La necesidad de métodos computacionales cada vez más exactos para la simulación de los fenómenos físicos presentes en los reactores nucleares actuales y futuros, requiere una aproximación multi-escala y multi-física. Este reto puede ser realizado mediante el acoplamiento de códigos best-estimate de neutrónica y termo-hidráulica. Con este objetivo, la tendencia actual en el campo de simulación de reactores es el desarrollo de una nueva generación de herramientas que sean fáciles de usar, modulares, intercambiables y de esta manera, integrables en plataformas comunes. Estas son las premisas que dieron lugar al proyecto integrado NURESIM dentro del 6º Programa

Marco de la Unión Europea (Cacuci et al., 2006). En el marco de este proyecto se ha desarrollado y validado un código nodal de difusión tridimensional en multi-grupos llamado ANDES (Analytic Nodal Diffusion Equation Solver)(Lozano et al., 2007). El código ANDES resuelve la ecuación de difusión neutrónica en geometría Cartesiana (LWR) o geometría Triangular-Z (VVER, HTGR, SFR) en tres dimensiones y multigrupos de energía. Para ello utiliza el método Analítico en Malla Gruesa y Diferencias Finitas (ACMFD) (Aragonés et al., 2007) para obtener las ecuaciones de acoplamiento nodal. Esta metodología, originalmente introducida por Y.A. Chao (Chao, 1999, 2000) para la ecuación de difusión estacionaria ha sido extendida para la ecuación cinética (Lozano et al., 2008), lo que permite no sólo el cálculo de estados estacionarios, sino también de transitorios originados por un cambio en las condiciones neutrónicas o termohidráulicas. Para la simulación de transitorios, así como de estacionarios a potencia, se ha llevado a cabo el acoplamiento de ANDES con el código termohidráulico COBRA (Jiménez et al., 2007). Es destacable el gran esfuerzo realizado en dotar al código de una estructura que lo convierta en una herramienta fácilmente integrable, lo que ha permitido la integración del mismo en nuestro código 3D de celda COBAYA3 (Herrero et al., 2007), así como en la nueva plataforma DESCARTES (Calvin et al., 2005)

Aragonés Beltrán, José María

García Herranz, Nuria

Lozano Montero, Juan Andrés

Servicio de Coordinación de Bibliotecas de la Universidad Politécnica de Madrid

REUNIÓN ANUAL DE LA SOCIEDAD NUCLEAR 
ESPAÑOLA 2008 
Área temática de I+D+i 
 
El código nodal analítico ANDES para difusión en geometría 
3D y multi-grupos: Desarrollo y Resultados 
 
Juan Andrés Lozanoa, Nuria García-Herranz, José Mª Aragonés  
 
Departamento de Ingeniería Nuclear, Universidad Politécnica de Madrid (UPM) 
C/ José Gutiérrez Abascal, 2; 28006 Madrid 
 
1. Introducción 
 
La necesidad de métodos computacionales cada vez más exactos para la simulación de 
los fenómenos físicos presentes en los reactores nucleares actuales y futuros, requiere 
una aproximación multi-escala y multi-física. Este reto puede ser realizado mediante el 
acoplamiento de códigos best-estimate de neutrónica y termo-hidráulica. Con este 
objetivo, la tendencia actual en el campo de simulación de reactores es el desarrollo de 
una nueva generación de herramientas que sean fáciles de usar, modulares, 
intercambiables y de esta manera, integrables en plataformas comunes. Estas son las 
premisas que dieron lugar al proyecto integrado NURESIM dentro del 6º Programa 
Marco de la Unión Europea (Cacuci et al., 2006). En el marco de este proyecto se ha 
desarrollado y validado un código nodal de difusión tridimensional en multi-grupos 
llamado ANDES (Analytic Nodal Diffusion Equation Solver) (Lozano et al., 2007). 
 
 
 
Figura 1. Conjunto de códigos neutrónicos incluidos en el proyecto NURESIM  
 
 
El código ANDES resuelve la ecuación de difusión neutrónica en geometría Cartesiana 
(LWR) o geometría Triangular-Z (VVER, HTGR, SFR) en tres dimensiones y multi-
grupos de energía. Para ello utiliza el método Analítico en Malla Gruesa y Diferencias 
                                                 
a Primer autor, lozano@din.upm.es 
Tel: +34 91 336 3108; Fax: +34 91 336 3102 
Finitas (ACMFD) (Aragonés et al., 2007) para obtener las ecuaciones de acoplamiento 
nodal. Esta metodología, originalmente introducida por Y.A. Chao (Chao, 1999, 2000) 
para la ecuación de difusión estacionaria ha sido extendida para la ecuación cinética 
(Lozano et al., 2008), lo que permite no sólo el cálculo de estados estacionarios, sino 
también de transitorios originados por un cambio en las condiciones neutrónicas o 
termohidráulicas. Para la simulación de transitorios, así como de estacionarios a 
potencia, se ha llevado a cabo el acoplamiento de ANDES con el código termohidráulico 
COBRA (Jiménez et al., 2007). 
 
Es destacable el gran esfuerzo realizado en dotar al código de una estructura que lo 
convierta en una herramienta fácilmente integrable, lo que ha permitido la integración 
del mismo en nuestro código 3D de celda COBAYA3 (Herrero et al., 2007), así como en 
la nueva plataforma DESCARTES (Calvin et al., 2005). 
 
 
2. Método Nodal Analítico en Malla Gruesa y Diferencias Finitas 
 
El objetivo del método ACMFD, al igual que el del resto de métodos nodales, es 
resolver la ecuación de difusión neutrónica en malla gruesa. Si se plantea la ecuación de 
balance neutrónico en cada nodo, las incógnitas que aparecen son el flujo medio y las 
corrientes medias de interfase por grupo de energía. Para obtener un sistema lineal con 
los flujos medios por nodo y grupo de energía como únicas incógnitas, es necesaria una 
expresión adicional que relacione las corrientes en cada interfase con los flujos medios 
de los nodos adyacentes. Es en dicha relación, llamada ecuación de acoplamiento, 
donde difieren la mayoría de los métodos nodales. 
 
• Algunos métodos modifican el esquema estándar de diferencias finitas 
introduciendo una corrección no lineal a través de coeficientes de acoplamiento. 
Usando métodos nodales de alto orden (NEM, ANM), se resuelve el llamado 
“problema de dos nodos” para cada interfase nodal, proporcionando una 
estimación más exacta de la corriente media en dicha interfase. Estas corrientes 
se usan para actualizar los coeficientes de acoplamiento.  
• Otros métodos no modifican los coeficientes de acoplamiento, sino el gradiente 
de flujo en las interfases, introduciendo factores de discontinuidad obtenidos de 
los cálculos de elemento aislado. Estos factores modifican localmente el flujo en 
las interfases, constituyendo un procedimiento de diferencias finitas discontinuo. 
• El método ACMFD proporciona una ecuación de acoplamiento de forma 
analítica, incluyendo los efectos espectrales y de malla gruesa sin la necesidad 
de usar ningún tipo de factores de corrección sintéticos. 
 
El método implementado en ANDES se basa en una expansión analítica del flujo en el 
interior de cada nodo. Para obtener dicha expansión analítica es preciso someter al 
sistema de ecuaciones de difusión en multi-grupos a dos transformaciones: 
 
1. Dado que las G ecuaciones de difusión para G grupos de energía están 
acopladas entre sí, constituyendo un sistema lineal de ecuaciones diferenciales, 
se realiza una diagonalización del mismo, obteniéndose un conjunto 
equivalente de G ecuaciones llamadas modales, donde las incógnitas serán los 
flujos modales, los cuales están relacionados linealmente con los flujos físicos. 
Con formato: Español
(España - alfab. internacional)
2. Puesto que en geometrías 2D y 3D tenemos un conjunto de ecuaciones en 
derivadas parciales cuya solución analítica no es cerrada, se emplea el 
procedimiento de integración transversal para obtener una ecuación diferencial 
sobre el flujo integrado transversalmente en cada dirección. Dichas ecuaciones 
por cada dirección se encuentran acopladas a través de un término de fuente 
externa llamado fuga transversal, para el cual se asume un perfil en el interior 
del nodo. 
 
El error cometido en el método ACMFD es debido a la diferencia existente entre el 
perfil real de las fugas transversales, el cual depende de la distribución de corrientes en 
las interfases nodales (desconocido), y el perfil obtenido por la interpolación de los 
valores medios de las corrientes en las interfases nodales (conocidos). En ANDES se 
han implementado tres tipos de interpolación: plana, parabólica y cúbica, analizándose 
en secciones posteriores la influencia de cada aproximación en la exactitud del 
resultado. 
 
Con toda esta metodología se obtiene finalmente la siguiente relación matricial entre el 
flujo medio en una interfase, la corriente media en la misma y el flujo medio en el nodo 
adyacente: 
 
 
 
 
Donde g
s
ggJ φφ y   , son los vectores columna de corriente media de interfase, flujo 
medio de interfase y flujo medio nodal por grupo de energía. D es la matriz diagonal 
(GxG) de los coeficientes de difusión, Af y Aj son matrices (GxG) completas, obtenidas 
a partir del desarrollo analítico y H es la anchura del nodo en la dirección considerada. 
Aplicando esta relación desde los dos nodos adyacentes a una interfase y considerando 
que flujo y corriente son continuos en dicha interfase, obtendremos finalmente la 
ecuación de acoplamiento nodal.  
   
 
3. Implementación del código ANDES 
 
En este apartado, se comentan los elementos clave en la implementación de la 
metodología previamente explicada en el código de difusión nodal analítico ANDES. 
Este código, escrito en FORTRAN 90, se compone de un conjunto de subrutinas, cada 
una de las cuales está orientada a ejecutar una tarea concreta. La eficiencia del código 
depende del flujo de cálculo, así como de la estructura de cada subrutina, realizándose 
un esfuerzo importante en ambos aspectos. 
 
Asimismo se ha prestado una atención especial a la gestión del flujo de datos, con dos 
objetivos: por un lado, minimizar el uso de memoria estática, por el otro, encapsular 
todas las variables de interfase de ANDES (entrada y salida), facilitando así la capacidad 
de integración del código en otros sistemas de códigos con diferentes estructuras o 
incluso distinto lenguaje de programación.   
 
A continuación se detalla el esquema del flujo de cálculo del código ANDES para el 
problema de valor propio en estados estacionarios. 
 
2H
s
gg
g /
f
j
 
A
AJ D
 
 |   | 
 | 1
〉−〉
=〉 − φφ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. Esquema de cálculo iterativo para el problema de valor propio 
 
 
Inicialización 
del flujo
Interpolación de corrientes en interfases 
y cálculo de fuga transversal y matrices 
ACMFD por interfaz y nodo
Crear matriz del sistema lineal 
(Incógnitas: flujos nodales)
Construir precond. ILU
Iniciar Krylov
solver de Krylov
Actualizar corriente de interfase
Cambiar fuente de fisión 
[keff] y potencia nodal 
Actualizar flujos de interfaseSALIDA 
Cálculo  
inicial? 
Convergencia? 
Convergencia de 
fuga transversal? 
Convergencia? 
N
S
S
N
N
N 
S
S
Inicialización 
Datos  
Resolution of 
the block-
diagonal 
linear system  
Cálculo de valores y 
vectores propios de la 
matriz de multi-grupos   
Lazo de 
iteración en el 
autovalor 
(keff) 
Lazo de 
iteración en 
fuga 
transversal 
4. Resultados 
 
Durante el proceso de verificación del código ANDES se ha realizado un extenso 
conjunto de ejercicios numéricos, los cuales van desde pruebas de auto-convergencia 
con geometrías sencillas hasta benchmarks internacionales para núcleos PWR, con 
realimentación termohidráulica de las secciones eficaces y definición de estados 
estacionarios y transitorios. 
 
La Tabla 1 muestra una lista de los benchmarks realizados así como de los resultados 
más reseñables.  
 
Tabla 1: Resumen de los resultados de ANDES para diferentes benchmarks, con cuatro 
nodos por elemento combustible y dos grupos de energía. 
 
Test / Benchmark Caso Boro crítico (ppm) /Keff 
Error con la 
referencia 
(ppm)/(pcm) 
FXY 
Error relativo 
(FXY) (%) 
2D PWR color-set benchmark - 0.958780 2.7 1.1781 0.02 
A1 561.62 6.1 1.9109 0.10 
A2 1158.03 2.6 1.1997 0.14 
B1 1248.42 6.2 1.2760 0.00 
B2 1187.68 1.7 1.1723 0.20 
C1 1128.75 6.5 1.4440 0.07 
LWR core transient benchmarks 
(Finnemann et al., 1991) 
C2 1158.03 2.6 1.1997 0.14 
A 1262.4 0.3 1.243 0.08 PWR benchmark on uncontrolled rods 
withdrawal at zero power 
(Fraikin, 1997) B 793.3 0.3 1.909 0.16 
1a 1.063792 0.6 1.682 0.04 
1c 0.991517 1.9 2.505 0.04 
2a 1685.93 6.6 1.370 0.6 
OCDE/NEA and U.S. NRC PWR 
MOX/UO2 core transient benchmark 
(Kozlowski et al., 2003) 3a 1342.93 2.2 1.748 0.0 
0 1.035521 182* 1.3630 0.15* 
1 1.033542 174* 1.4358 0.24* 
2 1.004086 19* 1.3293 1.79* 
3 0.987150 175* 5.4264 0.58* 
PWR Main Steam Line Break (MSLB) 
Benchmarks 
(Exercise 2) 
(Ivanov et al., 1999) 4 1.002067 187* 3.6212 0.25* 
* En este benchmark, la referencia se refiere a la media de las soluciones dadas por los diferentes 
participantes.  
 
Por razón de brevedad, en este artículo únicamente se detalla un  ejercicio numérico, el 
cual se presenta como ejemplo de la gran precisión que ofrece el método ACMFD para 
mallas de pocos nodos por elemento combustible. Básicamente consiste en una 
composición 2D de elementos combustibles PWR llamada color-set. El objetivo de esta 
elección es mostrar también la ventaja de los métodos nodales de alto orden frente a los 
métodos estándar de diferencias finitas, así como la gran influencia de la aproximación 
(interpolación) de fugas transversales en la exactitud de los cálculos realizados con 
ANDES. 
 
4.1. Color-set PWR en 2D 
 
Una de las composiciones de elementos combustibles que más penalizan el uso de un 
perfil incorrecto de fugas transversales es el problema del color-set 2D, con dos tipos de 
elementos combustibles homogéneos, de 20 cm de anchura. Se considera un conjunto 
de secciones eficaces típicas en 2 grupos de energía. En esta sección se comparan tres 
esquemas de interpolación distintos implementados en ANDES, con diferentes grados de 
refinamiento nodal para todos ellos. El objetivo de esta comparación es mostrar que la 
única fuente de error en la solución de la ecuación de difusión basada en el método 
ACMFD es la diferencia entre el perfil auténtico de la fuga transversal y el perfil 
interpolado a partir de los valores medios de las corrientes de interfase. 
 
La Figura 3 muestra los errores absolutos obtenidos en la constante multiplicativa, no 
sólo para las soluciones de ANDES con interpolación plana, parabólica y cúbica, sino 
también para la solución de diferencias finitas en malla fina de COBAYA3. Respecto al 
grado de refinamiento, situado en el eje de abscisas de la gráfica, es preciso comentar 
que N significa que se han usado NxN nodos por elemento combustible (calculos con 
ANDES) o NxN mallas por celda (17x17 celdas por elemento combustible en 
COBAYA3).  
 
1.E-07
1.E-06
1.E-05
1.E-04
1.E-03
1.E-02
0 8 16 24 32
Nodos/EC. ó Mallas/Celda
Er
ro
r a
bs
ol
ut
o 
en
 K
ef
f
Flat TL
Cubic TL
Parabolic
FMFD
 
Figura 3. Error absoluto en Keff 
 
En el gráfico puede apreciarse que la solución con interpolación cúbica es casi dos 
órdenes de magnitud más precisa que la de interpolación plana, o equivalentemente se 
puede afirmar que con interpolación cúbica puede alcanzarse la misma precisión que 
con interpolación plana y una malla ocho veces más fina. Por otra parte, es necesario 
anotar que los cálculos con interpolación cúbica o parabólica no requieren un tiempo de 
cálculo adicional excesivo, perfilándose como opciones más ventajosas que la 
interpolación plana.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Conclusiones 
 
ANDES es un código nodal basado en el método ACMFD que resuelve la ecuación de 
difusión en multi-grupos y tridimensional, tanto en estado estacionario como en su 
versión dependiente del tiempo. Puede aplicarse a geometrías Cartesiana y Triangular-
Z, siendo apto para la simulación de núcleos tipo LWR así como tipo VVER, SFR y 
HTGR. Los resultados obtenidos en los ejercicios numéricos de verificación muestran 
que ANDES es un código de gran precisión y con alto orden de aproximación tanto en 
energía como en distribución espacial.  
 
En cuanto al modo de funcionamiento, ANDES puede realizar cálculos de forma 
autónoma mediante el uso de secciones eficaces nodales (homogeneizadas por elemento 
combustible) y factores de heterogeneidad procedentes de librerías. También, al estar 
integrado en el código COBAYA3, puede ser empleado como un módulo para acelerar la 
convergencia de cálculos de difusión al nivel de la barra de combustible. 
 
El conjunto de tests realizados con ANDES muestran una alta tasa de convergencia con 
respecto al refinamiento de la malla de un código basado en la formulación ACMFD. 
En general, para geometría Cartesiana, con 1x1 nodos por elemento combustible, el 
error absoluto en Keff  está por debajo de 50 pcm y el máximo error en potencia por 
elemento combustible no supera el 1%; con 2x2 nodos por elemento combustible estos 
valores decrecen hasta las 2 pcm y el 0.2%. Destaca en este sentido el hecho de que la 
formulación de ANDES logra (con 2x2 nodos por elemento combustible) un nivel de 
precisión para el que un esquema de diferencias finitas en malla fina requeriría 68×68 
celdas por elemento combustible. 
 
Respecto al tiempo de cálculo, se ha constatado que se mantiene proporcional al número 
de incógnitas del problema (nodos x nº de grupos de energía). 
   
Agradecimientos 
Este trabajo ha sido parcialmente financiado por la Comisión Europea bajo el sexto 
programa marco dentro del proyecto integrado NURESIM “European Platform for 
Nuclear Reactor Simulations”, con número de contrato 516560 (FI6O). El trabajo del 
primer autor forma parte del contenido de su tesis doctoral y ha sido cofinanciado por el 
citado proyecto europeo y por la Universidad Politécnica de Madrid, dentro del 
programa UPM de becas de doctorado cofinanciadas por proyectos de I+D+i europeos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referencias 
 
Aragonés, J.M., Ahnert, C., García-Herranz, N., 2007. The Analytic Coarse-Mesh 
Finite-Difference Method for Multigroup and Multidimensional Diffusion 
Calculations. Nucl. Sci. Eng. 157, 1-15. 
Cacuci, D.G., Aragonés J.M., Bestion, D., Coddington, P., Dada, L., Chauliac, C., 
“NURESIM: A European Platform for Nuclear Reactor Simulation”, Proc. FISA 
2006, Comisión Europea, Luxemburgo, 13-16 de Marzo, 2006. 
Calvin, C., 2005. DESCARTES: A New Generation System for Neutronic Calculations. 
Proc. Int. Conf. on Mathematics and Computation, M&C-2005, Avignon, France. 
Chao, Y.A., 1999. A Theoretical Analysis of the Coarse Mesh Finite Difference 
Representation in Advanced Nodal Methods, in Mathematics and Computation, 
Reactor Physics and Environmental Analysis in Nuclear Applications, J.M. 
Aragonés (Ed.), Vol. 1, 117-126, Senda Ed., Madrid. 
Chao, Y.A., 2000. Coarse Mesh Finite Difference Methods and Applications, in Reactor 
Physics and Mathematics and Computation into the Next Millennium, PHYSOR-
2000, Vol.1, 9404, Am. Nuclear Soc., Pittsburgh. 
Finnemann, H., Galati, A., 1991. NEACRP 3-D LWR Core Transient Benchmarks. 
Final Specifications, OECD/NEACRP-L-335, Oct. 1991.  
Fraikin, R., 1997. PWR Benchmark on Uncontrolled Rods Withdrawal at Zero Power. 
Final Report, NEA/NSC/DOC(96)20, Sept. 1997. 
Herrero J.J., Ahnert C., Aragonés J.M., 2007, “3D Whole Core Fine Mesh Multigroup 
Diffusion calculations by Domain Decomposition through Alternate Dissections”, 
M&C/SNA-2007, Am. Nucl. Soc. Monterrey. California. EE.UU. 
Ivanov, K.N., Beam, T.M., Irani, A., Trikouros, N., 1999. Pressurized Water Reactor 
Main Steam Line Break (MSLB) Benchmark. Volume I: Final Specifications, 
NEA/NSC/DOC(99)8, Apr. 1999. 
Jiménez J., Cuervo D., Aragonés J.M., 2007 “Multi-scale and Multi-physics coupling in 
COBAYA3”, NURETH-12, Pittsburg, EE.UU. 
Kozlowski, T., Downar, T., 2003. OECD/NEA and U.S. NRC PWR MOX/UO2 core 
transient benchmark. Final Specifications, Revision 2, NEA/NSC/DOC(2003)20, 
Dec. 2003. 
Lozano, J.A., Aragonés, J.M., García-Herranz, N., 2007, “Development and 
Performance of the Analytic Nodal Diffusion Solver ANDES in Multigroups for 
3D Rectangular Geometry”, M&C/SNA-2007, Am. Nucl. Soc. Monterey. 
Lozano J.A., Aragonés J.M., García-Herranz N., 2008, “Transient Analysis in the 3D 
Nodal Kinetics and Thermal-Hydraulics ANDES/COBRA coupled system”, 
PHYSOR-2008, Interlaken, Suiza, 14-19 de Septiembre. 
 


El código nodal analítico ANDES para difusión en geometría 3D y multi-grupos: Desarrollo y Resultados

La necesidad de métodos computacionales cada vez más exactos para la simulación de los fenómenos físicos presentes en los reactores nucleares actuales y futuros, requiere una aproximación multi-escala y multi-física. Este reto puede ser realizado mediante el acoplamiento de códigos best-estimate de neutrónica y termo-hidráulica. Con este objetivo, la tendencia actual en el campo de simulación de reactores es el desarrollo de una nueva generación de herramientas que sean fáciles de usar, modulares, intercambiables y de esta manera, integrables en plataformas comunes. Estas son las premisas que dieron lugar al proyecto integrado NURESIM dentro del 6º Programa Marco de la Unión Europea (Cacuci et al., 2006). En el marco de este proyecto se ha desarrollado y validado un código nodal de difusión tridimensional en multi-grupos llamado ANDES (Analytic Nodal Diffusion Equation Solver)(Lozano et al., 2007). El código ANDES resuelve la ecuación de difusión neutrónica en geometría Cartesiana (LWR) o geometría Triangular-Z (VVER, HTGR, SFR) en tres dimensiones y multigrupos de energía. Para ello utiliza el método Analítico en Malla Gruesa y Diferencias Finitas (ACMFD) (Aragonés et al., 2007) para obtener las ecuaciones de acoplamiento nodal. Esta metodología, originalmente introducida por Y.A. Chao (Chao, 1999, 2000) para la ecuación de difusión estacionaria ha sido extendida para la ecuación cinética (Lozano et al., 2008), lo que permite no sólo el cálculo de estados estacionarios, sino también de transitorios originados por un cambio en las condiciones neutrónicas o termohidráulicas. Para la simulación de transitorios, así como de estacionarios a potencia, se ha llevado a cabo el acoplamiento de ANDES con el código termohidráulico COBRA (Jiménez et al., 2007). Es destacable el gran esfuerzo realizado en dotar al código de una estructura que lo convierta en una herramienta fácilmente integrable, lo que ha permitido la integración del mismo en nuestro código 3D de celda COBAYA3 (Herrero et al., 2007), así como en la nueva plataforma DESCARTES (Calvin et al., 2005)

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http://oa.upm.es/44368/1/INVE_MEM_2008_239825.pdf

El código nodal analítico ANDES para difusión en geometría 3D y multi-grupos: Desarrollo y Resultados

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