Bonfiglioli, Andrea

Almae Matris Studiorum Campus

Foglio 13 - Serie reali

Esercitazioni di Analisi Matematica 1  Prof. A. BonfiglioliSerie RealiI Esercizio 1. Utilizzando anche eventualmente il criterio del confronto, stabilire se le seguentiserie convergono oppure no:1.Xn(sinn)2016npn[converge]2.Xn(log n)2016n[non converge]3.Xn(log n)2016npn[converge]4.Xnn(log n)1974[non converge]5.Xnnn+ 1[non converge]6.Xnnn+ 13[non converge]7.Xnlog nn3[converge]8.Xnlognn+pn+ 1[non converge]9.Xn1log n[non converge]10.Xnlog npn[non converge]11.Xnlog3 nn[non converge]Per quali di esse è vericata la condizione necessaria di convergenza? [1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11]I Esercizio 2. Utilizzando eventualmente il criterio del confronto asintotico, stabilire se leseguenti serie convergono oppure no:1.Xn(pn+ 1 pn) [non converge]2.Xnpn+ 1 pnn[converge]3.Xn3 + sinnn2 + 2pn+ cos(1=n)[converge]4.Xn3 + sinn2pn+ cos(1=n)[non converge]15.Xnn+ log3(n)n2 + cos(n)[non converge]6.Xnn1974 + log3(n)en + cos(n)[converge]7.Xnn+ 1002n3 + log n+ 1000[converge]8.Xn3pnpn2 + n+ 2[non converge]9.Xn32+n2n+14n[converge]10.Xnlogn2 + 3pnn2 + 4[converge]11.Xnsin( 1n)n[converge]12.Xnsin( 1pn)pn[non converge]13.Xnpn sinnsin1n2[converge assolutamente, usare anche il crit. del confronto]14.Xne1=n   1pn[converge]15.Xnn sin(1=n2) [non converge]16.Xnn sin(1=n3) [converge]17.Xn2 + nn2 + n+ 1[non converge]I Esercizio 3. Utilizzando eventualmente il criterio del rapporto, stabilire se le seguenti serieconvergono oppure no:1.Xnn!n3nn[converge]2.Xnnnn!n3[non converge]3.Xn1n![converge]4.Xn3n+5pnn![converge]5.Xnn!n2 3n[non converge]26.Xn(pn)npn![non converge]I Esercizio 4. Utilizzando eventualmente il criterio della radice, stabilire se le seguenti serieconvergono oppure no:1.Xn5nn5 22n[non converge]2.Xnn5 22n5n[converge]3.Xn2nnn2[converge]I Esercizio 5. Utilizzando eventualmente il criterio di Leibniz, stabilire se le seguenti serieconvergono oppure no e se c'è convergenza assoluta oppure no:1.Xn( 1)n1 + n+pn[converge ma non assolutamente]2.Xn( 1)nn2 + sinn[converge assolutamente; non serve Leibniz]3.Xn( 1)nn!n3nn[converge assolutamente; non si riesce ad applicare Leibniz!]4.Xn( 1)nlog n[converge ma non assolutamente]5.Xn( 1)n e1=n [non converge; non serve Leibniz]6.Xn( 1)n sin(1=n) [converge ma non assolutamente]7.Xn( 1)n 2nn![converge assolutamente; non serve Leibniz]8.Xn( 1)n log npn[converge ma non assolutamente]9.Xn( 1)n log3 nn[converge ma non assolutamente]10.Xn( 1)n (2 + n)n2 + n+ 1[converge ma non assolutamente]11.Xn( 1)n 2n + n53n + cosn[converge assolutamente; non serve Leibniz]12.1Xn=1( 1)n n3n6 + 1[converge assolutamente; non serve Leibniz]3I Esercizio 6. Riconoscere che, per tutte le seguenti serie, né il criterio della radice né il criterio delrapporto rapporto danno risposte:1.Xn1n,Xnn+ 1n2 + 7[non convergono]2.Xn1n2,Xnn+ 1n3 + 7[convergono]Per quali di esse è vericata la condizione necessaria di convergenza? [tutte!]I Esercizio 7. Trovare per quali valori del parametro  > 0 risultano convergenti le seguenti serie1.Xn(1 + log)n [e 2 <  < 1]2.Xnn log 1 + 1n3n5 + n+ 5[ < 7]3.Xnn + 5qn15 + log5(n+ 1)[0 <  < 13=2]4.Xnn6 + ( 1)nn3 +pnsin1n[ > 7]5.Xnsin7n5pn+ n[ > 1=2]6.Xnsin1n + 2n5 + n[ > 0]7.Xnsin1n + 24pn3 + n[ > 1=4]8.Xn1  cos   1n n3[ >  1]9.Xn1  cos   1n n4[ >  3=2]10.Xn1  cos   1n n5[ >  2]11.Xnsin1n53pn2 + 1[ > 1=15]12.Xnsin1n54pn2 + 1[ > 1=10]13.Xnsin1n55pn2 + 1[ > 3=25]414.Xnsin1n56pn2 + 1[ > 2=15]15.Xnpn+ 1 pnn  3pn [ > 1=6]16.Xnpn+ 1 pnn  4pn [ > 1=4]17.Xnpn+ 1 pnn  5pn [ > 3=10]18.Xnpn+ 1 pnn  6pn [ > 1=3]5

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