Метод функционального контроля и коррекции ошибки умножения чисел путем приведения ошибки умножения к отклонению одного из входных операндовyesБелгородский государственный университе

Глушак, А. В.

Корсунов, Н. И.

Начетов, А. А.

Метод функционального контроля и коррекции ошибки умножения чисел путем приведения ошибки умножения к отклонению одного из входных операндо

DSpace at Belgorod State University

Н А У Ч Н Ы Е  В Е Д О М О С Т И Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2012. №7 (126). Выпуск 22/1111УДК 004ОБНАРУЖЕНИЕ И ИСПРАВЛЕНИЕ ОШИБОК ПРИ УМНОЖЕНИИ ЧИСЕЛН.И. КОРСУНОВ А.А. НАЧЕТОВ А. В. ГЛУШАКВ статье рассматривается метод функционального контроля и коррекции ошибки умножения чисел путем приведения ошибки умножения к отклонению одного из входных операндов.Белгородскийгосударст венный национальный  исследоват ельский университ етКлючевые слова: обнаружение ошибки, коррекция ошибки, отклонение операнда.e-mail: korsunov@intbel.ru  e-mail: aleksandr@ nachetov.org.uaПри функционировании процессоров, связанных с обработкой сигналов наиболее часто используемой операцией является умножение чисел [1]. П оэтому ошибки выполне­ния операции умножения сущ ественно сказываются на точности цифровой обработки сигналов и вопросы коррекции ошибки умножения чисел являются актуальными.Известен метод обнаружения ош ибки [2], в основе которого леж ит многократное дублирование и определение ош ибки умножения по маж оритарному принципу. Данный метод включает обнаружение отказавш его устройства умножения при параллельном вы ­полнении одной и той ж е операции и требует сравнение результатов нескольких уст­ройств с последующ им их представлением уравнениями мажоритарной логики для выбо­ра отклю чаемого устройства. Основное ограничение связано с работой больш инства уст­ройств без внесения ошибок. При использовании временной избыточности требуется вы ­полнение не менее трех последовательных операций умножения. Однако, при этом не га­рантируется достоверность определения неисправного устройства, так как может оказать­ся в течение времени выполнения контроля неверное выполнение больш инства опера­ций, поэтому использование данного метода оправдано только при кратковременном действии помехи, а в других случаях приводит к резкому росту избыточности, р е а л и з а ­ц и я  которого при использовании временной избыточности ведет к значительной потере быстродействия.Другой метод обнаружения ошибки умножения на применении арифметических кодов [3] связан с вычислением остатков по вы бранному модулю. В контроле с помощью арифметических кодов необходимо при умножении каждой пары элементов выполнять следующ ие операции.1. Вычисляется произведение C  = AB2. Вычисляется остаток C  по m od P  .3. Вычисляются остатки A  по m od P  и B  по m od P  .4. Вычисляется C  * = A  по m od P  • B  по m od P  .5. Вычисляется остаток C * по m od P  .6. Сравниваются C  и C * по m od P  .Это приводит при аппаратной реализации к росту оборудования, а при программ­ной -  к значительному увеличению  времени.Блок-схема алгоритма контроля умножения при использовании арифметических кодов представлена на рис.1.112 Н А У Ч Н Ы Е  В Е Д О М О С Т И Серия История. Политология. Экономика. Информатика.2012. № 7 (126). Выпуск 22/1Алгоритм включает: вычисление остатков A1, B1 операндов AB  по вы бранному модулю P ; вычисление произведений С  и С 1 и их остатков C P и C 1P по модулю P , и сравнение этих остатков для принятия реш ения о возникновении ошибки.Реализация данны х методов требует преобразований исходных операндов и ре­зультата, выполнение той же операции над преобразованными операндами с последую ­щим преобразованием результата и сравнение с его ранее полученным преобразованным результатом.Рис. 1. Блок-схема алгоритма контроля умножения при использованииарифметических кодовДостоинство данного метода контроля является возможность параллельных пре­образований с исходными и преобразованными данными. Однако, сущ ественным недос­татком контроля с использованием арифметических кодов является отсутствии возмож ­ности коррекции ошибки.Целью исследований, излож енных в статье, является не только обнаружение не только обнаружение ошибки выполнения умножения чисел, но и ее коррекция.Суть предлагаемого метода состоит в следующ ем. Пусть выполняется операция умноженияС  * = A * B  * , (1)в результате которой полученоС  * = С  * + АС. (2)Так как (1) есть функция двух переменных, то при умножении с ош ибкой предста­вим (2) в виде [4]:С  (A, B ) = С  (A* B  *)+ В  ) АА + аС в̂  B  ) АВ = A* B  * + [BAA + AAB], (3)где выражение в квадратных скобках представляет собой ош ибку АС, приведенную к отклонению значений сомножителей и их исходных значений А*, В*.Введем переменнуюА а  = АЛ + — АВ. (4)BВведение переменной А а  (4) приводит к тому, что выражение в квадратных скоб­ках в (3) представляется линейной функцией введенной переменной и определяет функ­цию ош ибки умноженияС 1 = С 0 + А С 1 = A oВ о + В о А а  (5)Так как произведение представляется семейством параллельных прямых в плоско­сти (CA') проходящ их через ноль под углом тангенс которых равен В  , то ош ибка А С  так­же представляется в плоскости АСВ  семейством прямых проходящ их под углом, тангенскоторого равен -\[а , через точки оси координат, задаваемые значениями A  .Это позволяет, зная А С  и В  , определить значения A  , либо по значениям A, В  и АС  определить А а  .Л инейная зависимость произведения и ошибки произведения и ошибки позволяет по значениям двух произведений при фиксированном значении A = A0 определить нали­чие ош ибки, в произведении вызванное воздействием помехи. Наложим ограничение на длительность помехи, определяемую временем выполнения двух умножений.Тогда, если первое умножение дает значение С 1, определяемое (5), то второе ум ­ножение даетС 2 = С 0 + А С 2 = AAB1 + В 1А а  , (6)а так как в соответствии с (4) А а  не зависит от В  , тоС 2 = (A0 + А а )  + (А0 + А В ) = A0 В 0 + В 0 А а  + A0 АВ + А В А а  (7)Вычитая из (7) значение полученное при первом умножении (5) получаемSC = С 2 -  С 1 = A0 АВ + АВАа  (8)Выбрав приращ ение АВ  = 1 , получаемSC = A0 + А а  = A  (9)Используя выражение (9) можно наличие ошибки умножения определить в виде отклонения значения A , эквивалентного наличию ошибки произведения какН А У Ч Н Ы Е  В Е Д О М О С Т И  I j w j j  С ер ия  И сто р и я . П о л и то л о ги я . Э ко но м и ка . И н ф о р м а ти ка .  ̂  ̂ g2 0 12 . № 7 (12 6). В ы пуск  22/12012. №7 (126). Выпуск 22/1А а  = A -  A 0, (10)и, если А а  превыш ает некоторый порог, то формируется сообщ ение «ошибка ум нож е­ния», установление флажка в единицу.Алгоритм реализую щ ий данны й метод приведен на рис. 2.В соответствии с описанным подходом к обнаружению ош ибки умножения, алго­ритм определения ошибки может быть представлен в виде приведенном на рис. 2 и включает следующ ую последовательность шагов:1. П роводят умножение чисел A0 В 0 представленных при нормализации (5).2. Увеличиваю т сомножитель В 0 на 1 и проводят умножение А0 на В 1 = В 0 +1  (7).Если предполагать использование двух устройств умножения при действии той ж е поме­хи, то ограничение на длительность помехи можно снять, при одновременном вы полне­нии двух умножений.3. Вычитаю результаты полученных произведений и определяют абсолютное зна­чение разности (9).4. Из полученного значения вычитают сомножитель А  (10).5. Сравнивают полученное значение с пороговым и в зависимости от результата сравнения флажок устанавливается в единицу или в ноль.Серия История. Политология. Экономика. Информатика.1 1 4 Н А У Ч Н Ы Е  В Е Д О М О С Т ИНачалоВвод А, ВC l = А ВB l =  В  -Ь 1С; = ЙР,■ ■1па СЁВВывод «ошибка» Вывод «ош т»еникбиМ -КонецРис. 2. Блок-схема алгоритма обнаружения ошибки умножения предложенным методомВременные затраты на обнаружение ош ибки определяютсят = 2т. . .  + 2 т ~ . + т, + т~дон пе е пдгде т0й -  время выполнения умножения, тл -  время сложения/вычитания, ти -  время добавления единицы, тср -  время установки флажка.При обнаружении ош ибки с использованием арифметических кодов выполняют:1. Н ахождение остатков операндов сомножителей.2. Вычисление произведения чисел.3. Определение остатка полученного произведения.4. Вычисление произведения остатков сомножителей.5. Округление остатка произведения остатков.6. Сравнение полученных остатков и установка флажка.Как и в предложенном подходе обнаружения ошибки умножения используют два умножения и сравнение с установкой флажка. Но в отличии от предложенного определе­ния наличия ош ибки, где выполняется два сложения и добавление единицы, при исполь­зовании арифметических кодов определяют четыре остатка по выбранному модулю, вре­мя вычисления которых превыш ает суммарное время трех сложений.Кроме этого, при использовании арифметических кодов непременным условием является выполнение умножения остатков без ошибки, при этом нет возможности даже косвенного округления величины ошибки.П редложенный подход при увеличении временных затрат, вследствие непосредст­венного формирования значения отклонения сомножителя, позволяет корректировать ошибку произведения.Таким образом, приведенный метод обнаружения ошибки умножения по сравне­нию с обнаружением ошибки с использованием арифметических кодов не требует вы ­полнения хотя бы одного умножения абсолютно точно, более быстродействующ ий и формирует значение , которое может быть использовано для коррекции ош ибки умнож е­ния при увеличении временных затрат.Н А У Ч Н Ы Е  В Е Д О М О С Т И  I j w j j  С ер ия  И сто р и я . П о л и то л о ги я . Э ко но м и ка . И н ф о р м а ти ка .  ̂  ̂ g2 0 12 . № 7 (12 6). В ы пуск  22/1Л и т е р а т у р а1. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для студентов высш их учебны х заведений, обучающ ихся по направлению подготовки дипломирован­ных специалистов "Информатика и вычислительная техника" / Сергиенко А.Б.; Рец.: С.П. Еркович, Г.И. Ревунков; М -во образования РФ., Федеральная целевая программа "Культура России". П оддержка полиграфии и книгоиздания России. -  СПб.: Питер, 2003. -  604 с.: ил., табл. -  (Учебник для вузов. -  Прил.: с. 5о8-582.-Библиогр.: 583-585.- Алфавитны й указ.: с. 586-6032. Л уцик Ю .А., Л укьянова И.В. Ариф метические и логические основы вы числи­тельной техники3. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров = M athem atical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorem s and form ulas for reference and review/ Korn G.A., Korn T.M.: Определения, теоремы, формулы / Корн Г., Корн Т.; Под общ. ред. И.Г. Арамановича; Пер.: И.Г. Арамановича, А.М . Березма- на, И.А. Вайнштейна, Л.З. Румшинского, Л.Я. Цлафа. -  2-е изд.. -  М.: Наука, 1970. -  720 с.: ил.. -  Библиогр.: с. 682-684.-Указ. важнейш их обозначений: с. 685-687.-Предметный указ.: с. 688-7204. Патент № 2439674Российская Федерация, МПК. Способ формирования отказо­устойчивой вычислительной системы и отказоустойчивая вычислительная система / А.С. Сыров, В.П. Андреев и др.; опубл. 10.01.2012. Бюл. № 1.Серия История. Политология. Экономика. Информатика.2012. № 7 (126). Выпуск 22/1DETECTION AND CORRECTION OF ERRORS IN MULTIPLYIn the article a method of functional control and error correc­tion by multiplying the number of multiplication error reduction in the rejection of one of the input operands.Belgorod National Key words: error detection, error correction, the deviation ofResearch Urnv^stiy the operand.e-mail: aleksandr@nachetov.org.uaN.I. KORSUNOV A.A. NACHETOV A.V. GLUSHAK1 1 6 Н А У Ч Н Ы Е  В Е Д О М О С Т И

Обнаружение и исправление ошибок при умножении чисел

Н А У Ч Н Ы Е  В Е Д О М О С Т И Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2012. №7 (126). Выпуск 22/1111УДК 004ОБНАРУЖЕНИЕ И ИСПРАВЛЕНИЕ ОШИБОК ПРИ УМНОЖЕНИИ ЧИСЕЛН.И. КОРСУНОВ А.А. НАЧЕТОВ А. В. ГЛУШАКВ статье рассматривается метод функционального контроля и коррекции ошибки умножения чисел путем приведения ошибки умножения к отклонению одного из входных операндов.Белгородскийгосударст венный национальный  исследоват ельский университ етКлючевые слова: обнаружение ошибки, коррекция ошибки, отклонение операнда.e-mail: korsunov@intbel.ru  e-mail: aleksandr@ nachetov.org.uaПри функционировании процессоров, связанных с обработкой сигналов наиболее часто используемой операцией является умножение чисел [1]. П оэтому ошибки выполне­ния операции умножения сущ ественно сказываются на точности цифровой обработки сигналов и вопросы коррекции ошибки умножения чисел являются актуальными.Известен метод обнаружения ош ибки [2], в основе которого леж ит многократное дублирование и определение ош ибки умножения по маж оритарному принципу. Данный метод включает обнаружение отказавш его устройства умножения при параллельном вы ­полнении одной и той ж е операции и требует сравнение результатов нескольких уст­ройств с последующ им их представлением уравнениями мажоритарной логики для выбо­ра отклю чаемого устройства. Основное ограничение связано с работой больш инства уст­ройств без внесения ошибок. При использовании временной избыточности требуется вы ­полнение не менее трех последовательных операций умножения. Однако, при этом не га­рантируется достоверность определения неисправного устройства, так как может оказать­ся в течение времени выполнения контроля неверное выполнение больш инства опера­ций, поэтому использование данного метода оправдано только при кратковременном действии помехи, а в других случаях приводит к резкому росту избыточности, р е а л и з а ­ц и я  которого при использовании временной избыточности ведет к значительной потере быстродействия.Другой метод обнаружения ошибки умножения на применении арифметических кодов [3] связан с вычислением остатков по вы бранному модулю. В контроле с помощью арифметических кодов необходимо при умножении каждой пары элементов выполнять следующ ие операции.1. Вычисляется произведение C  = AB2. Вычисляется остаток C  по m od P  .3. Вычисляются остатки A  по m od P  и B  по m od P  .4. Вычисляется C  * = A  по m od P  • B  по m od P  .5. Вычисляется остаток C * по m od P  .6. Сравниваются C  и C * по m od P  .Это приводит при аппаратной реализации к росту оборудования, а при программ­ной -  к значительному увеличению  времени.Блок-схема алгоритма контроля умножения при использовании арифметических кодов представлена на рис.1.112 Н А У Ч Н Ы Е  В Е Д О М О С Т И Серия История. Политология. Экономика. Информатика.2012. № 7 (126). Выпуск 22/1Алгоритм включает: вычисление остатков A1, B1 операндов AB  по вы бранному модулю P ; вычисление произведений С  и С 1 и их остатков C P и C 1P по модулю P , и сравнение этих остатков для принятия реш ения о возникновении ошибки.Реализация данны х методов требует преобразований исходных операндов и ре­зультата, выполнение той же операции над преобразованными операндами с последую ­щим преобразованием результата и сравнение с его ранее полученным преобразованным результатом.Рис. 1. Блок-схема алгоритма контроля умножения при использованииарифметических кодовДостоинство данного метода контроля является возможность параллельных пре­образований с исходными и преобразованными данными. Однако, сущ ественным недос­татком контроля с использованием арифметических кодов является отсутствии возмож ­ности коррекции ошибки.Целью исследований, излож енных в статье, является не только обнаружение не только обнаружение ошибки выполнения умножения чисел, но и ее коррекция.Суть предлагаемого метода состоит в следующ ем. Пусть выполняется операция умноженияС  * = A * B  * , (1)в результате которой полученоС  * = С  * + АС. (2)Так как (1) есть функция двух переменных, то при умножении с ош ибкой предста­вим (2) в виде [4]:С  (A, B ) = С  (A* B  *)+ В  ) АА + аС в^  B  ) АВ = A* B  * + [BAA + AAB], (3)где выражение в квадратных скобках представляет собой ош ибку АС, приведенную к отклонению значений сомножителей и их исходных значений А*, В*.Введем переменнуюА а  = АЛ + — АВ. (4)BВведение переменной А а  (4) приводит к тому, что выражение в квадратных скоб­ках в (3) представляется линейной функцией введенной переменной и определяет функ­цию ош ибки умноженияС 1 = С 0 + А С 1 = A oВ о + В о А а  (5)Так как произведение представляется семейством параллельных прямых в плоско­сти (CA') проходящ их через ноль под углом тангенс которых равен В  , то ош ибка А С  так­же представляется в плоскости АСВ  семейством прямых проходящ их под углом, тангенскоторого равен -\[а , через точки оси координат, задаваемые значениями A  .Это позволяет, зная А С  и В  , определить значения A  , либо по значениям A, В  и АС  определить А а  .Л инейная зависимость произведения и ошибки произведения и ошибки позволяет по значениям двух произведений при фиксированном значении A = A0 определить нали­чие ош ибки, в произведении вызванное воздействием помехи. Наложим ограничение на длительность помехи, определяемую временем выполнения двух умножений.Тогда, если первое умножение дает значение С 1, определяемое (5), то второе ум ­ножение даетС 2 = С 0 + А С 2 = AAB1 + В 1А а  , (6)а так как в соответствии с (4) А а  не зависит от В  , тоС 2 = (A0 + А а )  + (А0 + А В ) = A0 В 0 + В 0 А а  + A0 АВ + А В А а  (7)Вычитая из (7) значение полученное при первом умножении (5) получаемSC = С 2 -  С 1 = A0 АВ + АВАа  (8)Выбрав приращ ение АВ  = 1 , получаемSC = A0 + А а  = A  (9)Используя выражение (9) можно наличие ошибки умножения определить в виде отклонения значения A , эквивалентного наличию ошибки произведения какН А У Ч Н Ы Е  В Е Д О М О С Т И  I j w j j  С ер ия  И сто р и я . П о л и то л о ги я . Э ко но м и ка . И н ф о р м а ти ка .  ^  ^ g2 0 12 . № 7 (12 6). В ы пуск  22/12012. №7 (126). Выпуск 22/1А а  = A -  A 0, (10)и, если А а  превыш ает некоторый порог, то формируется сообщ ение «ошибка ум нож е­ния», установление флажка в единицу.Алгоритм реализую щ ий данны й метод приведен на рис. 2.В соответствии с описанным подходом к обнаружению ош ибки умножения, алго­ритм определения ошибки может быть представлен в виде приведенном на рис. 2 и включает следующ ую последовательность шагов:1. П роводят умножение чисел A0 В 0 представленных при нормализации (5).2. Увеличиваю т сомножитель В 0 на 1 и проводят умножение А0 на В 1 = В 0 +1  (7).Если предполагать использование двух устройств умножения при действии той ж е поме­хи, то ограничение на длительность помехи можно снять, при одновременном вы полне­нии двух умножений.3. Вычитаю результаты полученных произведений и определяют абсолютное зна­чение разности (9).4. Из полученного значения вычитают сомножитель А  (10).5. Сравнивают полученное значение с пороговым и в зависимости от результата сравнения флажок устанавливается в единицу или в ноль.Серия История. Политология. Экономика. Информатика.1 1 4 Н А У Ч Н Ы Е  В Е Д О М О С Т ИНачалоВвод А, ВC l = А ВB l =  В  -Ь 1С; = ЙР,■ ■1па СЁВВывод «ошибка» Вывод «ош т»еникбиМ -КонецРис. 2. Блок-схема алгоритма обнаружения ошибки умножения предложенным методомВременные затраты на обнаружение ош ибки определяютсят = 2т. . .  + 2 т ~ . + т, + т~дон пе е пдгде т0й -  время выполнения умножения, тл -  время сложения/вычитания, ти -  время добавления единицы, тср -  время установки флажка.При обнаружении ош ибки с использованием арифметических кодов выполняют:1. Н ахождение остатков операндов сомножителей.2. Вычисление произведения чисел.3. Определение остатка полученного произведения.4. Вычисление произведения остатков сомножителей.5. Округление остатка произведения остатков.6. Сравнение полученных остатков и установка флажка.Как и в предложенном подходе обнаружения ошибки умножения используют два умножения и сравнение с установкой флажка. Но в отличии от предложенного определе­ния наличия ош ибки, где выполняется два сложения и добавление единицы, при исполь­зовании арифметических кодов определяют четыре остатка по выбранному модулю, вре­мя вычисления которых превыш ает суммарное время трех сложений.Кроме этого, при использовании арифметических кодов непременным условием является выполнение умножения остатков без ошибки, при этом нет возможности даже косвенного округления величины ошибки.П редложенный подход при увеличении временных затрат, вследствие непосредст­венного формирования значения отклонения сомножителя, позволяет корректировать ошибку произведения.Таким образом, приведенный метод обнаружения ошибки умножения по сравне­нию с обнаружением ошибки с использованием арифметических кодов не требует вы ­полнения хотя бы одного умножения абсолютно точно, более быстродействующ ий и формирует значение , которое может быть использовано для коррекции ош ибки умнож е­ния при увеличении временных затрат.Н А У Ч Н Ы Е  В Е Д О М О С Т И  I j w j j  С ер ия  И сто р и я . П о л и то л о ги я . Э ко но м и ка . И н ф о р м а ти ка .  ^  ^ g2 0 12 . № 7 (12 6). В ы пуск  22/1Л и т е р а т у р а1. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для студентов высш их учебны х заведений, обучающ ихся по направлению подготовки дипломирован­ных специалистов "Информатика и вычислительная техника" / Сергиенко А.Б.; Рец.: С.П. Еркович, Г.И. Ревунков; М -во образования РФ., Федеральная целевая программа "Культура России". П оддержка полиграфии и книгоиздания России. -  СПб.: Питер, 2003. -  604 с.: ил., табл. -  (Учебник для вузов. -  Прил.: с. 5о8-582.-Библиогр.: 583-585.- Алфавитны й указ.: с. 586-6032. Л уцик Ю .А., Л укьянова И.В. Ариф метические и логические основы вы числи­тельной техники3. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров = M athem atical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorem s and form ulas for reference and review/ Korn G.A., Korn T.M.: Определения, теоремы, формулы / Корн Г., Корн Т.; Под общ. ред. И.Г. Арамановича; Пер.: И.Г. Арамановича, А.М . Березма- на, И.А. Вайнштейна, Л.З. Румшинского, Л.Я. Цлафа. -  2-е изд.. -  М.: Наука, 1970. -  720 с.: ил.. -  Библиогр.: с. 682-684.-Указ. важнейш их обозначений: с. 685-687.-Предметный указ.: с. 688-7204. Патент № 2439674Российская Федерация, МПК. Способ формирования отказо­устойчивой вычислительной системы и отказоустойчивая вычислительная система / А.С. Сыров, В.П. Андреев и др.; опубл. 10.01.2012. Бюл. № 1.Серия История. Политология. Экономика. Информатика.2012. № 7 (126). Выпуск 22/1DETECTION AND CORRECTION OF ERRORS IN MULTIPLYIn the article a method of functional control and error correc­tion by multiplying the number of multiplication error reduction in the rejection of one of the input operands.Belgorod National Key words: error detection, error correction, the deviation ofResearch Urnv^stiy the operand.e-mail: aleksandr@nachetov.org.uaN.I. KORSUNOV A.A. NACHETOV A.V. GLUSHAK1 1 6 Н А У Ч Н Ы Е  В Е Д О М О С Т И

http://dspace.bsu.edu.ru/bitstream/123456789/55160/1/Korsunov_Defection_12.pdf

Обнаружение и исправление ошибок при умножении чисел

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

DSpace at Belgorod State University

DSpace at Belgorod State University