н р.В работах [3], [4], [5] доказано, что если /  G Apa) 1 <  р <  +оо, а >  — 1, то /  имеет следующий вид1 2тг^  1 + а  i f / 1 ^  / ( р е^ ) л л/ W  =  — ] J ( l - r) (1 -  •»г=01 Г п!о оМ.М. Джрбашяном в [4] (см. также [5]) дано еще одно представление функций классаА2, а >  - 1:НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е^Я Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30 63Теорема 3. (М.М. Джрбашян). Если /  G А 2а, а >  — 1, то1h(z) =  J ( l -  p ) ^ f ( p z ) d p ,  |с| <  1 опринадлежит классу Н 2, a f ( z )  имеет следующее интегральное представление:3+а * 2В частном случае a  =  0 это утверждение доказано М.В. Келдышем [8]. Пользуясь результатами теорем 1 и 2, далее удалось получить интегральные представления типа(3) для функций классов Ара) 0 <  р <  +оо, а > — 1.ООТеорема 4. Пусть f ( z )  =  anzn G Ара, 0 <  р <  2, а >  —1. Тогда f ( z )  допускаетп =Оследующ ее интегральное представление2тг . Л.f ( z )  =  -  Г h (е } сЮгде1 СУо1h{z) = --------  /  (1 -  р) v f(pz)dp =Р о/  Q'  +  1 \  n\  1 1 1=  Г  hi > — т------------------r-anz , с < 1V р ; ^ г ( 2 ± 1  +  1 + п 'ООТеорема 5. Пусть f ( z )  =  an~n G А1^, 2 <  р <  +оо, a >  —1. Тогда f ( z )  имеетп =Оследующее интегральное представление2тг Jгде2тг/ w  =  J_ Г h М  м2р-\-ск— 1 )(1 — e~iez) р/ф )  =     I (1 -  р) р 1 f(pz)dp =  Р^ /  ^ г ( 2 ± | ^  +  1 +  /гЛ1 о о  р +  ^  ,,,,пr ( l  +  n ) - r ( ^ ± i  +  l )Г ( l  +  п +  ^когда п —> +оо. Следовательно по лемме 1.1 работы [9], действительно дробный инте­грал h.(z) принадлежит классу Н р. UДоказательство теоремы 2. Сначала докажем справедливость равенства (2). Легко заметить, что64 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е д  Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 303. Доказательство теорем.Доказательство теоремы 1. Пользуясь формулой Стирлинга, нетрудно убедиться, что_  а+1~  п  Р ,h(z) =Т) (У — ]_ (* ol—1 Т) 01 — ]_ х—л (* а—1Р +  а Р +  а / р п( 1 - р )  —  dp =РIX  -L(1 -  р) v f{pz)dpр +  а — 1 РоООР »г=0»г=0п +р +  а — 1р +  а — 1 РРоо рЕ»г=0anz =  ( е + ^ 1 )  Г („  +  1)ГОО РЕ»г=0 Г  (  Р ± 2 = 1  +  1  +  пa„zТаким образом равенство (2) доказано. В случае р =  2 принадлежность функции h(z) классу Н 2 доказана в [4]. Пусть р >  2 и пусть л =  гегв. Пользуясь неравенством Гельдера легко видеть, что1 В Д Г  <  ( Р +  "  ду  (  У (1 -  Р Т  | /  ( г р е “>)\” фу(1 — p)~pclpгде q -  такое число, что -  +  -  =  1. Значит1ВДГ <р +  Q'  —  1р( !  -  р )" |/ (rpe^)|Pdp (1 — р) р- 1 dpр - 1Откуда, так как р >  2 получаем1|ВДГ <  <?• / ( 1  - р ) "  |/ (rpe^)|p d0НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ В2Я  Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30 65где С  зависит только от р и а. Пользуясь последним неравенством будем иметь2тг 2тг 1h (гегв) \ ав <  С  • /  /  (1 -  р)а | /  (грегв) \Р dpcWо о2тгТеперь, так как f  |/ (t.e%e) | d9 является монотонно возрастающей функцией от t и /  Е оАр , легко заметить чтог-2тгh { r e w)\ d 9 < C -  \\f\\pAPДоказательство теоремы 4. Сначала докажем справедливость равенства (4). Легко видеть, что~  1О! 1h(z) = ------------------------ / (1 — р) р 1 pndp =Р п =О»г=0Б  f /г +  1Q' +  1 “  Г (2 ± i )  Г(1 +  п)р 7^0 г  ( 2±1 +  1 +  пa„z =«  r ( ^  +  l ) r ( l  +  n)h o  г  ( ^  + 1 + пa„zТаким образом равенство (4) доказано. Из биномиальной теоремы имеем1 °° т ( ^  +  1 +  к)1 -  5 ]  Л  " '---------е - м ; к(1 — е~гв z )о ; —|— 1 I -I —1-1 а.=о Г М  +  1 )Г (1  +  А:)Пользуясь этим равенством нетрудно убедиться, чтоh(eie)d02тг  ^ Г2тг о ; —|— 1 I -I(1 — e~iez) рГ 2тг2тг“  г (  +  1) Г(1 +  п ) 00 Г ( q±1 +  1 +  к£  - Ц ---------- У ^  Л  р .---------------e-*kezk(  Oi-\-1п=0 Г ( 2±i +  1 +  П к=О Г («±1 +  i )  Г (1 +  fc)^2 anzn =  f ( z )n=066 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30Доказательство теоремы 5. Из биномиальной теоремы имеемоо р(1 — e~iez)2р-\-а — 1 Ек=Оf  2 р + а — 1V РПользуясь этим равенством, получаем2тг1 Г h(e%e)d9 2tvо2р-\-а— 1(1 — e~iez ) рГ ( Г(1 +  к)e - i k e z k _2тг12тгОО Р 2 р + а —1РГ(1 +  п)п=О р  I 2р + а - 1 Р Па„.еоогпв ^   ^ __п =О ГГ 2 р + а —1Рк2р + а —1 РГ(1 +  к)deЕп=О&п% №  •З аклю чени е. В статье доказано, что для 0 < р < 2 ,  а >  — 1 дробный интеграл порядка /3 =  аналитической функции класса принадлежит классу Н р. Для случая же 2 < р < + о о , а > —1 доказано, что аналогичное утверждение верно при /3 =  р+р~ ■ Пользуясь этими утверждениями, получены представления функций классов А%, соответственно для случая 0 <  р <  2 и случая 2 <  р <  +оо. Оба эти представления при р =  2 совпадают с уже известным представлением функций классов А 2аЛ итература1 Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций /  М.: Гос.изд технико­теоретической литературы, 1950.Duren FT. Theory of Нр Spaces /  NY: Academic Press, 1970.Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. "Theory of Bergman Spaces-/ in: Graduate Texts in Mathematics. V.199. -  Berlin: Springer 2000, 2000.Джрбашян M.M. К проблеме представимости аналитических функций / /  Сообщения инст. мат. и механики АН Арм.ССР. -  1948. -  2. -  СЗ-40.Djrbashian А.Е., Shamoian F.A. Topics in tne theory of A„  spaces /  in: Teubner Texts in Mathematics, 105. -  Teipzig: Teubner, 1988.Duren Р.Г., Romberg B., Shields AT . Linear functionals on Hp spaces with 0 < p <  1, j  j  j  Reine Angew. Math. -  1969. -  238. -  P.32-60.Maher М., Marzuq H. Linear functionals on some weighted Bergman spaces / /  Bull. Austral. Math. Soc. -  1980. -  42. -  P.417-425.Keldysch M.V. Sur les Conditions pour Qu’un Systeme de Polynomes Ort.hogonaux Avec un Poids Soit Ferme / /  Copt.es Rendus (Doklady) Academie des Sciences USSR (ns) -  1941. -  30. -  C.778-780.9. Buckley S.М., Koskela P., Vukotic D. Functional unite gration differentiation, and weighted Bergman spaces /  Math. Proc. Comb. Soc. -  1999. -  126. -  P.369-385.567НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30 67ON THE REPRESENTATION OF A CLASS OF FUNCTIONS ANALYTIC IN THE UNIT CIRCLER.V. DallakyanState Engineering University of Armenia,Teryan St., 105-12, Yerevan, Armenia, e-mail: dallakyan57@mail.ruAbstract. Let V  be the unit circle on the complex plane C. A function /  being analytic in V  belongs to the class iff  (1 — \z\)a \f(z)\p dxdy <  +oo.JvWe show that, the fractional integral of order [3 of functions from the class may belong in some cases to Hardy’s classes Hp. Using this result, we obtain two representations (for cases 0 < p <  2 and 2 < p < oo, respectively) of functions from classes A„,  which coincide in the particular case p =  2 with the representation obtained by M.M. Djrbashyan for the class A2.Key words: Classes of functions Hp and A„, fractional integral of order f3.

http://dspace.bsu.edu.ru/bitstream/123456789/56171/1/Dallakyan_O_predstavlenii.pdf

О представлении одного класса аналитических в единичном круге функций

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

DSpace at Belgorod State University

DSpace at Belgorod State University