В работе исследуется задача Коши для линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с обобщенными коэффициентами в алгебре мнемофункций. Доказывается теорема существования и единственности решения соответствующей задачи в дифференциалах в алгебре мнемофункций. Находятся ассоциированные решения этой задачи и изучаются их свойства. 

Библиогр. – 9 назв

Автушко, Т. С.

Belarusian State Pedagogical University Repository

Весці БДПУ. Серыя 3. 2014. № 224 Матэматыка 25УДК 512.628Т.С. Автушко,аспирант кафедры функционального анализа БГУЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ОБОБЩЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В АЛГЕБРЕ МНЕМОФУНКЦИЙВведение. В работе исследуется зада-ча Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения m-го порядка с обобщенными коэффициентами ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( )12 112310,0 ,0 , 0 ,,0 ,m mmmmy t a t y ta t y t a t y t f ty cy cy cy c--′ ′′ ′+ + …′+′ ′+ + + == = =… =′        (1)где [ ]∈ = 0,t bT , ∈ →, ,  , :i ic b f a T  – непре-рывные справа функции ограниченной вариа-ции, f′, ai′ – их обобщенные производные,   .1,i m=C помощью формальной заменыX t y t X t y t X t y tmm1 21( ) = ( ) ( ) = ′( ) ( ) = ( )−( ), , ... ,задачу (1) перепишем в виде системы m диф-ференциальных уравнений первого порядка, которая в матричном виде запишется так: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0, , 0 .                               X t L t X t F t tX X′ ′ ′ = + ∈ =T          (2)Здесь   ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )10 1, 1, , ,, , ,, 0, 1,, 1,1, 1, 2,  , 1, ,  0,0, ,0,,,TmTmmij i jijmj jTX t X t X tX c cL t L ti jL tt i ji m j mL t a t j mF t f t== …= … =  ≠ -= = -= - == - == … -Т – знак транспонирования.Рассматриваемая задача является некор-ректной, поскольку может содержать произ-ведение обобщенных функций. На данный момент существует несколько способов трак-товки решений таких классов дифференци-альных уравнений (см., например, [1–4]). В данной работе задача Коши (1) иссле-дуется в прямом произведении алгебр мне-мофункций. Общая конструкция таких алгебр была предложена в статье [5]. Задаче (2) ста-вится в соответствие задача в дифференциа-лах, исследуется вопрос существования и един-ственности решения этой задачи в алгебре мне-мофункций, находятся и исследуются ассоции-рованные решения. Подобные вопросы были исследованы в работе [6] для линейного диф-ференциального уравнения второго порядка с обобщенными коэффициентами. Задаче Коши (2) в алгебре мнемофункций поставим в соответствие задачу в дифферен-циалах (см., например, [6]) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( )00,0, ,,h h hhd X t d L t X t d F t t TX X t - - = ∈=                   (3)которая на уровне представителей имеет вид следующей конечно-разностной задачи с осреднением: X t h X tL t h L t X tF t h F tn n nn n n nn n n+( ) − ( ) == +( ) − ( )  ( ) ++ +( ) − ( )  ∈( ) = ( ) ), ,| ,[ ,t TX t X tn h nn0 0            (4)где ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )1 1  0 0 0, 100 0 0 , .., ,, , , 0, 1,,  , 1,1, 1, 2,, 1, ,  0, , ,  * ,,* , ,, Tmn n nTmn n nmn nn ij iji jn nmj jTn n n nnn i i i ii i n niX t X t X tX t X t X ti jL t L t L tt i ji m j mL t a t j mF t f t f t f tt n n ta t a t t n n tn=== …≠ - = =   = -= - == - == … - = ρρ = γ ρ γ= ρ ρ = γ ρ γγ( ) ( )[ ] ( )10 при ,  0,  , 0, , sup 0,1 , 1.n i mC p s ds∞→ ∞ → ∞ =ρ ≥ ρ ∈ ρ ρ =∫Рэпазіторый БДПУВесці БДПУ. Серыя 3. 2014. № 224 Матэматыка 25Основные результаты. Здесь и всюду в дальнейшем || · || – норма в n, интегралы и дифференциалы от матричнозначных и век-торнозначных функций берем покоординатно.Теорема 1. Решение задачи (3) суще-ствует и единственно в алгебре мнемофункций тогда и только тогда, когда для любых предста-вителей (Ln), (Xn0), (hn), (Fn) выполняются сле-дующие условия для l = 0, 1, ... при s → +0  ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )0 00 0. l ln n nl lln n n nlln n nld dX h s X sdt dtd L h s L s X sdtd F h s F sdt- - -  - + - -   - + - →  (5)Доказательство этой теоремы прово-дится аналогично доказательству теоремы 1 в работе [6].Замечание 1. Используя следствие 2.1 из работы [7], несложно показать, что, если для любых ai, f : T → , = 1, i m  – непрерывных справа функций ограниченной вариации, ре ше - ние задачи (4) при → ∞ →, 0nn h , ( )γ → ∞ i n  сходится покоординатно в L1(T), то  ( ) ( ) ( )1 1или ,  0, .n ni ih o o h i mn n = = =  γ γ  Поэтому в дальнейшем будем рассматривать именно эти случаи.Теорема 2. Пусть ai, f : T → , = 1, i m  – непрерывные справа функции ограничен-ной ва риации, ( ) ∈,  nX t t T  – решение задачи Коши (4) и  [ )( ) 0 0 , 00,sup 0.nnn n ht hX t X →∞ →∈→-  (6)Тогда при n → ∞, hn → 0 так, что ( ) =  γ 1  inh o n либо ( ) ( )=γ1 ,i no hn =0,i m ( ) ( ) 0, 1,2 ,k mnX t X t dt k- → =∫T            (7)где ( ) =, 1,2k mX t k  – решения уравнений  ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )000 , , ltk c kk kl ltX t X dL s X sL X F t F tµ ≤= + ++ ∆ µ µ - + - ∈∫∑ T (8)µ ∈,l l   – точки разрыва L; a , 1,2k mL k∆ =  при ( )→ ∞ → γ → ∞ , 0, inn h n  имеют вид:  ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )   1 1если и ,1 , , 1, 1, , то,  1 ,;n nm in jkm i l i lkm j l j l m lkm m l m lo h o hn nh o i j m i jnL aL a aL a= =γ γ = = - ≠  γ ∆ µ = -∆ µ∆ µ = -∆ µ - ∆ µ∆ µ = -∆ µ ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )  1 1если и   , 1 , , 1, 1, , то, 1 ,1.m lm ln nm in jkm i l i laj lkmj lm lakm m lh o o hn nh o i j m i jnL aaL eaL e-∆ µ-∆ µ = =  γ γ  = = - ≠  γ ∆ µ = -∆ µ∆ µ∆ µ = -∆ µ∆ µ = -При ( ) 0, m la∆ µ = ( )( ) ( )1 10     0 0    ,     01,2 .kll m lmLa ak- … ∆ µ = … … …  -∆ µ … -∆ µ =Доказательство. Из работы [8] вытека ет, что решения конечно-разностной задачи с оc ред нением (4) сходятся в L1(T) к реше-нию следующих систем интегральных урав-нений  t ∈ T:X t X dL s X sX Xtctl l l ll( ) = + ( ) ( ) ++ −( )( ) − −( )( )( )∫∑≤001 0µϕ µ ϕ µ, , ,       (9)ϕlm m: , ×[ ]→0 1  – решения вспомогательных систем уравненийϕ µ η ϕl lult u t L d s t s, , ,,( ) = + ( ) ( ) −( )( ]∫∆0     (10)где µl – точки разрыва L(t), l ∈ , ∆L lµ( )  – скачок в точке  µl  функции L,( ) ( )( ) ( ) ( )( ), 1, , ,1если иij ijij li j mn js s s L sh on=η = η η = ∆ µ =   γ    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 , если ,ij ij l njs L H s o hnη = ∆ µ - =γ   H(s) – функция Хевисайда.Рэпазіторый БДПУВесці БДПУ. Серыя 3. 2014. № 226 Матэматыка 27Учитывая замечание 1, рассмотрим два случая: ( ) ( ) ( )1 1и .n nm mo h h on n = =   γ γ Пусть ( )( ) ( )1 1иn nm mo h h on n = =   γ γ   для  { } { }1, , 1, , 1 , , i p q m p q∈ … ∪ + … - ≤   ( ) ( ) { }1 для 1, , .ni o h i p qn= ∈ + …γ Тогда систе- ма (10) распишется следующим образом:  ( )( ) ( )( )( ) ( )1111, ,, , ,l l lml l m lX u XX u X- -ϕ µ - = µ -…ϕ µ - = µ -  ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )110011001101100,,,, 1, 1,,, 1 .ml lum l l l lupp l l lupp l l luqq l l luqq l l lumm l l lumm l l lX uX a X s dsa X s dsa X s dH sa X s dH sa X s dsa X s dsa X s dH s++++--ϕ µ - == µ - - ∆ µ ϕ µ - - - … --∆ µ ϕ µ - - --∆ µ ϕ µ - - - - … --∆ µ ϕ µ - - - --∆ µ ϕ µ - - - … --∆ µ ϕ µ - - --∆ µ ϕ µ - - -∫∫∫∫∫∫∫Решая эту систему, получим: если u ∈ [0, 1), тоϕ µ µµ µ µ µlml m ll l p l p lX u Xa X u a X u−( )( ) = −( ) −− ( ) −( ) −…− ( ) −( ) −−,∆ ∆1 1∆ ∆a X u a X uq l q l m l m l+ + − −( ) −( ) −…− ( ) −( )1 1 1 1µ µ µ µ ;если u = 1, тоϕ µ µµ µ µ µlml m ll l m l m lX Xa X a X−( )( ) = −( ) −− ( ) −( ) −…− ( ) −( )− −,11 1 1 1∆ ∆ −− ( ) −( ) − ( ) −( ) −…−− ( ) −( ) − +∆ ∆∆ ∆a X a Xa X am l m l l lp l p l qµ µ µ µµ µ µ[ 1 11 l q lm l m lXa X( ) −( ) −…−− ( ) −( )+− −11 1µµ µ∆ ].Тогда:ϕ µ ϕ µµ µ µlml lmll m l lX Xa a X−( )( ) − −( )( ) == − ( ) − ( )( ) −( ) −…−, ,1 011 1∆ ∆ ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 11 11 1111.p l m l p lp l p l q l q lq l m l q lm l m l m lm l m la a Xa X a Xa a Xa a Xa X+ ++ +- --∆ µ - ∆ µ µ - --∆ µ µ - - … - ∆ µ µ - --∆ µ - ∆ µ µ - --∆ µ - ∆ µ µ - --∆ µ µ -Таким образом, если ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )   1 1 1и , ,, 1, 1, , то,   ,  1 . n n nm i jk km m l m l m i l i lkm j l j l m lo h o h h on n ni j m i jL a L aL a a = = =   γ γ γ = - ≠∆ µ = -∆ µ ∆ µ = -∆ µ∆ µ = -∆ µ - ∆ µ Теперь рассмотрим случай, когда h onn m=( )1γ. Пусть 1γ i nno h( )= ( ) для { } { }1, , 1, , 1 , i p q m p q∈ … + … - ≤∪и h onn i=( )1γ для i p q∈ + …{ }1, , . . Тогда система (10) распишется так:  ( )( ) ( )( )( ) ( )1111, , , , .l l lml l m lX u XX u X- -ϕ µ - = µ -…ϕ µ - = µ -А ϕ µlmlX u−( )( ),  при [ )∈ 0,1u  равны ϕ µ µµ µµ µlml m lp l p lq l q lX u Xa X ua X−( )( ) = −( ) −− ( ) −( ) −…−− ( ) −+ +,∆∆1 1( ) −− ( ) −( ) −( )∫ua X s dsm lulml∆ µ ϕ µ0, , (10)при u = 1  ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )0 11 110,1, . ml lm l l lm l m lmm l l lXX a Xa Xa X s ds- -ϕ µ - =µ - - ∆ µ µ - - … --∆ µ µ - --∆ µ ϕ µ - -∫ (11)Обозначим B a X a Xp l p l q l q l= − ( ) −( ) −…− ( ) −( )+ +∆ ∆1 1µ µ µ µ  и продифференцируем (10), получимϕ µ µ ϕ µlml m l lmlX u a X u B( ) −( )( ) + ( ) −( )( ) =', , .∆Решением этого дифференциального уравнения при [ )∈ 0,1u  будетРэпазіторый БДПУВесці БДПУ. Серыя 3. 2014. № 226 Матэматыка 27 ( )( )( )( )( ) ( ) ( ), 1 .m l m lml la u a um lm lX uB e X ea-∆ µ -∆ µϕ µ - == - - + µ -∆ µПодставим это решение в (11) и вычислим интегралы: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )0 1 1 1,1 1  1 .m l m lml l m ll l m l m la am lm lX Xa X a XB e B e Xa- --∆ µ -∆ µϕ µ - = µ - --∆ µ µ - - … - ∆ µ µ - -- - - + - µ -∆ µТогда: ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )0 11 1 1 111,1 ,0 1 1 1 .m lm lm lm ml l l ll l p l p lq l q l m l m lap lp lm laq lq lm lam lX Xa X a Xa X a Xae Xaae Xae X+ + - --∆ µ++-∆ µ-∆ µϕ µ - - ϕ µ - =-∆ µ µ - - … - ∆ µ µ - --∆ µ µ - - … - ∆ µ µ - +∆ µ+ - µ - + … +∆ µ∆ µ+ - µ - +∆ µ+ - µ -Таким образом, если  ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1и   ,  ,, 1, 1, ,n n nm i jh o o h h on n ni j m i j   = = =      γ γ γ   = - ≠то  ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )   1, ,  1 .m lm lak km m l m i l i laj lkm j lm lL e L aaL ea-∆ µ-∆ µ∆ µ = - ∆ µ = -∆ µ∆ µ∆ µ = -∆ µУтверждение 1. Решения уравнений (8), k m= 12,  существуют и единственны в про-странстве векторнозначных функций, все ко ординаты которого являются непрерывными справа функциями ограниченной вариации.Для доказательства этого утверждения применяется теорема 8.24 из [9].Будем говорить, что функция  ( ) ( ) ( )( )1 , ,TmX t X t X t= …является ассоциированным решением сис -те мы (3), если существуют пред ста вите ли мнемофункций, ia , f , 0iX , =1,i m , для кото-рых решение задачи (4)  ( ) ( ) ( )( )1 , , Tmn n nX t X t X t= …покоординатно в L1(T) сходится к ( ) ( ) ( )( )1 , ,TmX t X t X t= … .Из теоремы 1 и теоремы 2 вытекает Теорема 3. Пусть ai, f: T → ,  1,i m= –  не-  прерывные справа функции ограниченной вари-ации и выполняются условия (5), (6), тогда ассо-циированные решения задачи Коши (3) явля-ются решениями уравнений (8), где , 1,2k mL k∆ =  определяются в теореме 2. Утверждение 2. Пусть ai, f: T → ,  1,i m= – непрерывные справа функции ограниченной вариации, тогда координаты ( ) = -, 1, 1kjX t j m  решений ( ) ( ) ( )( )1 , , ,  , 1,2Tk k k mmX t X t X t t k= … ∈ =Tуравнений (8) абсолютно непрерывны.Доказательство. В матричных интеграль-ных уравнениях (8)  ( ), 1, 1kjX t j m= -  имеют вид  ( ) ( ) ( )10 0 , 1, 1,  1,2 .tk k kj j jmX t X X s dsj m k+= += - =∫ (12)Поскольку ( )kmX t  интегрируемые, что вытекает из утверждения 1, а в уравнениях (12) присутствуют интегралы Лебега с пере-менным верхним пределом, заключаем, что ( ) ∈ = = -, , 1,2 , 1, 1k mjX t t k j mTабсолютно непрерывны.Литература1. Ligeza, J. //	Ann.	Pol.	Math	/	J.	Ligeza.	–	1975.	–	Vol.	31,	№	2.	Р.	115–120.2.	 Завалищин, С.Т. Импульсные	процессы:	модели	и	прило-жения	/	С.Т.	Завалищин,	А.Н.	Сесекин.	–	М.:	Наука,	1991.3.	 Pandit, S.G.	Differential	systems	involving	impulses.	Lect.	Notes	Math	 /	 S.G.	 Pandit,	 S.G.	 Deo.	 –	 Berlin:	 Springer-Verlag,	1982.4.	 Тацiй, Р.М. Узагальненi	квазiдиференцiальнi	рiвняння	/	Р.М.	 Тацiй,	М.Ф.	 Стасюк,	 В.В.	Мазуренко	 [та	 інш.].	 –	Дрогобич:	Коло,	2011.5.	 Антоневич, А.Б. Докл.	 АН	 СССР.	 –	 1991.	 –	 Т.	 318.	 –	№	2.	–	С.	267–270.6.	 Лазакович, Н.В.	 Задача	 Коши	 для	 линейных	 диффе-ренциальных	уравнений	второго	порядка	с	обобщен-ными	 коэффициентами	 в	 алгебре	 мнемофункций	 /	Н.В.	Лазакович,	Т.С.	Автушко	//	Докл.	НАН	Беларуси.	–	2013.	–	Т.	57.	–	№	3.	–	С.	10–16.7.	 Бедюк, Н.В. Стохастические	дифференциальные	урав-нения	 с	 семимартингалами	 в	 алгебре	 обобщенных	случайных	 процессов:	 автореф.	 дис.	 …	 канд.	 физ.-мат.	наук	/	Н.В.	Бедюк.	–	Минск:	БГУ,	2011.	–	19	с.8.	 Лазакович, Н.В. //	Докл.	НАН	Беларуси	 /	Н.В.	Лазакович,	О.Л.	Яблонский,	А.К.	Хмызов.	–	2011.	–	Т.	55.	–	№	2.	–	С.	5–9.9.	 Миллер, Б.М.	 Оптимизация	 динамических	 систем	 с	 им	-	пульсными	управлениями	/	Б.М.	Миллер.	–	М.:	Наука,	2005.SummaryIn this work the Cauchy problem for non-homo-geneous linear differential equations of higher order with generalized coefficients in algebra of mnemo-functions is investigated. Theorem of existence and uniqueness of solutions of the corresponding prob-lem in differentials in the algebra mnemofunctions is proved. Associated solutions of this problem are found and their properties are found.Поступила в редакцию 10.02.2014 г.Рэпзіторый БДПУ

Задача Коши для линейных дифференциальных уравнений высших порядков с обобщенными коэффициентами в алгебре мнемофункций

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Belarusian State Pedagogical University Repository