International audienceDans cet article, nous proposons une approche multiniveau permettant d'accélérer les algorithmes d'optimisation classiques. Cette approche utilise les vecteurs propres de la matrice Hessienne de la fonction coût pour définir des sous-espaces de conception. La recherche de l'optimum est alors effectuée successivement dans ces sous-espaces de dimension variable. La méthode proposée est validée sur un problème de reconstruction de forme, puis appliquée à l'optimisation d'un avant projet d'avion d'affaires supersonique

Benzaoui, Abderrahmane

Duvigneau, Régis

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HAL Id: hal-01419957https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01419957Submitted on 20 Dec 2016HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.Distributed under a Creative Commons Attribution| 4.0 International LicenseMéthode algébrique pour l’optimisation multiniveau -Application à l’optimisation d’un avion d’affairessupersoniqueAbderrahmane Benzaoui, Régis DuvigneauTo cite this version:Abderrahmane Benzaoui, Régis Duvigneau. Méthode algébrique pour l’optimisation multiniveau -Application à l’optimisation d’un avion d’affaires supersonique. 9e colloque national en calcul desstructures, CSMA, May 2009, Giens, France. ￿hal-01419957￿Méthode algébrique pour l’optimisation multiniveau -Application à l’optimisation d’un avion d’affairessupersonique.A. Benzaoui1, R. Duvigneau11 Projet OPALE - INRIA Sophia Antipolis2004, route des Lucioles, BP 93, 06902 Sophia Antipolis (France)Abderrahmane.Benzaoui@sophia.inria.frRegis.Duvigneau@sophia.inria.frRésumé — Dans cet article, nous proposons une approche multiniveau permettant d’accélérerles algorithmes d’optimisation classiques. Cette approche utilise les vecteurs propres de la matriceHessienne de la fonction coût pour définir des sous-espaces de conception. La recherche de l’opti-mum est alors effectuée successivement dans ces sous-espaces de dimension variable. La méthodeproposée est validée sur un problème de reconstruction de forme, puis appliquée à l’optimisationd’un avant projet d’avion d’affaires supersonique.Mots clés — optimisation multiniveau, décomposition du Hessien, accélération de la convergence.1 IntroductionLes algorithmes d’optimisation multidisciplinaires sont souvent confrontés au problème de di-mensionnalité de l’espace de conception. Plus le nombre de paramètres est élevé, plus la recherchede l’optimum est coûteuse. Cette augmentation du coût n’est pas due uniquement à la taille du pro-blème, mais aussi à sa raideur, c’est à dire au faible taux de convergence.Des études précedentes ont été menées pour accélérer la convergence de ces algorithmeslorsque le nombre de paramètres est élevé en utilisant des méthodes hiérarchiques. Ces étudess’inspirent de la méthode multigrille, utilisée pour resoudre des équations aux dérivées partielles.Plus particulièrement, Jameson et al [5] ont généralisé une méthode multigrille pour l’optimisationaérodynamique en résolvant simultanément les équations de l’écoulement et celles du problèmed’optimisation correspondant. De même, Lewis et Nash [6, 7] ont utilisé le concept multigrillepour l’optimisation des systèmes gouvernés par des équations différentielles. Par ailleurs, Dési-déri et al [4, 1] ont développé un algorithme hiérarchique pour l’optimisation de forme dans le casd’une paramétrisation par une courbe de Bézier ou par la méthode Free-Form Deformation (FFD)[9]. Cet algorithme utilise la propriété d’élevation du degré des courbes de Bézier pour assurer letransfert d’informations d’un niveau grossier à un niveau plus fin.Dans les études précédentes, le choix des sous-espaces de conception est lié à la paramétri-sation des formes et peut ne pas être efficace [3]. Dans ce travail, nous proposons une méthodemultiniveau plus générale permettant l’accélération de la convergence des algorithmes d’optimi-sation. Contrairement aux études précédentes, cette technique ne repose pas sur la paramétrisationpour définir les sous-espaces de conception. Elle peut donc être employée pour d’autres problèmes1que l’optimisation de forme. L’idée principale de cette méthode est de construire les sous-espacesde conception à partir des modes propres du Hessien de la fonctionnelle. En effet, par analogieavec la théorie multigrille, le taux de convergence dépend des valeurs propres de la matrice Hes-sienne. Ainsi, avec une stratégie multiniveau adéquate, on sélectionne les modes de faible taux deconvergence pour y affiner l’optimisation avec plus d’efficacité.Afin de valider la méthode que nous avons développée, cette dernière est testée sur un pro-blème de reconstruction de forme géométrique dont la solution est connue. Il s’agit de la recherchede la meilleure approximation d’une forme donnée, par une courbe de Bézier. Dans ce problème,la fonction coût à minimiser est l’erreur d’approximation et les paramètres d’optimisation sont lescoordonnées des points de contrôle de la courbe de Bézier. On montre qu’il est possible d’atteindrela solution théorique avec un coût plus faible qu’une méthode d’optimisation classique.Après l’avoir validée, la méthode multiniveau est appliquée à un problème d’optimisation d’unavion d’affaires supersonique (SSBJ). Il s’agit d’un problème multidisciplinaire qui fait intervenirl’aérodynamique, la structure et la propulsion [8]. L’objectif est de minimiser la masse totale del’avion au décollage tout en respectant des contraintes liées au rayon d’action, à la distance dedécollage et à la vitesse d’approche. Bien que ce problème soit difficile à cause de la multimo-dalité et de la complexité des contraintes, l’approche proposée permet d’atteindre de meilleuresperformances aérodynamiques avec un moindre coût de calcul.Dans toutes les applications présentées dans cet article, l’optimisation est réalisée grâce à laméthode Multidirectional Search Algorithm (MSA) de Torczon [2]. Cependant, d’autres méthodespeuvent être employées. Plus particulièrement, nous travaillons actuellement sur l’implémentationd’une approche de type Particle Swarm Optimization (PSO) dans l’algorithme multiniveau.2 Optimisation multiniveauSoit f la fonction coût à minimiser, E l’espace de conception et X ∈E le vecteur de conception(de n paramètres) de cette fonction. Soit X0 ∈ E le vecteur initial. Dans la méthode multiniveau,afin de définir les sous-espaces de recherche, on commence par calculer la matrice HessienneH(X0) (de façon exacte ou approchée) de la fonction coût au point X0 et déterminer ses vecteurspropres V = (v1, ...,vn). Ces derniers sont classés par ordre de valeur propre croissante (ou par va-leur absolue de valeur propre croissante si le Hessien n’est pas défini positif en ce point). En effet,les directions correspondant aux petites valeurs propres sont des directions de faibles variationsde la fonction f , dans lesquelles les algorithmes d’optimisation peinent à converger. En revanche,dans les directions correspondant aux grandes valeurs propres, la convergence est rapide. L’idéede notre approche multiniveau est alors de consacrer davantage d’efforts dans les directions defaibles taux de convergence. Supposons que le processus d’optimisation soit arrivé à un niveaul où le vecteur de paramètres obtenu est X (l) ∈ E. L’algorithme multiniveau calcule la solutionX (l+1) ∈ E au niveau l +1 en ajoutant un terme de correction permettant de minimiser la fonctioncoût. Le paramètre recherché est donc le terme de correction qu’on détermine de la façon suivante :Supposons que le niveau l +1 est caractérisé par m = ml+1 paramètres (m≤ n) et considéronsla base Vm et le sous-espace Em définis par :Vm = (v1, ...,vm)Em = {z = Vmy | y ∈ℜm}2On choisit le vecteur de correction comme un vecteur de Em. Ainsi, pour obtenir la meilleurecorrection, l’algorithme d’optimisation recherche un vecteur y ∈ℜm tel que la fonction :g(y) = f (X (l) +Vmy) (1)est minimisée. La minimisation de la fonction g est effectuée par un algorithme d’optimisationclassique (l’algorithme MSA dans notre cas). Notons que pour une méthode comme la méthodeMSA, le coût d’optimisation de la fonction g dépend de la dimension du vecteur y. Comme cedernier est inférieur ou égal à n, le coût d’optimisation des sous-niveaux est inférieur à celui duniveau le plus fin. Si y∗ est le minimum de la fonction g, le vecteur de conception au niveau l +1s’écrit alors :X (l+1) = X (l) +Vmy∗Cette écriture nous permet à la fois de passer d’un niveau grossier à un niveau fin ou inversementsans aucune perte d’information. La méthode multiniveau emploie plusieurs niveaux, ordonnésen cycles, par analogie avec la terminologie de la méthode multigrille. Ainsi, un cycle est définipar une séquence de niveaux dont les nombres de paramètres (dimensions des sous-espaces) sontrespectivement m1,m2, ...,mnl et dont les nombres d’itérations correspondant sont it1, it2, ..., itnl ,avec nl le nombre de niveaux dans le cycle (cf. tableau (1)). Ce cycle peut être répété autant defois que nécessaire. A chaque nouveau cycle, le Hessien est ré-évalué au dernier point obtenu parl’algorithme d’optimisation et les sous-espaces de recherches sont mis à jours. Pour récapituler,l’algoritme multiniveau est résumé ci-dessous :1. Initialiser le vecteur de conception X0 ;2. initialiser le compteur de cycles à k = 0 ;3. tant que k < nc et le critère d’arrêt non atteint, effectuer l’optimisation sur un cycle multini-veau :(a) évaluer la matrice Hessienne H(Xk) et déterminer ses vecteurs propres ;(b) initialiser le compteur de niveaux à l = 1 ;(c) prendre X (l) = Xk ;(d) tant que l ≤ nl optimiser sur un niveau :i. choisir une base Vm constituée de m = ml vecteurs propres,ii. utiliser un algorithme d’optimisation pour déterminer un vecteur de correctiony∗ ∈ℜm qui minimise la fonction g(y) = f(X (l) +Vmy);iii. X (l+1)←− X (l) +Vmy∗ ;iv. l←− l +1 et aller à (3d) ;(e) Xk+1←− X (l) ;(f) k←− k +1 et aller à (3) ;4. X∗←− Xk.Le critère d’arrêt que nous utilisons pour l’étape (3) de l’algorithme précédent est la diminutionrelative de la fonction coût. Tant que cette diminution est supérieure à une valeur donnée et que lenombre de cycle est inférieur à une limite prédéfinie nc, le processus d’optimisation continue.3 Application au problème de reconstruction de formeLe problème de reconstruction de forme est un exemple simple permettant la validation del’algorithme multiniveau. Il présente l’avantage de facilité de calcul de la fonction coût (qui estquadratique) ainsi que de son Hessien. Dans ce problème on souhaite approcher une fonction3niveau itérations correspondantesf init1 it1↘ ↗grossier it2Tableau 1 – schéma descriptif d’un V-cycle à deux niveauxcible donnée, F0(t), par une courbe de Bézier de degré n, F(t,X), où X = (x1, ...xn)T representeles coordonnées des points de contrôle. Dans notre cas, la fonction cible est, elle aussi, une courbede Bézier de degré n0 > n. Ces deux fonctions sont données par :F0(t) =n0−1∑k=0Bkn0−1(t)x0k+1 (2)etF(t,X) =n−1∑k=0Bkn−1(t)xk+1 (3)pour t ∈ [0,1]. Dans l’équation (2), x01,...x0n0 sont les coordonnées des points de contrôle de lafonction cible. De même, dans les équations (2) et (3), Bkn−1 représentent les polynômes de Bern-stein donnés par :Bkn(t) = Ckntk(1− t)n−kavecCkn =n!k!(n− k)!En se basant sur la méthode des moindres carrés, le problème d’approximation est équivalentà un problème d’optimisation dont la fonction coût à minimiser représente l’écart entre les deuxcourbes. Soit :f (X) =Z 10(F(t,X)−F0(t))2dt (4)Dans cette étude, la fonction cible est de degré 14 tandis que la fonction approchée est de degré8. Par ailleurs, le Hessien est calculé analytiquement en dérivant l’expression (4). 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0  200  400  600  800  1000f(X)Nombre evaluationscas 1cas 2cas 3Figure 1 – Evolution de la fonction coût en fonction du nombre d’évaluations pour le problème dereconstruction de forme.La figure (1) représente l’évolution de la fonctionnelle en fonction du nombre d’évaluation etce pour trois cas : en utilisant une méthode MSA classique avec un seul niveau (cas 1), en utilisant4une méthode MSA avec un seul niveau mais en travaillant dans une base propre du Hessien (cas2) et en utilisant l’algorithme multiniveau (cas 3). Les cycles du cas 3 sont définis par la séquencedes niveaux (8/4) avec 3 itérations par niveau. Cela constitue un V-cycle à deux niveaux, selon laterminologie des méthodes multigrille. Notons que, dans la figure (1), le choix de la représentationde l’évolution en fonction du nombre d’évaluations se justifie par le fait que, dans un problèmeindustriel, la plus grande partie du coût d’optimisation est due à l’évaluation de la fonctionnelle.On constate sur cette figure que le fait d’utiliser la décomposition spectrale du Hessien permetde réduire considérablement le coût de calcul et d’accélérer l’algorithme d’optimisation. Ce gainest encore meilleur lorsque on utilise une approche multiniveau avec un faible nombre d’itérationspar niveau.4 Optimisation d’un avant projet d’avion d’affaires supersoniqueL’optimisation d’un avion d’affaires supersonique (SSBJ) est un cas test intéressant vu soncaractère industriel multidisciplinaire et complexe. Ce problème, qui fait intervenir l’aérodyna-mique, la propulsion et la structure de l’avion, a été utilisé par Sobieszczanski-Sobieski et al dansleur étude sur les méthodes de type "BLISS" [8]. Dans notre étude, nous nous en servons pourmontrer l’efficacité de la méthode multiniveau et sa capacité à traiter des problèmes complexes.L’objectif est de minimiser la masse de l’avion au décollage, tout en respectant des contraintessur le rayon d’action Ract , sur la distance de décollage ddec et sur la vitesse d’approche vapp. Cescontraintes sont : Ract > 6500 kmddec < 1828 mvapp < 70 m/sLe dimensionnement et le calcul des performances de l’avion sont effectués à l’aide de pro-grammes fournis par Dassault Aviation qui font intervenir un jeu de quinze variables de concep-tion. Par ailleurs, les contraintes sur les performances de l’avion et sur les variables de conceptionsont prises en compte dans notre algorithme, par l’intermédiaire de termes de pénalité. 34000 36000 38000 40000 42000 44000 46000 48000 50000 0  2000  4000  6000  8000  10000masse (kg)Nombre evaluationscas 1cas 2cas 3Figure 2 – Evolution de la masse de l’avion en fonction du nombre d’évaluations.La figure (2) montre l’évolution de la fonction coût (masse de l’avion) en fonction du nombred’évaluations et ce pour trois cas comme précédemment. Les cycles utilisés dans le cas 3 sontdéfinis par la séquence des niveaux (15/7) avec 5 itérations par cycle pour le niveau 15 et 6 itéra-tions par cycle pour le niveau 7. On constate sur cette figure que l’utilisation d’une base propre duHessien et de l’approche multiniveau permettent non seulement d’accélérer la convergence, mais5d’atteindre de meilleures performances. Cependant, vu la multimodalité du problème et la com-plexité des contraintes, la méthode MSA peut facilement être piégé par un minimum local, ce quirend le réglage des paramètres de calcul très délicat car un petite modification peut dégrader les ré-sultats. Par ailleurs, il convient de signaler que pour les résultats présentés ici, le calcul du Hessienest réalisé par différences finies, ce qui est très coûteux et peu précis. Nous travaillons actuelle-ment sur une évaluation approchée par l’utilisation d’un métamodèle ou d’un modèle quadratiqueglobal.5 ConclusionNous avons présenté dans cet article une approche d’optimisation multiniveau basée sur ladécomposition spectrale du Hessien. Cette approche est très générale et peut s’appliquer à unegrandes variété de problèmes ou utiliser différentes méthodes d’optimisation. Dans cette approche,la recherche de l’optimum d’une fonction se fait dans des sous-espaces engendrés par les vecteurspropres du Hessien, ce qui permet d’affiner l’optimisation dans les directions de faible taux deconvergence.La méthode que nous avons présentée est validée sur un problème de reconstruction de formeet montre une véritable efficacité en terme d’accélération de convergence. Notons que cette ef-ficacité dépend du nombre de conditionnement du Hessien. Plus ce nombre est grand et plus laméthode multiniveau est efficace.La méthode est ensuite appliquée à l’optimisation de la conception d’un avion d’affaires su-personique. Là encore, l’approche multiniveau permet de réduire considérablement le coût de ré-solution et en plus, d’atteindre de meilleures performances, à condition de choisir judicieusementles paramètres de calcul.Références[1] B. Abou El Majd, R. Duvigneau, J. A. Désideri, Aerodynamic Shape Optimization using aFull Adaptative Multilevel Algorithm, ERCOFTAC Conference Design Optimization : Me-thods and Applications, Iles Canaries, Avril 2006.[2] J. E. Dennis, V. Torczon, Direct Search Method on Parallel Machines, SIAM Journal onOptimization, 1, 448–474, 1991.[3] J. A. Désideri, Two-level ideal algorithm for shape optimization, International Conferenceon Advances in Numerical Mathematics, Moscow, septembre 2005.[4] J. A. Désideri, B. Abou El Majd, A. Janka, Nested and self-adaptative Bézier paramete-rization for shape optimization, International Conference on Control, Partial DifferentialEquation and Scientific Computing, Pékin, septembre 2004.[5] A. Jameson, L. Martinelli, Optimum Aerodynamic Design using the Navier-Stokes Equa-tions, Theorical and Computational Fluid Dynamics, 10, 213–277, 1998.[6] R. Lewis, S. Nash, A Multigrid Approach to the Optimization of Systems Governed by Dif-ferential Equations, American Institute of Aeronautics and Astronautics, Reston, VA, AIAA-2000-4890, 2000.[7] R. Lewis, S. Nash, Model Problems for Multigrid Optimization of Systems Governed byDifferential Equations, SIAM J. Sci Comput., 26, 1811–1837, 2005.[8] J. Sobieszczanski-Sobieski, J. S. Agte, R. R. Sandusky, Bilevel Integrated System Synthesis,AIAA Journal, 38 (1), 164–172, Janvier 2000.[9] T. Sederberg, S. Parry, Free-form deformation of solid geometric models, Computer Gra-phics, 20 (4), 151–160, 1986.6

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