This thesis focuses on geometric inverse problems. By this, we mean that the mathematical framework is the Riemannian geometry and the objects of interest are smooth Riemannian manifolds with or without boundaries. Electric impedance tomography, sonography, and seismic imaging are examples of geometric inverse problems that have been studied extensively.
In inverse problems, one tries to obtain more information about the object of interest by doing indirect measurements and combining this additional information with some type of a priori information. The a priori information together with the measurements are called “the data”. We want to show that Riemannian manifolds with the same data have also some other geometric properties in common. For instance, two Riemannian manifolds admit the same data if and only if they are Riemannian isometric. In this thesis, we focus, on the uniqueness questions of the geometric inverse problems.
In the first article, we study an inverse problem related to the obtaining information about the deep structures of the Earth from the travel time differences of seismic waves produced by earthquakes. We show that, under certain assumptions about the measurement area, the travel time difference functions determine the Riemannian manifold up to an isometry. In the second article, we show that, if in an open set of Euclidean space we have been given a wave that is produced by a single realization of a white noise source, then we can determine the Riemannian metric tensor, provided that the metric tensor is non-trapping and coincides with the Euclidean metric outside some compact set. In addition we also show that, if the solution mapping of the Riemannian wave equation with interior source is given in some open set, then we can determine the Riemannian structure up to an isometry. In the third article, we study an inverse problem of a reconstruction of a compact Riemannian manifold with a smooth boundary from the scattering data of internal sources. This data consists of the exit directions of geodesics that emanate from the interior points of the manifold. We show, that under certain generic assumptions on the metric, one can reconstruct an isometric copy of the manifold from such scattering data measured on the boundary. In the fourth article, we consider a generalization of the first article.Tämä työ sijoittuu soveltavan ja puhtaan matematiikan välimaastoon. Tutkimuksen tärkeimpinä motivaation lähteinä on toiminut seismologia ja maaperän rakenteen selvittäminen tekemällä seismisiä mittauksia maan pinnalla. Esimerkiksi jos pystymme selvittämään kuinka maanjäristyksen synnyttämä seisminen aalto etenee maan sisällä, saamme paljon tietoa
maaperän koostumuksesta. Tämä johtuu siitä, että maaperän rakenne vaikuttaa siihen, miten seismiset aallot liikkuvat. Siksi tutkimalla matemaattisia malleja, jotka liittyvät aaltojen etenemiseen, voimme selvittää epäsuorasti myös maaperän rakennetta. Matemaattinen malli, joka on tämän työn taustalla, soveltuu varsin hyvin esimerkiksi seismisten aaltojen mallintamiseen.
Väitöskirjassani olen tutkinut geometrisiä inversio-ongelmia. Tämän tyyppisessä matemaattisessa tutkimuksessa tavoitteena on todistaa, että ainoastaan geometrisesti samanlaiset kappaleet tuottavat samanlaisen teoreettisen mittausdatan. Työssä on tutkittu neljää erilaista mittausdataa. Kussakin tutkimuksessa on osoitettu edellä mainittu geometrinen yksikäsitteisyys. Olen käsitellyt datoja, jotka on määritelty sekä reunattoman Riemannin moniston avoimessa joukossa että reunallisen moniston reunalla.
Työn ensimmäisessä osajulkaisussa on osoitettu, että seismisten aaltojen kulkuaikojen erotuksien avulla voimme selvittää, kuinka aallot etenevät mittausalueella ja sen ulkopuolella. Työn toisessa osassa on osoitettu, että mikäli tunnemme valkoisen kohinan synnyttämän aallon avoimessa mittausjoukossa, voimme selvittää minkä tahansa aallon etenemisen mittausjoukossa ja sen ulkopuolella. Kolmannessa osajulkaisussa on osoitettu, että mikäli tiedämme missä pisteessä ja missä suunnassa kappaleen sisältä pistelähteen synnyttämä aalto osuu kappaleen reunaan, niin voimme selvittää aaltojen etenemisen kappaleen sisällä. Työn viimeisessä osassa on laajennettu ensimmäisen osan tulosta koskemaan yleisempää mittaustilannetta
