Weighted composition operators on spaces and classes of analytic functions

Abstract

Tesis Doctoral inédita leída en la Universidad Autónoma de Madrid, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas. Fecha de lectura 15-09-2017Let F and ϕ be two analytic functions on the unit disk D with ϕ(D) ⊂ D. For an analytic function on the unit disk f, the weighted composition transformation is defined as TF,ϕ = F(f ◦ ϕ). In this thesis we study three different aspects of these maps: as transformations in a non-linear class of analytic functions, as operators between Banach spaces defined axiomatically, and we also consider semigroups of weighted composition operators. In Chapter 3 we characterize the symbols {F, ϕ} such that the transformation TF,ϕ preserves the class P of analytic functions on the unit disk with positive real part normalized so that f(0) = 1. We give three equivalent conditions for TF,ϕ(P) ⊂ P: one in terms of test functions, an analytic one, and a geometrical one. The rest of the chapter is devoted to some discussion on the counterbalance of the behavior of F and ϕ, and the study of the fixed points of the transformation. Chapter 4 introduces the family of mixed norm spaces that will be an example for the axiomatic Banach spaces of Chapter 6. We give growth properties of functions in these spaces, and characterize completely the inclusions between the spaces of the family. In Chapter 5 we study the semigroups of composition operators on the mixed norm spaces defined in the previous chapter. Such semigroup is a family of (weighted, with weight F ≡ 1) composition operators {Cϕt = Ct} such that C0 is the identity and Ct+s = Ct ◦ Cs. We characterize the symbols {ϕt} such that the semigroup is strongly continuous in the mixed norm spaces, that is, the operators are bounded on the space and for every f in the space lim t→0 kCtf − fk = 0. In the final chapter we study the weighted composition operators acting on general Banach spaces of analytic functions. We will require the spaces to satisfy some natural axioms and characterize the operators that are weighted composition operators and its invertibility in such spaces. We give several examples of spaces that do not satisfy the axioms, in order to check the minimal requirements in the space for the weighted composition operators to have the properties we are interested inSean F y ϕ dos funciones analíticas en el disco unidad D, con ϕ(D) ⊂ D. Para una función f analítica en el disco unidad, el operador de composiciòn ponderado se define como TF,ϕ = F(f ◦ ϕ). En esta tesis estudiamos tres aspectos diferentes de estas aplicaciones: como transformaciones en una clase no lineal de funciones analíticas, como operadores entre espacios de Banach definidos axiomáticamente, y también consideramos los semigrupos de operadores de composición. En el Capítulo 3 caracterizamos los símbolos {F, ϕ} tales que la transformación TF,ϕ preserva la clase P de funciones analíticas en el disco unidad con parte real positiva y normalizadas de tal manera que f(0) = 1. Daremos tres condiciones equivalentes a TF,ϕ(P) ⊂ P: una en términos de funciones test, una analítica, y una geométrica. El resto del capítulo está dedicado a discutir el equilibrio entre el comportamiento de F y el de ϕ, y al estudio de los puntos fijos de la transformación. En el Capítulo 4 introducimos la familia de espacios de norma mixta, que será un ejemplo para los espacios de Banach definidos axiomáticamente del Capítulo 6. Daremos propiedades de crecimiento de las funciones en estos espacios, y caracterizaremos completamente las inclusiones entre espacios de la familia. En el Capítulo 5 estudiamos los semigrupos de operadores de composición en los espacios de norma mixta definidos en el capítulo anterior. Un semigrupo es una familia de operadores de composición (ponderados, con peso F ≡ 1) {Cϕt = Ct} tales que C0 es el operador identidad y Ct+s = Ct ◦ Cs. Caracterizamos los símbolos {ϕt} tales que el semigrupo que induce es fuertemente continuo en los espacios de norma mixta, es decir, tales que los operadores están acotados en el espacio y para cada f en el espacio lim t→0 kCtf − fk = 0. En el capítulo final estudiamos los operadores de composición ponderados que actúan en espacios generales de Banach de funciones analíticas. Pediremos que los espacios cumplan algunos axiomas naturales y caracterizaremos los operadores acotados que son operadores de composición ponderados y su invertibilidad en dichos espacios. Daremos varios ejemplos de espacios que no satisfacen los axiomas, para comprobar los requerimientos mínimos en el espacio para que el operador de composición ponderado tenga las propiedades que nos interesa