Apontamento sobre a construção de métricas com simetria esférica em fibrados vectoriais riemannianos sobre variedades riemannianas

Albuquerque, Rui

Repositório Científico da Universidade de Évora

Da geometria dos fibrados vectoriais commétricas esfericamente simétricasRui AlbuquerqueUniversidade de Évora e Università di Torinoe-mail: rpa@uevora.ptResumo:Apontamento sobre a construção de métricas com simetria esférica emfibrados vectoriais riemannianos sobre variedades riemannianas.Abstract:A note on the construction of metrics with spherical symmetry on Rie-mannian vector bundles over Riemannian manifolds.palavras-chave: fibrado vectorial; conexão métrica.keywords: fibre bundle; metric connection.1 Geometria dos fibrados vectoriaisÉ bem conhecido que os fibrados vectoriais pi : E −→ M são também vari-edades diferenciáveis. Com efeito, as aplicações de trivialização induzem asnecessárias cartas, do mesmo grau de diferenciabilidade sobre as intersec-ções. Em cada fibra pi−1(x) = Ex, x ∈ M , tais cartas são ainda aplicaçõeslineares, pelo que se pode identificar naturalmente TeEx com Ex. Ou seja,T (Ex) = Ex × Ex e, mais ainda, pode-se verificar que V := ker dpi ⊂ TEcoincide com o subfibrado tangente às fibras, pelo que em suma V ' pi∗E.Por outro lado, tem-se a sucessão exacta de fibrados vectoriais sobre E0 −→ V −→ TE dpi−→ pi∗TM −→ 0 . (1)Dada uma conexão DE : Γ(M ;E) −→ Γ(M ;T ∗M ⊗ E), esta permite-nos construir um subespaço dito horizontal HDE ⊂ TE complementar dovertical V, que se identifica por sua vez com pi∗TM por via de dpi. AssimobtemosTE = HDE ⊕ V ' pi∗TM ⊕ pi?E . (2)Desde logo E admite um campo vectorial tautológico ξ, vertical por na-tureza e definido como ξe = e ∈ V, ∀e ∈ E. Tal campo parece variar apenasao longo das fibras de E; com efeito, em m := dimM direcções horizontaisEncontro Nacional da SPM 2014, Geometria e Topologia, pp. 1-42 Fibrados vectoriais esfericamente simétricosnão varia de todo. Não desvirtuando quaisquer definições canónicas, temoso subespaço horizontal e projecçãoHDE = kerpi?DE· ξ pi?DEY ξ = Y, ∀Y ∈ V . (3)Fazemos agora nova suposição, a de a variedadeM estar munida de umaconexão linear ∇M , ou seja, uma conexão definida no fibrado tangente deM . Respeitando as projecções e isomorfismos indicados em (2), obtém-se deimediato, bem definida, uma conexão linear sobre a variedade E. Admitimosassim que D? = pi∗∇M ⊕ pi?DE está definida em TE.A seguinte proposição pode-se provar em duas linhas, apenas com o quejá se introduziu. Mas por ser tão fundamental em tudo o que segue optamospor um retorno às cartas. Sendo RDEo tensor de curvatura de DE ,RDE(X,Y )e = DEXDEY e−DEYDEXe−DE[X,Y ]e , ∀X,Y ∈ TM , (4)notamos Rξ o tensor definido por Rξ(X,Y ) = pi?RDE(X,Y )ξ, ∀X,Y ∈ TE,o qual como se espera provém da curvatura de pi?DE .Proposição 1.1. A torsão de D? verificaTD? = pi∗T∇M⊕ Rξ . (5)Demonstração. Tomemos um carta x = (x1, . . . , xm) num aberto U de Me um referencial {eα}α=1,...,k de E no mesmo domínio, onde k é o ranquede E. Escrevamos os símbolos de Christoffel ∇M∂i∂j = ΓM,hij ∂h e DE∂ieα =ΓE,βiα eβ, com as convenções usuais. Temos em particular uma carta (x, y)em pi−1(U) ' U × Rk que permite escrever ξ = yαpi?eα ' yα∂α. Derivandoξ na direcção de um qualquer vector X = Xi∂i + Y α∂α tangente a E,encontramos a decomposição (2) de X:X = (Xi∂i −XiyαΓE,βiα ∂β) + (XiyαΓE,βiα + Y β)∂βOu seja os vectores pi∗∂i := ∂i− yαΓE,βiα ∂β formam em cada ponto uma basede HDE e os vectores ∂β = pi?eβ uma base de V. Obviamente dpi(∂j) = ∂j .Queremos provar que D?XY −D?YX − [X,Y ] = Rξ(X,Y ) — aceitemosdesde logo que ∇M tem torsão nula, pois o caso geral é pouco mais compli-cado. Primeiro,D?∂j∂i = pi∗∇M∂jpi∗∂i + pi?DE∂j (yαΓE,βiα ∂β)= ΓM,hji pi∗∂h + yα(∂ΓE,γiα∂xj+ ΓE,βiα ΓE,γjβ)∂γ .Encontro Nacional da SPM 2014, Geometria e Topologia, pp. 1-4Rui Albuquerque 3Como ∇M é simétrica, ΓM,hji = ΓM,hij , resulta em mais uma linha queTD?(∂i, ∂j) = Rξ(∂i, ∂j). De facto, o tensorRξ é nulo se alguma das entradasfor vertical. Deixa-se ao cuidado do leitor a demonstração das igualdadesD?∂i∂α = D?∂α∂i = ΓE,βiα ∂β e D?∂α∂β = 0que permitem finalmente concluir o resultado em geral.Vemos assim uma interpretação da torsão como expressão da curvatura,ou vice-versa, fenómeno comum da geometria diferencial como teoria si-multâneamente una e plena de ubiquidades. A introdução de tensores ederivadas covariantes permite fazer o estudo da geometria de E de formaavançada, independente de coordenadas, focada em novas estruturas globais.2 Métricas esfericamente simétricasContinuando a tomar (E,DE ) da secção anterior, suponhamos que o fibradovectorial E vem ainda munido de uma métrica gE ∈ Γ(M ;S2E∗), definidapositiva, com a qual a conexão dada é compatível, isto é, DEgE = 0, esuponhamos que a variedade base M é uma variedade riemanniana commétrica gM . Podemos então introduzir uma estrutura pseudo-riemannianagM,E sobre E respeitando a decomposição (2) e escrevendogM,E = e2ϕ1pi∗gM ⊕±e2ϕ2pi?gE (6)onde ϕ1, ϕ2 ∈ C∞E (R) são duas quaisquer funções escalares em E. Cha-mamos métrica esfericamente simétrica aquela em que ϕ1, ϕ2 dependemapenas de um parâmetro, a saber, o raio-quadrado r = r(e) = ‖e‖2E, ∀e ∈ E.No caso das definidas positivas, tais métricas foram introduzidas emformulação geral em [3] (não encontramos outra referência), no seguimentode outros estudos de exemplos concretos por vários geómetras ([1, 2, 4, 5])e conhecidos físicos como [6].Como r = ‖ξ‖2E, resulta que dr(X) = 2〈ξ, pi?DEXξ〉E = 2〈ξ,X〉E (no-tamos e.g. 〈X,Y 〉M = pi∗gM (Xh, Y h)). Usando a conexão de Levi-Civitaprovinda da métrica gM , pode-se construir D?. Obtemos uma conexão mé-trica D˜ = D? + C, com a mesma torsão, somando certo tensor simétricoCXY = a(ξ[(X)Y h + ξ[(Y )Xh)++ c1〈X,Y 〉M ξ + c2〈X,Y 〉Eξ + b(ξ[(X)Y v + ξ[(Y )Xv).(7)O seguinte teorema generaliza [3, Theorem 1.1] ao caso pseudo-riemanniano.Encontro Nacional da SPM 2014, Geometria e Topologia, pp. 1-44 Fibrados vectoriais esfericamente simétricosTeorema 2.1. D˜ é uma conexão métrica (D˜ gM,E = 0) se e só sea = 2ϕ′1 c1 = ∓2ϕ′1e2(ϕ1−ϕ2) b = 2ϕ′2 = −c2 . (8)Finalmente a conexão de Levi-Civita de gM,E coincide com∇M,EX Y = D?XY + CXY ±AXY −12Rξ(X,Y ) (9)onde A é o tensor definido para o caso riemanniano em [3].Como exemplo das métricas esfericamente simétricas recordamos a cons-trução de Bryant-Salamon sobre E = Λ2−T ∗M −→ M4, de holonomia nãosó contida mas igual ao grupo de Lie excepcional G2 quando M = S4 ouCP2. A métrica é definida porgM,E =√2c˜20sr + c˜1 pi∗gM ⊕c˜20√2c˜20sr + c˜1pi?gE (10)onde c˜0, c˜1 > 0 e s = ScalgM /12. Em [2] mostram-se outras métricas G2semelhantes. Aqui deixamos em perspectiva o estudo do caso de holonomiaG˜2 dos split-octoniões, associada a métrica de assinatura (3, 4).(Investigação financiada parcialmente pelos fundos FEDER, programa COMPETE,através da FCT Projecto PTDC/MAT/118682/2010.)Referências[1] M. T. K. Abbassi and M. Sarih, “On natural metrics on tangent bundlesof Riemannian manifolds”, Arch. Math. (Brno), Tom. 41 (2005), 71–92.[2] R. Albuquerque, “Self-duality and associated parallel or cocalibratedG2 structures”, arXiv:math.DG/1401.7314v2, 17 pp.[3] R. Albuquerque, “On vector bundle manifolds with spherically symme-tric metrics”, arXiv:math.DG/1411.5952v1, 31 pp.[4] L. Bérard Bergery, “Quelques exemples de variétés riemanniennes com-plètes non compactes à courbure de Ricci positive”, C. R. Acad. Sci.Paris, Sér. I Math. Vol. 302 (1986), 4, pp. 159–161.[5] R. L. Bryant e S. Salamon, “On the construction of some completemetrics with exceptional holonomy”, Duke Math. Journ., Vol. 58(3),(1989), pp. 829–850.[6] G. W. Gibbons, D. N. Page e C. N. Pope, “Einstein metrics on S3, R3and R4 bundles”, Comm. Math. Physics Vol. 127 (1990), no. 3, 529–553.Encontro Nacional da SPM 2014, Geometria e Topologia, pp. 1-4

Da geometria dos fibrados vectoriais com métricas esfericamente simétricas

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