La necesidad de obtener nuevos productos, reducir los costos de los procesos fermentativos, reutilizar ciertas sustancias orgánicas que surgen como desechos industriales y buscar formas alternativas de tratar compuestos toxicos son algunas de las motivaciones para el desarrollo de los llamados procesos multi-sustrato. El concepto de proceso multi-sustrato se refiere a crecimiento microbiano en el que dos o mas nutrientes afectan notablemente la tasa de crecimiento. Esos nutrientes pueden cumplir la misma función en el metabolismo celular, por ejemplo fuentes de carbono, o diferentes funciones, como es el caso de una fuente de carbono, una de nitrógeno, etc.
En el caso de los procesos semi-continuos debe definirse un perfil temporal adecuado para el flujo de alimentación ya que debe evitarse la sobre-alimentación del cultivo. Para esto, se han desarrollado propuestas que incluyen realimentación de variables fisicoquímicas, leyes precalculadas en base a un modelo, y leyes con realimentación de variables no medibles mediante el uso de observadores. En el caso de alimentarse dos nutrientes, estos suelen ser incorporados al medio de cultivo ya sea en una única solución o mediante flujos separados. Cuando se aplican flujos por separado, se encuentran estrategias que son adaptaciones de las utilizadas con un único sustrato limitante y también leyes de realimentación proporcionales a la biomasa total.
En un trabajo previo, se estudio la posibilidad de incorporar, en una ley de alimentación proporcional a la cantidad de biomasa, una estimación de la tasa de crecimiento total en procesos con cinética aditiva. En el presente trabajo, se pretende evaluar esas leyes de alimentación en procesos donde existe un efecto de inhibición en la tasa de crecimiento debido a la posible competitividad entre los sustratos.Publicado en Terceras Jornadas de Investigación, Transferencia y Extensión. La Plata : Universidad Nacional de La Plata, 2015.Facultad de Ingenierí

De Battista, Hernán

Garelli, Fabricio

Nuñez, Sebastián

El Servicio de Difusión de la Creación Intelectual

3ras Jornadas ITE - 2015 -Facultad de Ingeniería - UNLP
REGULACION DEL CRECIMIENTO EN BIOPROCESOS CON TASA DE 
CRECIMIENTO ADITIVA E INHIBICION COMPETITIVA ENTRE SUSTRATOS
Nuñez, Sebastián; De Battista, Hernán; Garelli, Fabricio
CONICET y Grupo de Control Aplicado, Instituto LEICI, Dto. de Electrotecnia, Fac. de Ing., UNLP,
Calle 48 esq. 116 s/n, La Plata, Buenos Aires. 
sebastian.nuniez@ing.unlp.edu.ar
Palabras clave: proceso biotecnológico, control, regulación 
INTRODUCCIÓN
La necesidad de obtener nuevos productos, reducir los costos de los procesos fermentativos, 
reutilizar ciertas sustancias organicas que surgen como desechos industriales y buscar formas 
alternativas de tratar compuestos toxicos son algunas de las motivaciones para el desarrollo de 
los llamados procesos multi-sustrato. El concepto de proceso multi-sustrato se refiere a creci­
miento microbiano en el que dos o mas nutrientes afectan notablemente la tasa de crecimiento. 
Esos nutrientes pueden cumplir la misma funcion en el metabolismo celular, por ejemplo fuen­
tes de carbono, o diferentes funciones, como es el caso de una fuente de carbono, una de 
nitrogeno, etc. [1].
En el caso de los procesos semi-continuos debe definirse un perfil temporal adecuado para 
el flujo de alimentacion ya que debe evitarse la sobre-alimentacion del cultivo. Para esto, se 
han desarrollado propuestas que incluyen realimentacion de variables fisicoquímicas, leyes 
precalculadas en base a un modelo, y leyes con realimentacion de variables no medibles me­
diante el uso de observadores [2]. En el caso de alimentarse dos nutrientes, estos suelen ser 
incorporados al medio de cultivo ya sea en una unica solución [3] o mediante flujos separados 
[4]. Cuando se aplican flujos por separado, se encuentran estrategias que son adaptaciones 
de las utilizadas con un unico sustrato limitante [4, 5, 6] y tambien leyes de realimentacion 
proporcionales a la biomasa total [7].
En un trabajo previo, se estudio la posibilidad de incorporar, en una ley de alimentacion pro­
porcional a la cantidad de biomasa, una estimacion de la tasa de crecimiento total en procesos 
con cinetica aditiva [8]. En el presente trabajo, se pretende evaluar esas leyes de alimentacion 
en procesos donde existe un efecto de inhibicion en la tasa de crecimiento debido a la posible 
competitividad entre los sustratos.
MODELO DEL PROCESO
A partir del balance de masas en el biorreactor puede encontrarse el modelo de estados que 
describe la evolucion temporal de las principales variables [9]. Para el caso del cultivo semi­
continuo alimentado mediante dos entradas individuales (por ejemplo dos fuentes de carbono),
280 Departamento de Electrotécnia 2015 - Año Internacional de la Luz
3ras Jornadas ITE - 2015 -Facultad de Ingeniería - UNLP
y la tasa de consumo específica de cada sustrato resulta ai =  ^ /yi, con yi el rendimiento 
sustrato a biomasa correspondiente [10].
El efecto de inhibicion competitiva puede explicarse si se considera que los caminos metaboli- 
cos por los cuales se consumen los sustratos pueden competir por cierta enzima intermedia 
y de este modo es posible que ocurra un efecto de inhibicion. Un modelo muy aceptado para 
describir este fenomeno es el modelo generalizado de Monod [10]. En este modelo, las tasas 
individuales estan descriptas por
(3)
donde Ai es un parametro que mide el efecto competitivo sobre la tasa de crecimiento i . 
Cuando si y s2 son nutrientes perfectamente sustituibles, los Ai toman los valores particu­
lares A i =  ks i/ks2 y A2 =  A- i  [10]. El principal efecto de los parametros Ai es que la tasa
de crecimiento i-esima en la mezcla de sustratos sea menor que la que se observaría en 
los sustratos por separado. Si bien esto reduce el valor de las tasas individuales, la tasa de 
crecimiento neta es la suma de los terminos individuales y de esta manera es posible obte­
ner una tasa de crecimiento mayor. El modelo (3) es utilizado, entre otras aplicaciones, para 
representar procesos de biodegradacion de sustancias toxicas [11].
DISENO DE LA LEY DE CONTROL
Al igual que en los procesos alimentados con una sola fuente de carbono, ciertos objetivos 
biotecnologicos pueden expresarse en terminos de regulacion de variables y/o seguimiento de 
perfiles temporales. Para procesos multi-sustrato se han identificado los siguientes objetivos:
■ la regulacion de la tasa de crecimiento total en un valor predefinido p =  p ref , el cual 
es compatible con el estado metabolico deseado o bien es optimo para el proceso de 
produccion. Este objetivo se traduce en el seguimiento de un perfil exponencial de la 
forma X *(t) =  x 0v0eXref *, siendo el producto X (t) =  xv la cantidad de biomasa en el 
medio de cultivo [5].
■ la regulacion de la tasa de crecimiento manteniendo una determinada relacion de sus­
tratos si /s 2 o de las tasas de crecimiento individuales p i /p 2. Este objetivo se debe a 
que las propiedades de ciertos productos estan fuertemente relacionadas con alguno de 
estos cocientes. Un ejemplo se da en procesos de produccion de biopolímeros, donde la 
composicion de los monomeros se relaciona con el cociente de las fuentes de carbono
[12].
281 Departamento de Electrotécnia 2015 - Año Internacional de la Luz
se tienen las siguientes expresiones
(la)
(lb)
(lc)
(ld)
(2)
donde x, s1 y s2 son concentraciones de biomasa y sustratos (g/L), v el volumen de trabajo y 
Fi (L/h) las entradas de los sustratos si en concentración S(i)in. La tasa de crecimiento es ^ 
y ai representa la tasa de consumo del sustrato i. En este trabajo se estudia el problema de 
alimentar dos nutrientes en procesos con crecimiento aditivo donde la tasa de crecimiento total 
es
3ras Jornadas ITE - 2015 -Facultad de Ingeniería - UNLP
Los objetivos descriptos guardan una estrecha relacion entre sí y podrían resolverse manipu­
lando adecuadamente los flujos de alimentacion del biorreactor. Por esta razon se considera 
que el objetivo de la alimentacion aplicada al proceso semi-continuo (1) es regular la tasa de 
crecimiento en un valor d ref  = d ir + d2r . De esta manera, la trayectoria nominal deseada es la 
de crecimiento exponencial, donde la cantidad de biomasa total evoluciona segun
X  *(t) =  X0V0 e^ f * . (4)
Si se dispone de medicion en línea de biomasa y volumen puede aplicarse flujos de la forma
F i = Xir xv, (5)
donde Air > 0 es un coeficiente de proporcionalidad que depende del modelo del proceso [7]. 
Tambien puede incorporarse realimentacion proporcional no lineal de la forma
Fi = A ir (1 + ke)xv, (6)
con e = d ref- ^ . Esta expresion agrega una correccion sobre el parametro Air con el objetivo de 
aumentar la velocidad de convergencia y reducir el error de regulacion ante incertidumbre en 
los parametros del proceso. La estimacion de d requerida en la expresion (6) puede obtenerse 
a partir de las mediciones de biomasa y volumen utilizando un observador. El objetivo de 
aplicar la ley de alimentacion es que la concentracion de sustrato si evolucione hacia un valor 
de referencia sir tal que di (sir) = dir .
Ahora, con el objetivo de analizar las propiedades de convergencia se realiza el cambio de 
variables dr/dt =  x(t). Luego, dada la ley de alimentacion Fi = Airxv aplicada al modelo (1),
dsila linealizacion de las expresiones si =  =  fi alrededor de si = sir resulta en
‘ dr
con i , j  e {1 ,2 }, i =  j. Luego, en funcion de los parametros del proceso y el punto de operacion 
requerido, los autovalores de la matriz (7) se obtienen a partir del polinomio característico 
p (0  =  C2 +  aiC +  a2 , donde los coeficientes resultan ai = j n  + j'22, a2 = ji i j '22 -  j i 2.j2i . 
Por inspeccion de (8) y (9) puede determinarse que ai >  0 mientras que la positividad de a2 
puede corroborarse realizando el calculo correspondiente. Luego, por el criterio de Routh, el 
polinomio característico es estable. Este analisis permite concluir que localmente el flujo de 
alimentacion Fi =  Airxv hace que (s ir,s 2r) sea un punto de equilibrio estable. Para esta ley 
de alimentacion tambien puede realizarse un analisis global en el plano si -  s2 analizando la 
evolucion de las trayectorias [13]. En caso de utilizarse la ley de alimentacion (6) con k >  0, 
los coeficientes de la matriz (7) resultan
282 Departamento de Electrotécnia 2015 - Año Internacional de la Luz
(7)
(8)
(9)
(10)
( l la )
( l lb )
3ras Jornadas ITE - 2015 -Facultad de Ingeniería - UNLP
Figura 1: Evolución temporal de las variables con k = 10 (línea negra), k = 0 (línea gris). Arriba: 
estados del proceso. Abajo-Izq: Tasas de crecimiento pi , p2 y p =  Mi + p2. Abajo-Der: Ganancias 
aplicadas en Xi .
Nótese que en + d—2 (evaluado en s =  (s1r, s2r)) uno de los sumandos es positivo
OSi OSi OSi
y el otro negativo (ver (9)-(10)). Luego, si uno de los terminos mencionados resultase nega­
tivo en el punto de operacion seleccionado, no podría concluirse a priori que los ai resulten 
positivos para cualquier valor de k. De todas maneras, dado un punto de operación definido 
por las concentraciones de sustrato deseadas, es factible encontrar valores de k > 0 tal que 
localmente, (s1r,s2r) sea un punto de equilibrio estable.
RESULTADOS Y DISCUSION
Los parametros utilizados con el modelo (1)-(3) son - max1 =  0,5 h- 1, ks1 =  0,5 g/L, y1 = 2,1 g/g, 
- max2 =  0,5 h- 1, ks2 = 0,5 g/L, y2 = 2 g/g y S(i)in =  20 g/L. Como condicion inicial del proceso 
semi-continuo se considera x0 = 5 g/L, v0 = 1 L, s10 = 0,07 g/L y s20 = 0,02 g/L. El objetivo 
es regular la tasa de crecimiento -  en el valor - ref = 0,20 h- 1 con una relacion entre valores 
de referencia - 1r/ - 2r = 1,5. Esta condicion junto con los parámetros del proceso definen las
283 Departamento de Electrotécnia 2015 - Año Internacional de la Luz
3ras Jornadas ITE - 2015 -Facultad de Ingeniería - UNLP
ganancias Xir [7]. La estimacion de la tasa de crecimiento, requerida para la implementacion 
de (6), se realizo con un observador por modo deslizante de segundo orden basado en la 
medicion de biomasa y volumen [14]. Ese algoritmo es capaz de alcanzar una estimacion de 
ft con convergencia en tiempo finito.
En la parte superior de la Figura 1 se presenta la evolucion temporal de los estados, donde 
se aprecia la convergencia de los sustratos a los valores de referencia (sir). En la parte infe­
rior se exhibe la respuesta temporal de las tasas de crecimiento obtenidas con las leyes de 
alimentacion descriptas en (5) y (6). Puede apreciarse que ambos flujos permiten regular el 
crecimiento en el valor deseado. Comparativamente, la ley con realimentacion de ft (ec. (6)) 
permitio aumentar la velocidad de convergencia. De hecho, la convergencia practica de ft al 
valor de referencia 0,2 h-1 se redujo a la mitad de tiempo. El efecto de la realimentacion pro­
puesta consistio en modificar los flujos aplicados durante las primeras horas del proceso con 
el objetivo de alcanzar mas rápidamente el valor de ft deseado (ver los Ai en la Figura 1).
La Figura 2 muestra los resultados obtenidos ante un error en el parametro A2r de -20 %. Esta 
variacion puede atribuirse a un cambio en el rendimiento y2 no considerado en el calculo de 
A2r. Notese en la Figura 2 que en los dos casos se modifica el valor alcanzado por ft2 y que 
la regulacion de la tasa total ft presenta menor variacion respecto de ftref cuando se aplica la 
expresion (6). En este caso, si bien no es posible regular el valor de ft1 y ft2 en los valores de 
referencia deseados, es posible reducir el error de regulacion de ft.
CONCLUSIONES
En este trabajo se evaluaron leyes de alimentacion exponencial para cultivos semi-continuos 
multi-sustrato con cinetica de crecimiento aditiva. Se concluyo que con los flujos propuestos el 
punto de operacion resulta localmente asintoticamente estable. La inclusion de la realimenta­
cion de ft permitio mejorar la velocidad de convergencia y reducir los errores ante variacion en 
los parametros. El principal argumento para incorporar una estimacion de ft en la ley de ali- 
mentacion es que en la actualidad se dispone de diversos algoritmos robustos de estimacion 
de tasa de crecimiento. Ademas, la utilizacion de observadores con convergencia en tiempo 
finito no afecta el análisis de estabilidad una vez superado el modo de alcance.
284 Departamento de Electrotécnia 2015 - Año Internacional de la Luz
Figura 2: Evolución temporal de las tasas de crecimiento ante un error en X2r de -20 %: con k = 10 
(línea negra), k = 0 (línea gris).
3ras Jornadas ITE - 2015 -Facultad de Ingeniería - UNLP
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo fue financiado por proyectos de la Agencia Nacional de Promoción Científica y
Tecnológica (PICT 2012-0037), CONICET (PIP 112-2011-01-00361) y la Universidad Nacional
de La Plata (Proyecto 11/I164).
REFERENCIAS
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[14] S. Nunez, H. De Battista, F Garelli, A. Vignoni, and J. Pico, "Second-order sliding mode 
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285 Departamento de Electrotécnia 2015 - Año Internacional de la Luz


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Regulación del crecimiento en bioprocesos con tasa de crecimiento aditiva e inhibición competitiva entre sustratos

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3ras Jornadas ITE - 2015 -Facultad de Ingeniería - UNLPREGULACION DEL CRECIMIENTO EN BIOPROCESOS CON TASA DE CRECIMIENTO ADITIVA E INHIBICION COMPETITIVA ENTRE SUSTRATOSNuñez, Sebastián; De Battista, Hernán; Garelli, FabricioCONICET y Grupo de Control Aplicado, Instituto LEICI, Dto. de Electrotecnia, Fac. de Ing., UNLP,Calle 48 esq. 116 s/n, La Plata, Buenos Aires. sebastian.nuniez@ing.unlp.edu.arPalabras clave: proceso biotecnológico, control, regulación INTRODUCCIÓNLa necesidad de obtener nuevos productos, reducir los costos de los procesos fermentativos, reutilizar ciertas sustancias organicas que surgen como desechos industriales y buscar formas alternativas de tratar compuestos toxicos son algunas de las motivaciones para el desarrollo de los llamados procesos multi-sustrato. El concepto de proceso multi-sustrato se refiere a creci­miento microbiano en el que dos o mas nutrientes afectan notablemente la tasa de crecimiento. Esos nutrientes pueden cumplir la misma funcion en el metabolismo celular, por ejemplo fuen­tes de carbono, o diferentes funciones, como es el caso de una fuente de carbono, una de nitrogeno, etc. [1].En el caso de los procesos semi-continuos debe definirse un perfil temporal adecuado para el flujo de alimentacion ya que debe evitarse la sobre-alimentacion del cultivo. Para esto, se han desarrollado propuestas que incluyen realimentacion de variables fisicoquímicas, leyes precalculadas en base a un modelo, y leyes con realimentacion de variables no medibles me­diante el uso de observadores [2]. En el caso de alimentarse dos nutrientes, estos suelen ser incorporados al medio de cultivo ya sea en una unica solución [3] o mediante flujos separados [4]. Cuando se aplican flujos por separado, se encuentran estrategias que son adaptaciones de las utilizadas con un unico sustrato limitante [4, 5, 6] y tambien leyes de realimentacion proporcionales a la biomasa total [7].En un trabajo previo, se estudio la posibilidad de incorporar, en una ley de alimentacion pro­porcional a la cantidad de biomasa, una estimacion de la tasa de crecimiento total en procesos con cinetica aditiva [8]. En el presente trabajo, se pretende evaluar esas leyes de alimentacion en procesos donde existe un efecto de inhibicion en la tasa de crecimiento debido a la posible competitividad entre los sustratos.MODELO DEL PROCESOA partir del balance de masas en el biorreactor puede encontrarse el modelo de estados que describe la evolucion temporal de las principales variables [9]. Para el caso del cultivo semi­continuo alimentado mediante dos entradas individuales (por ejemplo dos fuentes de carbono),280 Departamento de Electrotécnia 2015 - Año Internacional de la Luz3ras Jornadas ITE - 2015 -Facultad de Ingeniería - UNLPy la tasa de consumo específica de cada sustrato resulta ai =  ^ /yi, con yi el rendimiento sustrato a biomasa correspondiente [10].El efecto de inhibicion competitiva puede explicarse si se considera que los caminos metaboli- cos por los cuales se consumen los sustratos pueden competir por cierta enzima intermedia y de este modo es posible que ocurra un efecto de inhibicion. Un modelo muy aceptado para describir este fenomeno es el modelo generalizado de Monod [10]. En este modelo, las tasas individuales estan descriptas por(3)donde Ai es un parametro que mide el efecto competitivo sobre la tasa de crecimiento i . Cuando si y s2 son nutrientes perfectamente sustituibles, los Ai toman los valores particu­lares A i =  ks i/ks2 y A2 =  A- i  [10]. El principal efecto de los parametros Ai es que la tasade crecimiento i-esima en la mezcla de sustratos sea menor que la que se observaría en los sustratos por separado. Si bien esto reduce el valor de las tasas individuales, la tasa de crecimiento neta es la suma de los terminos individuales y de esta manera es posible obte­ner una tasa de crecimiento mayor. El modelo (3) es utilizado, entre otras aplicaciones, para representar procesos de biodegradacion de sustancias toxicas [11].DISENO DE LA LEY DE CONTROLAl igual que en los procesos alimentados con una sola fuente de carbono, ciertos objetivos biotecnologicos pueden expresarse en terminos de regulacion de variables y/o seguimiento de perfiles temporales. Para procesos multi-sustrato se han identificado los siguientes objetivos:■ la regulacion de la tasa de crecimiento total en un valor predefinido p =  p ref , el cual es compatible con el estado metabolico deseado o bien es optimo para el proceso de produccion. Este objetivo se traduce en el seguimiento de un perfil exponencial de la forma X *(t) =  x 0v0eXref *, siendo el producto X (t) =  xv la cantidad de biomasa en el medio de cultivo [5].■ la regulacion de la tasa de crecimiento manteniendo una determinada relacion de sus­tratos si /s 2 o de las tasas de crecimiento individuales p i /p 2. Este objetivo se debe a que las propiedades de ciertos productos estan fuertemente relacionadas con alguno de estos cocientes. Un ejemplo se da en procesos de produccion de biopolímeros, donde la composicion de los monomeros se relaciona con el cociente de las fuentes de carbono[12].281 Departamento de Electrotécnia 2015 - Año Internacional de la Luzse tienen las siguientes expresiones(la)(lb)(lc)(ld)(2)donde x, s1 y s2 son concentraciones de biomasa y sustratos (g/L), v el volumen de trabajo y Fi (L/h) las entradas de los sustratos si en concentración S(i)in. La tasa de crecimiento es ^ y ai representa la tasa de consumo del sustrato i. En este trabajo se estudia el problema de alimentar dos nutrientes en procesos con crecimiento aditivo donde la tasa de crecimiento total es3ras Jornadas ITE - 2015 -Facultad de Ingeniería - UNLPLos objetivos descriptos guardan una estrecha relacion entre sí y podrían resolverse manipu­lando adecuadamente los flujos de alimentacion del biorreactor. Por esta razon se considera que el objetivo de la alimentacion aplicada al proceso semi-continuo (1) es regular la tasa de crecimiento en un valor d ref  = d ir + d2r . De esta manera, la trayectoria nominal deseada es la de crecimiento exponencial, donde la cantidad de biomasa total evoluciona segunX  *(t) =  X0V0 e^ f * . (4)Si se dispone de medicion en línea de biomasa y volumen puede aplicarse flujos de la formaF i = Xir xv, (5)donde Air > 0 es un coeficiente de proporcionalidad que depende del modelo del proceso [7]. Tambien puede incorporarse realimentacion proporcional no lineal de la formaFi = A ir (1 + ke)xv, (6)con e = d ref- ^ . Esta expresion agrega una correccion sobre el parametro Air con el objetivo de aumentar la velocidad de convergencia y reducir el error de regulacion ante incertidumbre en los parametros del proceso. La estimacion de d requerida en la expresion (6) puede obtenerse a partir de las mediciones de biomasa y volumen utilizando un observador. El objetivo de aplicar la ley de alimentacion es que la concentracion de sustrato si evolucione hacia un valor de referencia sir tal que di (sir) = dir .Ahora, con el objetivo de analizar las propiedades de convergencia se realiza el cambio de variables dr/dt =  x(t). Luego, dada la ley de alimentacion Fi = Airxv aplicada al modelo (1),dsila linealizacion de las expresiones si =  =  fi alrededor de si = sir resulta en‘ drcon i , j  e {1 ,2 }, i =  j. Luego, en funcion de los parametros del proceso y el punto de operacion requerido, los autovalores de la matriz (7) se obtienen a partir del polinomio característico p (0  =  C2 +  aiC +  a2 , donde los coeficientes resultan ai = j n  + j'22, a2 = ji i j '22 -  j i 2.j2i . Por inspeccion de (8) y (9) puede determinarse que ai >  0 mientras que la positividad de a2 puede corroborarse realizando el calculo correspondiente. Luego, por el criterio de Routh, el polinomio característico es estable. Este analisis permite concluir que localmente el flujo de alimentacion Fi =  Airxv hace que (s ir,s 2r) sea un punto de equilibrio estable. Para esta ley de alimentacion tambien puede realizarse un analisis global en el plano si -  s2 analizando la evolucion de las trayectorias [13]. En caso de utilizarse la ley de alimentacion (6) con k >  0, los coeficientes de la matriz (7) resultan282 Departamento de Electrotécnia 2015 - Año Internacional de la Luz(7)(8)(9)(10)( l la )( l lb )3ras Jornadas ITE - 2015 -Facultad de Ingeniería - UNLPFigura 1: Evolución temporal de las variables con k = 10 (línea negra), k = 0 (línea gris). Arriba: estados del proceso. Abajo-Izq: Tasas de crecimiento pi , p2 y p =  Mi + p2. Abajo-Der: Ganancias aplicadas en Xi .Nótese que en + d—2 (evaluado en s =  (s1r, s2r)) uno de los sumandos es positivoOSi OSi OSiy el otro negativo (ver (9)-(10)). Luego, si uno de los terminos mencionados resultase nega­tivo en el punto de operacion seleccionado, no podría concluirse a priori que los ai resulten positivos para cualquier valor de k. De todas maneras, dado un punto de operación definido por las concentraciones de sustrato deseadas, es factible encontrar valores de k > 0 tal que localmente, (s1r,s2r) sea un punto de equilibrio estable.RESULTADOS Y DISCUSIONLos parametros utilizados con el modelo (1)-(3) son - max1 =  0,5 h- 1, ks1 =  0,5 g/L, y1 = 2,1 g/g, - max2 =  0,5 h- 1, ks2 = 0,5 g/L, y2 = 2 g/g y S(i)in =  20 g/L. Como condicion inicial del proceso semi-continuo se considera x0 = 5 g/L, v0 = 1 L, s10 = 0,07 g/L y s20 = 0,02 g/L. El objetivo es regular la tasa de crecimiento -  en el valor - ref = 0,20 h- 1 con una relacion entre valores de referencia - 1r/ - 2r = 1,5. Esta condicion junto con los parámetros del proceso definen las283 Departamento de Electrotécnia 2015 - Año Internacional de la Luz3ras Jornadas ITE - 2015 -Facultad de Ingeniería - UNLPganancias Xir [7]. La estimacion de la tasa de crecimiento, requerida para la implementacion de (6), se realizo con un observador por modo deslizante de segundo orden basado en la medicion de biomasa y volumen [14]. Ese algoritmo es capaz de alcanzar una estimacion de ft con convergencia en tiempo finito.En la parte superior de la Figura 1 se presenta la evolucion temporal de los estados, donde se aprecia la convergencia de los sustratos a los valores de referencia (sir). En la parte infe­rior se exhibe la respuesta temporal de las tasas de crecimiento obtenidas con las leyes de alimentacion descriptas en (5) y (6). Puede apreciarse que ambos flujos permiten regular el crecimiento en el valor deseado. Comparativamente, la ley con realimentacion de ft (ec. (6)) permitio aumentar la velocidad de convergencia. De hecho, la convergencia practica de ft al valor de referencia 0,2 h-1 se redujo a la mitad de tiempo. El efecto de la realimentacion pro­puesta consistio en modificar los flujos aplicados durante las primeras horas del proceso con el objetivo de alcanzar mas rápidamente el valor de ft deseado (ver los Ai en la Figura 1).La Figura 2 muestra los resultados obtenidos ante un error en el parametro A2r de -20 %. Esta variacion puede atribuirse a un cambio en el rendimiento y2 no considerado en el calculo de A2r. Notese en la Figura 2 que en los dos casos se modifica el valor alcanzado por ft2 y que la regulacion de la tasa total ft presenta menor variacion respecto de ftref cuando se aplica la expresion (6). En este caso, si bien no es posible regular el valor de ft1 y ft2 en los valores de referencia deseados, es posible reducir el error de regulacion de ft.CONCLUSIONESEn este trabajo se evaluaron leyes de alimentacion exponencial para cultivos semi-continuos multi-sustrato con cinetica de crecimiento aditiva. Se concluyo que con los flujos propuestos el punto de operacion resulta localmente asintoticamente estable. La inclusion de la realimenta­cion de ft permitio mejorar la velocidad de convergencia y reducir los errores ante variacion en los parametros. El principal argumento para incorporar una estimacion de ft en la ley de ali- mentacion es que en la actualidad se dispone de diversos algoritmos robustos de estimacion de tasa de crecimiento. Ademas, la utilizacion de observadores con convergencia en tiempo finito no afecta el análisis de estabilidad una vez superado el modo de alcance.284 Departamento de Electrotécnia 2015 - Año Internacional de la LuzFigura 2: Evolución temporal de las tasas de crecimiento ante un error en X2r de -20 %: con k = 10 (línea negra), k = 0 (línea gris).3ras Jornadas ITE - 2015 -Facultad de Ingeniería - UNLPAGRADECIMIENTOSEste trabajo fue financiado por proyectos de la Agencia Nacional de Promoción Científica yTecnológica (PICT 2012-0037), CONICET (PIP 112-2011-01-00361) y la Universidad Nacionalde La Plata (Proyecto 11/I164).REFERENCIAS[1] M. Zinn, B. Witholt, and T Egli, "Dual nutrient limited growth: models, experimental ob­servations, and applications,” Journal of Biotechnology, vol. 113, no. 1 - 3, pp. 263-279,2004.[2] J. Lee, S. Y Lee, S. Park, and A. P Middelberg, "Control of fed-batch fermentations,” Biotechnology Advances, vol. 17, no. 1, pp. 2 9 -4 8 , 1999.[3] M. C. d’Anjou and A. 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Regulación del crecimiento en bioprocesos con tasa de crecimiento aditiva e inhibición competitiva entre sustratos

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