Negrini, Paolo

Almae Matris Studiorum Campus

svolgimento compito 31 maggio 2016

 1 Elementi di Analisi Matematica e Ricerca Operativa – prova del 31 maggio 2016 1) Discutere il seguente problema di Programmazione Lineare:  Trovare il massimo di p x1, x2( ) = 3x1 ! x2  con i vincoli xk ! 0 1" k " 2( )  e   !2x1 + x2 "1x1 ! 3x2 " 3!x1 + x2 " 2#$%&% Svolgimento.  Siccome tutte e tre le relazioni sono in forma di disuguaglianza, introduciamo le variabili “di scarto” x3 ! 0, x4 ! 0, x5 ! 0  e riscriviamo il sistema nella forma  !2x1 + x2 + x3 = 1x1 ! 3x2 + x4 = 3!x1 + x2 + x5 = 2"#$%$     cioè     x j Ajj=15& = B  dove gli Aj  sono le colonne della matrice dei coefficienti e B la colonna dei termini noti. Scegliamo come base di  A* = !3 , l’insieme  B1 = A3, A4,A5{ } . Si costruisce allora la prima tabella del simplesso come segue:  A1 A2 A3 A4 A5 Bxv1 = x3 cv1 = c3 = 0 !2 1 1 0 0 1xv2 = x4 cv2 = c4 = 0 1 !3 0 1 0 3xv3 = x5 cv3 = c5 = 0 !1 !1 0 0 1 2!3 1 0 0 0 0z1 ! c1( ) z2 ! c2( ) z3 ! c3( ) z4 ! c4( ) z5 ! c5( ) z( ) Siccome z1 ! c1 < 0  e almeno uno degli  !!,1  è positivo, bisogna operare la “trasformazione pivotale” facendo entrare nella base il vettore A1  al posto di uno di quelli presenti. Soltanto !2,1 = 1  è positivo, quindi il criterio di uscita è immediato e fa uscire Av2 = A4  La trasformazione pivotale avviene operando sulle righe della matrice della tabella in modo che le colonne della base canonica figurino, nell’ordine, in corrispondenza di A3, A1, A5 .  Con semplici calcoli si ottiene la nuova tabella del simplesso relativa alla base  B2 = A3, A1, A5{ } :  A1 A2 A3 A4 A5 Bxv1 = x3 cv1 = c3 = 0 0 !5 1 2 0 7xv2 = x1 cv2 = c1 = 3 1 !3 0 1 0 3xv3 = x5 cv3 = c5 = 0 0 !2 0 1 1 50 !8 0 3 0 9z1 ! c1( ) z2 ! c2( ) z3 ! c3( ) z4 ! c4( ) z5 ! c5( ) z( ) Si nota che z2 ! c2 = !8 < 0 , e che tutti i coefficienti  !!,2  sono negativi.  Siamo dunque nella “situazione b”, la quale implica che la funzione oggetto è superiormente illimitata nella regione ammissibile, quindi il problema di determinarne il massimo non ha soluzione. 2) Poniamo, se  ! "D !( ) ,  T ,! = "1( )n"1n #! n( )n$!% .  a) Dimostrare che T è una distribuzione, cioè che è ben definita per ogni  ! "D !( ) , è lineare e continua.  b) Verificare che T è dispari.  2 Svolgimento. a) T è ben definita perché se  ! "D !( )  allora il supporto di !  è compatto, quindi solo un numero finito di numeri interi n sta nel supporto di ! ; allora la somma che definisce T ,!  contiene in effetti un numero finito di addendi.  La linearità di T è evidente.  Infine, fissato un compatto  K ! ! , sia  M = max n ; n!!"K{ } .  Allora per ogni  ! "D !( )  con supp! " K  si ha:   T ,! " n # ! n( )n$!%K& "max ! x( ) ; x $K{ } # nn$!%K& " M 2M +1( )max ! x( ) ; x $K{ } . L’ultima disuguaglianza si spiega così: ciascun  n!!"K  ha il valore assoluto ! M ; gli interi  n!!"K  stanno tutti tra –M e M, quindi ce ne sono al massimo 2M +1.  Perciò T soddisfa la condizione equivalente alla continuità, ed è quindi una distribuzione. b) T è dispari perché se  ! "D !( )  allora   T !x( )," x( ) = T x( )," !x( ) = !1( )n!1n #" !n( )n$!% = ! !1( )!m!1m #" m( )m$!% == ! !1( )m!1m #" m( )m$!% = ! T x( )," x( ) . Si noti che !1( )!m!1 = !1( )m!1  perché le due espressioni differiscono per il fattore !1( )2m  che vale 1. 3) Sia  f :!! !  una funzione continua tale che  limx!+"f x( ) = limx!#"f x( ) = !$" , ed esista  x0 !!  tale che  f x0( ) = m > ! .  Dimostrare che esiste  x1 !!  tale che  f x1( ) ! f x( )" x #! , ossia che f ha massimo. Svolgimento.  Poniamo  ! = 12 m " !( ) .  Per definizione di limite esiste S > 0  tale che se x > S  allora  f x( )! ! < " , e in particolare  f x( ) < !+ ! = !+12 m " !( ) = m " ! ; se ne deduce fra l’altro, poiché f x0( ) = m , che x0 ! "S,S[ ] .  In tale intervallo, per il Teorema di Weierstrass, f ha massimo M, cioè esiste x1 ! "S,S[ ]  tale che M = f x1( ) ! f x( )" x # $S,S[ ] .  Siccome x0 ! "S,S[ ] , è M ! m > m " # , perciò  f x1( ) ! f x( )" x #! , come si voleva dimostrare.   4) Sia f x( ) = x2 ln xln 4 ! x( ) , definita nel suo dominio naturale.  a) Determinare il valore (finito o infinito) di  ! = limx!3+f x( ) , motivando la risposta.  b) Verificare secondo la definizione di limite che  limx!3+f x( ) = !  determinato sopra. Svolgimento. a) Poiché limx!3+x2 ln x = 9 ln3> 0  e limx!3+ln 4 " x( ) = 0  e ln 4 ! x( ) < 0  per 3< x < 4 , risulta  ! = !" . b) Si deve verificare che  ! M > 0 " # > 0,! x x $ 3,4] [% 3,3+ #] [& f x( ) < 'M( ) .  3 Se x ! 3,4] [  allora x2 ln x > 0  e ln 4 ! x( ) < 0 ; conviene scrivere la disuguaglianza x2 ln xln 4 ! x( ) < !M  nella forma x2 ln x! ln 4 ! x( ) > M , perché in questo modo il numeratore e il denominatore della frazione al primo membro sono positivi.  Inoltre x2 ln x > 9 ln3 , quindi x2 ln x! ln 4 ! x( ) >9 ln3! ln 4 ! x( ) .  La disuguaglianza desiderata, cioè x2 ln x! ln 4 ! x( ) > M , sarà quindi soddisfatta se risulterà (non “solo se”, ma non importa) 9 ln3! ln 4 ! x( ) > M .  Questa equivale a ! ln 4 ! x( ) < 9 ln3M  cioè ln 4 ! x( ) > !9 ln3M , cioè 4 ! x > e! 9ln3M  e infine x < 4 ! e!9ln3M .  Siccome per ogni M > 0  è 0 < e!9ln3M <1 , l’intervallo 3 , 4 ! e!9ln3M"#$%  è un intorno destro di 3 nel quale è soddisfatta la disuguaglianza f x( ) < !M , quindi la verifica è riuscita. 5) Dare un esempio di una funzione  g: 0,2[ ]! !  derivabile in tutto il dominio tranne un numero finito di punti, e tale che !g x( ) = x  in tutti i punti in cui g è derivabile, ma per la quale si abbia g 2( )! g 0( ) " x dx02# . Svolgimento.  La relazione g 2( )! g 0( ) " x dx02#  con g avente le proprietà dette sopra può valere soltanto se g ha qualche punto di discontinuità.  Per esempio g x( ) =12 x2         se  0 ! x !112 x2 " 2  se  1< x ! 2#$%&% soddisfa quanto richiesto, essendo derivabile, con !g x( ) = x  in ogni x ! 2 , e g 2( )! g 0( ) = 0 " 2 = x dx02# . 6) Un tizio acquista un’automobile del costo di 30000€, se pagata in contanti; altrimenti gli viene proposto un pagamento rateale consistente in tre rate: 10000€ subito, 11000€ tra un anno, 11000€ tra due anni.  Calcolare il tasso d’interesse del finanziamento proposto. Svolgimento.  Il tasso i del finanziamento è tale che sia uguale a 30000€ il valore attuale al tasso i del complesso delle tre rate in cui avviene il pagamento, cioè, indicato con v = 11+ i  il coefficiente di sconto, sia  30000 = 10000 +11000 v +11000 v2  cioè 11v2 +11v ! 20 = 0  da cui (interessa soltanto la soluzione positiva) v = !11+ 121+ 88022 " 0.938  da cui i = 1v !1" 0.066  cioè 6.6%. 

http://campus.unibo.it/236806/1/ARO20160531sol.pdf

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