В статье рассмотрена автономная система Гамильтона шестого порядка . Доказано, что зависимые переменные  в плоскости C имеют подвижные точки ветвления третьего порядка. Других подвижных особых точек решения указанной выше системы не имеют.

Библиогр. – 8 назв

Мататов, В. И.

Пенталь, С. В.

Цвирбут, Ю. В.

Belarusian State Pedagogical University Repository

УДК 517.5В.И. Мататов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений и системного анализа БГУ; С.В. Пенталь, ассистент кафедры прикладной математики и экономической кибернетики БГЭУ; Ю.В. Цвирбут, студент IV курса ММФ БГУО ФУНКЦИЯХ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМОЙ ГАМИЛЬТОНА ШЕСТОГО ПОРЯДКАВведение. Настоящая статья посвяще-на изучению подвижных особых точек решений автономной системы Гамильтона шестого порядка [1–3]. Рассмотрим гамильто-ниан вида = ϕ ϕ ϕ1 2 3( , , )H F , где F – голоморф-ная функция своих аргументов, причем ϕ =α +αϕ =β +βϕ =γ + γ2111 1 2 12 221 2 2 22331 3 2 3, ,  .xx yx yx yyx yСоответствующая система Гамильтона запи шется так:где независимая переменная { }∈ … ∈ ∞∪  1 3, , , . t x yЦелью статьи является исследование си-стемы (1.1)–(1.6) на предмет характера под-вижных особых точек ее решений [4–5].В статьях [6–7] рассмотрены неавтоном-ные системы второго порядка с квадратич-ными нелинейностями. Авторами получены условия однозначности подвижных особых то-чек решений указанных выше систем.Работа [8] посвящена исследованию под-вижных особых точек решений автономной системы Гамильтона двенадцатого порядка в случае, когда промежуточные аргументы га-мильтониана имеют вид: α +α +α γ + γ + γϕ = ϕ =β +β +β δ + δ + δε + ε + εϕ =η +η +ηϕ = α +β ϕ = γ + δ ϕ = ε +η1 1 2 1 0 1 1 2 1 01 21 1 2 1 0 1 1 2 1 01 1 2 1 031 1 2 1 04 4 4 5 5 5 6 6 6,  , , , , . x y x yx y x yx yx yx y x y x yОсновная часть. Из уравнений (1.2) и (1.5)  будем иметьβ= −β22 1 222 2 2.dx xdy yОтсюда получим один из первых интегра-лов системы (1.1)–(1.6), который записывает-ся следующим образомϕ = =β +β2 22 2 21 2 2 2– произвольная постоянная( ).x y C Cx y  (2)Аналогичным образом получим еще два первых интеграла исходной системы:ϕ = =α +α211 11 1 2 1, (3)x Cx y  (3)ϕ = =γ + γ233 31 3 2 3, (4)y Cx y  (4)где С1, C2  – произвольные постоянные.Из соотношения (2)β=− β2 1 222 2 2. (5)C xyx C  (5)Используя равенство (5), дифференциаль-ное уравнение (1.2) запишется так:( ) β= ⋅ ββ +β − β 22 1 22 1 2 3 22 1 21 2 22 2 2Ф , ,  ,dx xC C Cdt C xxx CВесці БДПУ. Серыя 3. 2013. № 4 Матэматыка18 19Рэпазіторый БДПУгде .После упрощения дифференциальное уравнение (1.2) принимает вид:. (6)Разделяя переменные, уравнение (6) мож-но записать следующим образом:где 4C  – произвольная постоянная. Отсюда, используя разложение  β+ = − − −… <  − β β β β 22 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 21  1C x x xx C C C C , будем иметь( )( )+ +…= −β β β3 42 22 1 2 3 42 2 3 32 2 2 2 11Ц , , .3 2x x C C C t CC CОбращая соответствующий степенной ряд [4], получим равенство= − +…132 1 4( )  , (7)x a t C  (7)где  , причем ряд схо-дит ся в кольце < − <40 .t C RИз формул (7) и (5) вытекает, что зависи-мые переменные =2 2 ( )x x t  и =2 2 ( )y y t  имеют в   подвижные точки ветвления третьего по-рядка.Используя первый интеграл (3), диффе-ренциальное уравнение (1.1) можно записать следующим образом:где .Отсюда (8)где 5C  – произвольная постоянная.Из формул (8) и (3) вытекает, что зависи-мые переменные =1 1( )x x t  и =1 1( )y y t  имеют в   подвижные точки ветвления третьего по-рядка.Аналогичным образом устанавливается, что зависимые переменные =3 3 ( )x x t  и =3 3 ( )y y t  имеют в   подвижные точки ветвления тре-тьего порядка. Для этого используется первый интеграл (4), а также дифференциальное уравнение (1.6). Таким образом, справедливо утверждение.Теорема. Зависимые переменные =1 1( )x x t , ( )= = = = =1 1 2 2 2 2 3 3 3 3( ), ( ), , ( ),  ( )y y t x x t y y t x x t y y t  ав-тономной системы Гамильтона (1.1)–(1.6) имеют в   подвижные точки ветвления треть-его порядка.Замечание. Очевидно, что полученная тео-рема имеет место и для аналогичных автоном-ных систем Гамильтона 2-го и 4-го порядка.Промежуточные аргументы гамильтониана в этих случаях таковы:ϕ = ϕ =α +α β +β21 2 21 21 1 2 1 1 2 2 2,   .x x yx y x yПриведем пример автономной системы Га-мильтона 2-го порядка, решения которой имеют подвижные точки ветвления третьего порядка.Пусть гамильтониан некоторой системы = ϕ =+sin sin .xyHx y  Соответствующая система Гамильтона запишется так:Система (9.1)–(9.2) имеет первый инте-грал видаϕ = =+ 1 , (10)xy Cx y  (10)где 1C  – произвольная постоянная.Из равенства (10)=−11 . (11)C xyx C  (11)Используя равенство (11), дифференци-альное уравнение (9.1) запишется следую-щим образом:( )=−2121cos . (12)( )x dxС dtx C  (12)Откуда, используя разложение   = + +… <    −   2 2 32 31 1 1 12 1 ,x x x xx C C C C получим равенство( )( )+ +…= −3 41 22 31 1cos ,3 2x x C t CC Cгде 2C  – произвольная постоянная.Обращая соответствующий степенной ряд [4], будем иметь= − − +…12 331 1 23 cosC ( )  , x C t C   (13)Весці БДПУ. Серыя 3. 2013. № 4 Матэматыка18 19Рэпазіторый БДПУгде ряд сходится в кольце < − <20 .t C R  На ос-новании формулы (13) заключаем, что зави-симая переменная = ( )x x t  имеет в   подвиж-ные точки ветвления третьего порядка.  Поскольку = = − − −…−2121 1 1 C x x xyx C C C (см. (11)), то  зависимая переменная = ( )y y t  также име-ет в   подвижные точки ветвления третьего порядка.Заключение. В статье рассмотрена авто-номная система Гамильтона шестого порядка ∂ϕ∂= ⋅∂ϕ ∂∂ϕ∂= ⋅∂ϕ ∂∂ϕ∂= ⋅∂ϕ ∂∂ϕ∂= − ⋅∂ϕ ∂∂ϕ∂= − ⋅∂ϕ ∂∂ϕ∂= − ⋅∂ϕ ∂1 11 12 22 23 33 31 11 12 22 23 33 3, , , , , ,dx Fdt ydx Fdt ydx Fdt ydy Fdt xdy Fdt xdy Fdt x  где = ϕ ϕ ϕ1 2 3( ,  , )F F  – голоморфная функция своих аргументов, причем ϕ = ϕ = ϕ =α +α β +β γ + γ2231 2 21 2 31 1 2 1 1 2 2 2 1 3 2 3, ,  yx x yx y x y x y . Доказано, что зависимые переменные ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 22 2 3 3 3 3,  ,  ,  , ,  x x t y y t x x ty y t x x t y y t= = == = =  в плоскости   имеют подвижные точки  ветв ления третьего порядка. Других подвижных особых точек решения указанной выше системы не имеют.Литература1. Айзерман, М.А. Классическая механика / М.А. Айзер-ман. – М.: Наука, 1974. – 367 с.2. Мышкис, А.Д. Математика. Специальные курсы / А.Д. Мышкис. – М.: Наука, 1971. – 632 с.3. Ольховский, И.И. Курс теоретической механики для физиков / И.И. Ольховский. – М.: Наука, 1970. – 447 с.4. Голубев, В.В. Лекции по аналитической теории диффе-ренциальных уравнений / В.В. Голубев. – М.; Л.:ГИТТЛ, 1950. – 436 с.5. Еругин, Н.П. Проблема Римана / Н.П. Еругин. – Минск:  Наука и техника, 1982. – 336 с.6. Яблонский, А.И. Об одной системе дифференциаль-ных уравнений без подвижных критических особых точек / А.И. Яблонский // Дифференциальные уравне-ния. – 1966. – Т. 2. – № 6. – С. 752–762.7. Мататов, В.И. К вопросу о подвижных особенностях неавтономной системы двух дифференциальных уравнений с квадратичными нелинейностями / В.И. Ма-татов, О.Н. Тишкевич // Вестник БГУ. – Серия 1. – 2003. – № 6. – С. 108–109.8. Мататов, В.И. О подвижных особых точках решений автономной системы Гамильтона двенадцатого поряд-ка / В.И. Мататов, С.В. Пенталь, Н.В. Реут // Весці БДПУ.  – Сер. 3. – 2011. – № 4. – С. 18–23. SummaryThe article considers Hamilton’s autonomus 6-th order system of the form  ∂ϕ∂= ⋅∂ϕ ∂∂ϕ∂= ⋅∂ϕ ∂∂ϕ∂= ⋅∂ϕ ∂∂ϕ∂= − ⋅∂ϕ ∂∂ϕ∂= − ⋅∂ϕ ∂∂ϕ∂= − ⋅∂ϕ ∂1 11 12 22 23 33 31 11 12 22 23 33 3, , , , , ,dx Fdt ydx Fdt ydx Fdt ydy Fdt xdy Fdt xdy Fdt x  where = ϕ ϕ ϕ1 2 3( ,  , )F F , F  is a holomorphic function of its arguments, and ϕ = ϕ = ϕ =α +α β +β γ + γ2231 2 21 2 31 1 2 1 1 2 2 2 1 3 2 3, ,  yx x yx y x y x y . It has been proved that dependent variables ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 22 2 3 3 3 3,  ,  ,  , ,  x x t y y t x x ty y t x x t y y t= = == = =  in the plane have variable 3-rd order branch points. Other variable special points in the above mentioned system don’t exist.Поступила в редакцию 24.01.2013 г.Весці БДПУ. Серыя 3. 2013. № 4 Матэматыка20 21РэпзіторыйБДПУ

О функциях, определяемых автономной системой Гамильтона шестого порядка

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Belarusian State Pedagogical University Repository