Bilash, O. V.

Білаш, О. В.

Electronic archive of Ternopil National Ivan Puluj Technical University

Матеріали V Міжнародної науково-технічної конференції молодих учених та студентів.  Актуальні задачі сучасних технологій – Тернопіль 17-18 листопада 2016.  34 УДК 539.3  О.В. Білаш, канд. екон. наук  Національна академія сухопутних військ імені Петра Сагайдачного, Україна    ЗГИН ПЛАСТИНИ ЗІ ЩІЛИНОЮ ЗА НАЯВНОСТІ ПЛАСТИЧНИХ ЗОН У ЇЇ ВЕРШИНАХ   O.V. Bilash Ph.D.  BEND OF PLATE WITH SLIT IN THE PRESENCE OF PLASTIC ZONES IN ITS TOPS  В роботі досліджена задача про визначення напружено-деформованого стану ізотропної пластини завтовшки h2 , основи якої вільні від зовнішнього навантаження, з наскрізною прямолінійною щілиною завдовжки l2  за двобічного згину її моментами на нескінченності, вектори яких паралельні і перпендикулярні до берегів щілини, а у її вершинах наявні пластичні зони, де виконуються умови пластичності Треска у вигляді умови пластичності поверхневого шару чи умови пластичного шарніру і де діють сталі згинальні моменти 0M  [1]. Береги щілини вільні від зовнішнього навантаження, а її розміри такі, що її береги в процесі згину не контактують (див. рис.1).                Рис. 1. Схема навантаження пластини  та розміщення щілини  де значками "+" і " − " позначено граничне значення відповідної величини при 0±→y , −yM  згинальний момент, −yN  перерізувальна сила, −xyH крутний момент. При розв’язуванні задачі скористаємося класичною теорією згину пластин, ввівши при цьому комплексні потенціали )(zΦ  і )(zΩ  та скориставшись залежностями [2] [ ])()()()(~)(0zzzzzкmPiciMzy Φ′−−Ω+Φ=∂+′+ ∫ εε ,                                   (2) [ ])()~()~()(~)( zzzzzziux Φ′−+Ω−Φ−=+∂ ν , де −∂+= xyy HNxP )(  узагальнена у сенсі Кірхгофа перерізувальна сила; u  і −v  компоненти вектора переміщення на осі Ox  і Oy ; −′c невідома стала; )1( υ−−= Dm , У серединній площині пластини виберемо декартову систему координат zOxy~  з початком у центрі тріщини, направивши вісь Ox  по ній, а вісь zO~  перпендикулярно до площини. Лінію осі Ox , де розміщена щілина, позначимо через L , пластичні зони – через 1L , їх довжину і кінці через ∆ , d−  та d  відповідно.  Згідно формулювання задачі маємо такі крайові умови  0=±yM , 0=±yN , 0=±xyH , Lx∈ ;  0MM y =± , 0=±yN , 0=±xyH , 1Lx∈ , (1) Матеріали V Міжнародної науково-технічної конференції молодих учених та студентів.  Актуальні задачі сучасних технологій – Тернопіль 17-18 листопада 2016.  35 )1()3(~ υυ ++=к , ( )( )23 132 υ−= EhD ; υ  і −E  відповідно коефіцієнт Пуассона і модуль Юнга матеріалу пластини; iyxz += , 12 −=i , x  і −y  координати точки; xx ∂∂=∂ . На основі першої залежності (2) і крайніх умов (1) отримано задачі лінійного спряження для визначення комплексних потенціалів )(zΦ  і )(zΩ ,  [ ] [ ] 0)()(~)()(~ =Ω−Φ−Ω−Φ −+ xxкxxк , 1LLx +∈ ; ∈∈= ′−Ω+Φ+ ′−Ω+Φ−+.,2,,0)()(~)()(~0 LxmMLxmcixxкmcixxк  розв’язавши які в класі функцій, обмежених у вершинах пластичних зон, та врахувавши поведінку функцій )(zΦ  і )(zΩ  на нескінченності [2], одержимо  ( ) ( ) mMMDММкzкz xyху 2)1(4))(1~()(~)( ∞∞∞∞ −++−++Φ=Ω υ ,              (3) ∫−−−−=′−Ω+Φ1)()()(~22220L zxxddxmdzMmcizzкπ                          (4) Врахувавши поведінку потенціалів )(zΦ  і )(zΩ  на нескінченності [2], з (4) отримаємо ( ) ( ) ∫−=′−−+++−− ∞∞∞∞12202)1(4))(1~(LxyхуxddxmMmcimMMDММкπυ .  (5) Прирівнявши в (5) дійсну і уявні частини, одержимо 0=′c , ))2(sec( 0MMlb y∞= π . Для числового аналізу задачі подамо зведену довжину пластичної зони l∆=ε  та зведене розходження берегів щілини на нижній основі у вершині щілини )()(~yк lE σδδ = , використавши умову пластичності Треска у вигляді умови пластичності поверхневого шару [1] 1)2)~(sec −= σπε , ))3(()1ln()1(8~υπευδ +++= ; або умови пластичного шарніру [1] 1)3)~(sec −= σπε , ))3(()1ln()1(12~υπευδ +++= , де )2(3~ 2 Yy hM σσ∞= , −−∂= ∫ −+ dxldxк )( ννδ  розходження берегів щілини у її вершині l ; Yσ −  межа текучості матеріалу пластини. Зауважимо, що згинальний момент на нескінченності хМ∞  не впливає ні на довжину пластичної зони, ні на розкриття у вершині щілини при використанні таких умов пластичності. Проведено числовий аналіз ε  і δ~ від значення зведеного максимального згинального напруження по безмежності σ~ , який показав, що довжина пластичної зони та розходження берегів щілини у її вершині є більші з використанням умови пластичності Треска, ніж умови пластичного шарніру.  Література 1.Кушнір Р.М. Пружний та пружно-пластичний граничний стан оболонок з дефектами [текст] / Р.М. Кушнір, М.М. Николишин, В.А. Осадчук. – Львів: Вид-во “Спалом”, 2003. – 319 с. 2. Пругов И.А. Метод сопряжения в теории плит [текст] / И.А. Пругов. – Минськ: Изд-во Белорус. ун-та, 1975. – 256 с. 

Bend of plate with slit in the presence of plastic zones in its tops

http://elartu.tntu.edu.ua/bitstream/123456789/18654/2/ConfATMT_2016vI_Bilash_O_V-Bend_of_plate_with_slit_34-35.pdf

Bend of plate with slit in the presence of plastic zones in its tops

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic archive of Ternopil National Ivan Puluj Technical University