В работе определяется интеграл по случайной мере для гильбертовозначных функций и выводится разложение для гильбертовозначных локальных мартингалов с помощью стохастических интегралов

Лаврентьев, В.В.

Tver State University Repository

ÓÄÊ 519.216.8Î ÑÒÐÓÊÒÓÐÅ ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÎÇÍÀ×ÍÛÕ ÌÀÐÒÈÍÃÀËÎÂËàâðåíòüåâ Â.Â.Ëàáîðàòîðèß ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà,ôàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè,Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà, ÌîñêâàÏîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 08.04.2010, ïîñëå ïåðåðàáîòêè 15.04.2010.Â ðàáîòå îïðåäåëßåòñß èíòåãðàë ïî ñëó÷àéíîé ìåðå äëß ãèëüáåðòîâî-çíà÷íûõ ôóíêöèé è âûâîäèòñß ðàçëîæåíèå äëß ãèëüáåðòîâîçíà÷íûõëîêàëüíûõ ìàðòèíãàëîâ ñ ïîìîùüþ ñòîõàñòè÷åñêèõ èíòåãðàëîâ.In this paper, we deﬁne the integral over the random measure for Hilbert-valued functions and derive the expansion of Hilbert-valued local martinga-les by means of stochastic integrals.Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàðòèíãàë, ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, ñëó÷àéíàßìåðà.Keywords: martingale, Hilbert space, random measure.ÂâåäåíèåÏóñòü (Ω,F)  èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî, ñ âûäåëåííûì íà íåì íåóáûâàþùèìíåïðåðûâíûì ñïðàâà ñåìåéñòâîì (Ft)t≥0 σ-àëãåáð Ft òàêèõ, ÷òî F = ∨t≥0Ft.Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X = (Xt,Ft)t≥0 íàçûâàåòñß âïîëíå èçìåðèìûì (ïðåäñêà-çóåìûì), åñëè îòîáðàæåíèå (t, ω) → Xt (ω) èçìåðèìî îòíîñèòåëüíî σ-àëãåáðû W(ñîîòâåòñòâåííî, P) â [0,∞)× Ω, ïîðîæäåííîé îòîáðàæåíèßìè (t, ω)→ Yt (ω) , êî-òîðûå ßâëßþòñß Ft-èçìåðèìûìè äëß êàæäîãî t ≥ 0, íåïðåðûâíûìè ñïðàâà è èìå-þùèìè ïðåäåëû ñëåâà (ñîîòâåòñòâåííî - íåïðåðûâíûìè).Ïóñòü E  ëóçèíñêîå ïðîñòðàíñòâî (áîðåëåâñêîå ïîäìíîæåñòâî êîìïàêòíîãîìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà) ñ σ-àëãåáðîé áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ E. Ââåäåì îáî-çíà÷åíèß:Ω˜ = Ω× (0,∞)× E,W˜ =W⊗ E,P˜ = P⊗ E,E˜ = (0,∞)× E,E˜ = B((0,∞))× E,(ãäå B ((0,∞))  σ-àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ íà (0,∞)).1314 ËÀÂÐÅÍÒÜÅÂ Â.Â.1. Ñëó÷àéíûå ìåðûÍàïîìíèì ([1],[2]), ÷òî íåîòðèöàòåëüíàß ôóíêöèß µ = µ(ω, A˜), ω ∈ Ω, A˜ ∈ E˜,íàçûâàåòñß ñëó÷àéíîé ìåðîé (íà E˜), åñëè1) µ(·, A˜) - F -èçìåðèìà äëß êàæäîãî A˜ ∈ E˜;2) µ = µ(ω, ·)− σ− êîíå÷íàß ìåðà íà(E˜, E˜)äëß ëþáîãî ω ∈ Ω.Ñëó÷àéíàß ìåðà µ íàçûâàåòñß öåëî÷èñëåííîé, åñëè1) µ(ω, A˜) ∈ {0, 1, ...,+∞} , A˜ ∈ E˜;2) µ(ω, {t}, E) ≤ 1, t > 0.Ïóñòü f = f(ω, t, x) - íåîòðèöàòåëüíàß F ⊗ E˜-èçìåðèìàß ôóíêöèß íà Ω˜. Îá-ðàçóåì íîâóþ ñëó÷àéíóþ ìåðó f ◦ µ è íåóáûâàþùèé ïðîöåññ f ∗ µ, ïîëàãàß(f ◦ µ)(ω, dt, dx) = f(ω, t, x)µ(ω, dt, dx) èf ∗ µ = (f ◦ µ)(ω, (0, t], E) =∫(0,t]×Ef(ω, s, y)µ(ω, ds, dy).Èíòåãðàë ïîíèìàåòñß êàê îáû÷íûé èíòåãðàë Ëåáåãà äëß êàæäîãî ω. Åñëè äëßëþáîé íåîòðèöàòåëüíîé W˜-èçìåðèìîé (P˜-èçìåðèìîé) ôóíêöèè f ïðîöåññ f ∗ µâïîëíå èçìåðèì (ïðåäñêàçóåì), òî ìåðà µ áóäåò íàçûâàòüñß âïîëíå èçìåðèìîé(ïðåäñêàçóåìîé).Äëß âåðîßòíîñòíîé ìåðû P íà (Ω,F) è ñëó÷àéíîé ìåðû µ îïðåäåëèì íà(Ω˜, W˜)ìåðó Mµ(·) ïîëàãàß Mµ(f) ≡ E(f ∗ µ)∞, ãäå f = f(ω, t, x) ≥ 0 è W˜-èçìåðèìà.Ëåììà 1. Ïóñòü ñóæåíèå Mµ íà (Ω˜, P˜) σ-êîíå÷íî, òîãäàà) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííàß (ñ òî÷íîñòüþ äî P-íóëåâîãî ìíîæåñòâà) ïðåä-ñêàçóåìàß ñëó÷àéíàß ìåðà ν = ν(ω, dt, dx), íàçûâàåìàß êîìïåíñàòîðîì ìåðû µ,òàêàß, ÷òîMν(f) =Mµ(f) (1)äëß ëþáîé P˜-èçìåðèìîé f = f(ω, t, x) ≥ 0;á) åñëè f ∗ µ - ïðîöåññ ëîêàëüíî èíòåãðèðóåìîé âàðèàöèè è f - P˜-èçìåðèìà, òîf ∗ µ− f ∗ ν - ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë;â) åñëè τ - ïðåäñêàçóåìûé ìîìåíò îñòàíîâêè (ì.î.), òîE{∫Ef(τ, x)µ({τ}, dx)|Fτ−}=∫Ef(τ, x)ν({τ}, dx); (2)ã) â ñëó÷àå öåëî÷èñëåííîé ñëó÷àéíîé ìåðû µ ìîæíî âûáðàòü òàêóþ ìîäèôè-êàöèþ ν, ÷òî 0 ≤ ν(ω, {t}, E) ≤ 1. Äàëåå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñß èìåííî òàêàßìîäèôèêàöèß.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ëåììû èçëîæåíî â ðàáîòàõ ([1], [2]).Ïðèìåð 1 (ñì. [2]). Ïóñòü X = (Xt,Ft;E) - ñåìèìàðòèíãàë, ïðèíèìàþùèé çíà-÷åíèß â ñåïàðàáåëüíîì áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå E ñ òðàåêòîðèßìè â ïðîñòðàí-ñòâå (D(E),D) - èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ñïðàâà è èìåþùèõ ïðå-äåëû ñëåâà E-çíà÷íûõ ôóíêöèé ñ òîïîëîãèåé Ñêîðîõîäà. Äëß Γ ∈ E˜ ïîëîæèìÎ ÑÒÐÓÊÒÓÐÅ ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÎÇÍÀ×ÍÛÕ ÌÀÐÒÈÍÃÀËÎÂ 15µ(ω,Γ) =∑s I(∆Xs 6= 0)I((s,∆Xs) ∈ Γ). Òàêàß ñëó÷àéíàß ìåðà íàçûâàåòñß öåëî-÷èñëåííîé ìåðîé ñêà÷êîâ ïðîöåññà X. Â ýòîì ñëó÷àå ñóæåíèå ìåðû Mµ íà (Ω˜, P˜)σ-êîíå÷íî.2. Îïðåäåëåíèå ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà ïî ìåðå µ− ν äëß ãèëüáåðòî-âîçíà÷íûõ ôóíêöèéÁóäåì ñëåäîâàòü ñõåìå, ïðåäëîæåííîé â [1] äëß äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé.Ñ÷èòàåì, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèß ëåììû 1, òîãäà äëß íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà P˜-èçìåðèìûõ ôóíêöèé, ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèß â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H(äëß U ∈ P˜(H)) áóäåì îïðåäåëßòü ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë∫ t0∫EU(s, x)(µ− ν)(ds, dx), t ≥ 0 (3)îáîçíà÷àåìûé äàëåå ÷åðåç U ∗ (µ − ν) è ßâëßþùèéñß ëîêàëüíûì ìàðòèíãàëîì(Mloc(H)). Çäåñü è äàëåå îïóñêàåì ïåðåìåííóþ ω.Åñëè ‖U‖ ∗ µ, ‖U‖ ∗ ν ∈ A+(R) ≡ {X ∈ V+(R) : EX∞ <∞}, ãäå V+(R) - ìíî-æåñòâî íåóáûâàþùèõ (ïî t) ïðîöåññîâ X òàêèõ, ÷òî Xt < ∞ (P - ï.í.) äëß t > 0è X∞ ≡ limt→∞Xt, òî ïî îïðåäåëåíèþ ìîæíî ïîëîæèòü, ÷òî U ∗ (µ− ν) = U ∗ µ−U ∗ν. Îäíàêî ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë ïî ìåðå µ−ν ìîæíî îïðåäåëèòü äëß áîëååøèðîêîãî êëàññà ôóíêöèé.Äëß êàæäîãî B ∈ E òàêîãî, ÷òî (ν((0, t], B))t≥0 ∈ A+loc(R), ïðîöåññmt = µ((0, t], B)− ν((0, t], B)ßâëßåòñß ÷èñòî ðàçðûâíûì ëîêàëüíûì ìàðòèíãàëîì è ïðè ýòîì∆mt = µ({t}, B)− ν({t}, B).Òàêèì îáðàçîì, ïðè îïðåäåëåíèè U ∗ (µ− ν) åñòåñòâåííî ïðåäúßâèòü òðåáîâàíèå,÷òîáû∆(U ∗ (µ− ν))t =∫EU(t, x)µ({t}, dx)−∫EU(t, x)ν({t}, dx) (4)Ïîëîæèì äëß U ∈ P˜(H)Uˆt =∫EU(t, x)ν({t}, dx), (5)Gt(U) =∫ t0∫E∥∥∥U(s, x)− Uˆs∥∥∥21 +∥∥∥U(s, x)− Uˆs∥∥∥dν +∑s≤t∥∥∥Uˆs∥∥∥21 +∥∥∥Uˆs∥∥∥ (1− as), (6)Git(U) =∫ t0∫E∥∥∥U(s, x)− Uˆs∥∥∥idν +∑s≤t∥∥∥Uˆs∥∥∥i(1− as), (7)ãäå at = ν({t}, E), i = 1, 2.×åðåç =loc(H),=iloc(H) áóäåì îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî ôóíêöèé U ∈ P˜(H), äëßêîòîðûõ ïðè êàæäîì t ∈ R+ îïðåäåëåíû Uˆt è Gt(U) ∈ A+loc(R), Git(U) ∈ A+loc(R).16 ËÀÂÐÅÍÒÜÅÂ Â.Â.Çàìåòèì, ÷òî =2loc(H) ⊂ =1loc(H) ⊂ =loc(H).ÄëßM ∈M2loc(H) ÷åðåç < M > áóäåì îáîçíà÷àòü êîìïåíñàòîð ‖M‖2, ò.å. ïðåä-ñêàçóåìûé âîçðàñòàþùèé ïðîöåññ òàêîé, ÷òî ‖M‖2− < M > - ëîêàëüíûé ìàðòèí-ãàë.Ñëåäóþùàß òåîðåìà ßâëßåòñß îáîáùåíèåì òåîðåìû 2 â [1] íà ñëó÷àé ãèëüáåð-òîâîçíà÷íûõ U .Òåîðåìà 1. Ïóñòü U ∈ =loc(H), òîãäà ñóùåñòâóåò îäèí è òîëüêî îäèí (ñ òî÷-íîñòüþ äî ìíîæåñòâ íóëåâîé âåðîßòíîñòè) ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, îáîçíà÷àåìûéU ∗ (µ− ν), êîòîðûé ßâëßåòñß ÷èñòî ðàçðûâíûì ëîêàëüíûì ìàðòèíãàëîì è äëßêîòîðîãî âûïîëíåíî ñâîéñòâî (4).Êðîìå òîãî:a) U ∈ =1loc(H)⇔ V ar[U ∗ (µ− ν)] ∈ A+loc(R);â) U ∈ =2loc(H)⇔{U ∗ (µ− ν) ∈M2loc(H), < U ∗ (µ− ν) >= G2(U)}Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü U ∈ =loc(H) èYt =∫EU(t, x)µ({t}, dx)−∫EU(t, x)ν({t}, dx) (8)Ñîãëàñíî òåîðåìå 2 èç [3] äëß ñóùåñòâîâàíèß ÷èñòî ðàçðûâíîãî ëîêàëüíîãî ìàð-òèíãàëà M ñî ñâîéñòâîì ∆M = Y íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïðåäñêàçóåìàßïðîåêöèß (ñì. [3]) pY = 0 è ∑s≤·‖Ys‖21/2 ∈ A+loc(R) (9)Ïîñêîëüêó äëß ëþáîãî h ∈ H ñîãëàñíî (2) è îïðåäåëåíèþ ïðåäñêàçóåìîé ïðîåêöèèp(∫EU(t, x)µ({t}, dx))=∫EU(t, x)ν({t}, dx) (10)è pY = 0. Â ñèëó ëåììû 1 â [1] ñîîòíîøåíèå (9) ýêâèâàëåíòíî∑s≤·‖Ys‖2 /(1 + ‖Ys‖) ∈ A+loc(R). (11)Ïîëüçóßñü öåëî÷èñëåííîñòüþ ñëó÷àéíîé ìåðû µ, ïîëó÷àåì∑s≤t‖Ys‖21 + ‖Ys‖ =∑s≤t∥∥∥∫E U(s, x)µ({s}, dx)− Uˆs∥∥∥21 +∥∥∥∫E U(s, x)µ({s}, dx)− Uˆs∥∥∥µ({s}, E)+∑s≤t∥∥∥∫E U(s, x)µ({s}, dx)− Uˆs∥∥∥21 +∥∥∥∫E U(s, x)µ({s}, dx)− Uˆs∥∥∥ (1− µ({s}, E)) ==∫ t0∫E∥∥∥U(s, x)− Uˆs∥∥∥21 +∥∥∥U(s, x)− Uˆs∥∥∥µ(ds, dx) +∑s≤t∥∥∥Uˆs∥∥∥21 +∥∥∥Uˆs∥∥∥ (1− µ({s}, E)) (12)Î ÑÒÐÓÊÒÓÐÅ ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÎÇÍÀ×ÍÛÕ ÌÀÐÒÈÍÃÀËÎÂ 17Îòñþäà â ñèëó (1) è (6) âûòåêàåò, ÷òî ñîîòíîøåíèå (11) ýêâèâàëåíòíîG(U) ∈ A+loc(R), ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå 2 èç [3], ñóùåñòâóåò M - ÷èñòîðàçðûâíûé ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë (Mdloc(H)) òàêîé, ÷òî ∆M = Y . Ýòîò ïðîöåññíàçûâàåòñß ñòîõàñòè÷åñêèì èíòåãðàëîì îò U ïî ñëó÷àéíîé ìåðå µ− ν è îáîçíà÷à-åòñßU ∗ (µ− ν)t =∫ t0∫U(s, x)d(µ− ν).a) Ïóñòü U ∈ =1loc(H), òîãäà∥∥∥U − Uˆ∥∥∥ ∗ ν +∑s≤·∥∥∥Uˆs∥∥∥ (1− as) ∈ A+loc(R).îòñþäà, èñïîëüçóß ðàâåíñòâî (1), ïîëó÷àåì, ÷òî∥∥∥U − Uˆ∥∥∥ ∗ µ+∑s≤·∥∥∥Uˆs∥∥∥ (1− µ({s}, E)) ∈ A+loc(R).Ïîëîæèì M = U ∗ (µ− ν) ∈Mdloc(H),M ′ = (U − Uˆ) ∗ µ− (U − Uˆ) ∗ ν +∑s≤·Uˆs(1− µ({s}, E))−∑s≤·Uˆs(1− as) ∈Mdloc(H),òîãäà ∆M ′ = ∆M è, ñîãëàñíî òåîðåìå 2 èç [3], M ′ =M , ñëåäîâàòåëüíî, V arM ′ =V arM .Òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç (1) è ñëåäóþùåãî ñîîòíîøåíèß:∥∥∥U − Uˆ∥∥∥ ∗ µ =∑s≤·‖∆Ms‖ =∑s≤·‖∆M ′s‖ ≤ V arM ′ ≤≤∥∥∥U − Uˆ∥∥∥ ∗ µ+∑s≤·∥∥∥Uˆs∥∥∥ (1− µ({s}, E)) + ∥∥∥U − Uˆ∥∥∥ ∗ ν +∑s≤·∥∥∥Uˆs∥∥∥ (1− as) (13)â) Ïóñòü G2(U) ∈ A+loc(R). Íàïîìíèì [4], ÷òî êâàäðàòè÷íàß âàðèàöèß ãèëüáåðòî-âîçíà÷íîãî ïðîöåññà X - ýòî[X]t ≡ [X,X]t ≡ P− limn−→∞∑k≥0∥∥X(k+1)2−n∧t −Xk2−n∧t∥∥2Â ñèëó (4)[U ∗ (µ− ν)]t =∑s≤t∥∥∥∥∫EU(s, x)µ({s}, dx)− Uˆs∥∥∥∥2 ==∑s≤t∫E∥∥∥U(s, x)− Uˆs∥∥∥2 µ({s}, dx) +∑s≤t∥∥∥Uˆs∥∥∥2 (1− µ({s}, E)). (14)Îòñþäà [U ∗ (µ − ν)] ∈ A+loc(R) è, çíà÷èò, U ∗ (µ− ν) - ëîêàëüíî êâàäðàòè÷íî èí-òåãðèðóåìûé ìàðòèíãàë.18 ËÀÂÐÅÍÒÜÅÂ Â.Â.Ñîãëàñíî ëåììå 1  G2(U) ßâëßåòñß êîìïåíñàòîðîì [U ∗ (µ− ν)], íî< U ∗ (µ− ν) > òîæå êîìïåíñàòîð äëß [U ∗ (µ− ν)], ñëåäîâàòåëüíî,< U ∗ (µ− ν) >t= G2t (U).Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî G2(U) åñòü êîìïåíñàòîð[U ∗ (µ− ν)], ñëåäîâàòåëüíî, G2(U) ∈ A+loc(R).3. Ðàçëîæåíèå ëîêàëüíûõ ìàðòèíãàëîâ ñ ïîìîùüþ ñòîõàñòè÷åñêèõ èí-òåãðàëîâËåììà 2. Äëß ëîêàëüíîãî ãèëüáåðòîâîçíà÷íîãî ìàðòèíãàëà M èìååì E[M ]1/2 ∈A+loc(R).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü H1(H) ≡ {M ∈ Mloc(H) : E[M ]1/2∞ < ∞}, ò.å. ïðî-ñòðàíñòâî ìàðòèíãàëîâ ñ íîðìîé ‖·‖H1 ≡ E[·]1/2∞ . Ýòî ïîëíîå íîðìèðîâàííîå ïðî-ñòðàíñòâî (ñì. [3]). Ïóñòü τ - ì.î. òàêîé, ÷òî Mτ ∈ M(H), òîãäà (ñì. [4], c.116)Mτ = N + V, ãäå N ∈M2(H) ⊂ H1(H), V ∈ A(H) ⊂ H1(H), îòñþäà âûòåêàåò, ÷òîMτ ∈ H1(H), è E[M ]1/2 ∈ A+loc(R).Òåîðåìà 2. Ïóñòü X - ãèëüáåðòîâîçíà÷íûé ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë (Mloc(H)) èµ - ìåðà ñêà÷êîâ ïðîöåññà X (èëè, ÷òî òî æå, ïðîöåññà Xd), ν - åå êîìïåíñàòîð,òîãäà (P-ï.í.)Xt = Xct +∫ t0∫H\{0}xd(µ− ν), t ≥ 0,ãäå Xc - íåïðåðûâíàß ñîñòàâëßþùàß ëîêàëüíîãî ìàðòèíãàëà X.Äîêàçàòåëüñòâî. Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðîöåññû Xd è(∫ t0∫H\{0} xd(µ− ν))t≥0P-íåðàçëè÷èìû. Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî ýòè èíòåãðàëû îïðåäåëåíû. Äåéñòâè-òåëüíî, â ñèëó ëåììû 1 â [1] è íàøåé ëåììû 2∑s≤·‖∆Xs‖21 + ‖∆Xs‖ ∈ A+loc(R)⇔∑s≤·‖∆Xs‖21/2 ∈ A+loc(R),(‖x‖2 /(1 + ‖x‖)) ∗ µ ∈ A+loc(R) è ñîãëàñíî (1)(‖x‖2 /(1 + ‖x‖)) ∗ ν ∈ A+loc(R) (15)Äàëåå, áåç îãðàíè÷åíèß îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî X ∈ M(H). Òîãäà èç ñîîò-íîøåíèß (2) âûòåêàåò, ÷òî äëß ëþáîãî (êîíå÷íîãî) ì.î. τ è h ∈ H(∫H\{0}xν({τ}, dx), h)=(∫H\{0}(x, h)ν({τ}, dx))== E{∫H\{0}(x, h)µ({τ}, dx)|Fτ−}= E {(∆Xτ ), h)|Fτ−} = 0, (16)Î ÑÒÐÓÊÒÓÐÅ ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÎÇÍÀ×ÍÛÕ ÌÀÐÒÈÍÃÀËÎÂ 19ñëåäîâàòåëüíî,∫H\{0} xν({τ}, dx) = 0.Îòñþäà è èç ñîîòíîøåíèß (15) â ñèëó òåîðåìû 1 âûòåêàåò, ÷òî ïðîöåññ(∫ t0∫H\{0}xd(µ− ν))t≥0îïðåäåëåí, ßâëßåòñß ÷èñòî ðàçðûâíûì ëîêàëüíûì ìàðòèíãàëîì è äëß ëþáîãî (êî-íå÷íîãî) ì.î. τ∆∫ t0∫H\{0}xd(µ− ν) =∫H\{0}xµ({τ}, dx) = ∆Xτ .Îäíàêî ïðîöåññXd òàêæå ßâëßåòñß ÷èñòî ðàçðûâíûì ìàðòèíãàëîì è∆Xdτ = ∆Xτ .Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó òåîðåìû î ñå÷åíèßõ (ñì. [5], ñ. 90) ïðîöåññû (Xd, ei) è(∫ t0∫H\{0} xd(µ− ν), ei)t≥0ßâëßþòñß P-íåðàçëè÷èìûìè è, ñëåäîâàòåëüíî,Xdt =∫ t0∫H\{0}xd(µ− ν).Çàêëþ÷åíèåÈòàê, äëß ãèëüáåðòîâîçíà÷íîãî ëîêàëüíîãî ìàðòèíãàëà XXt = Xct +∫ t0∫H\{0}xd(µ− ν), t ≥ 0,ãäå Xct - íåïðåðûâíàß ñîñòàâëßþùàß ëîêàëüíîãî ìàðòèíãàëà X, µ - ìåðà ñêà÷êîâïðîöåññà X, ν - åå êîìïåíñàòîð.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1] ÊàáàíîâÞ.Ì., Ëèïöåð Ð.Ø., Øèðßåâ À.Í. Àáñîëþòíàß íåïðåðûâíîñòü è ñèí-ãóëßðíîñòü ëîêàëüíî àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ âåðîßòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé.I. - Ìàòåì. ñá., 1978, ò. 107,  3, ñ. 364415.[2] Jacod J. Un theor eme de representation pour les martingales discontinues. -Z.Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, 1976, Bd 34, p. 225-244.[3] Ëàâðåíòüåâ Â.Â. Ñóùåñòâîâàíèå ãèëüáåðòîâîçíà÷íîãî ïðîöåññà ñ çàäàííûìèñêà÷êàìè.- Óñïåõè ìàòåì. íàóê, 1986, ò. 41, 5, ñ. 183184.[4] Metivier M., Pellaumail J. Stochastic integration. - New York etc.: Acad.Press,1980. - 196 p.[5] Äåëëàøåðè Ê. Åìêîñòè è ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. - Ì.: Ìèð, 1975. - 192 ñ.

О структуре гильбертовозначных мартингалов

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Tver State University Repository