Dado un espacio localmente convexo E y un espacio perfecto de sucesiones Λ, se da una condición para que cada sucesión absolutamente Λ-sumable sea totalmente Λ-sumable.Given a locally convex space E and a perfect sequence space A, a condition that each sequence absolutely A-summable is totally A-summable is given

García Lafuente, José María

Institutional Repository University of Extremadura

Actas VIII Jornadas 
Luso Espanholas Matemática~ Vol. III 
Universidade Coimbra~ 1981 
UNA CONDICION DEL TIPO (B) PARA ESPACIOS DE SUCESIONES GENERALIZADAS 
José Maria Garcia Lafuente 
Departamento de Matemáticas - Facultad de Ciencias 
Universidad de Extremadura - Badajoz 
Reb~en: Dado un espacio localmente convexo E y un espacio perfecto de sucesio-
nes A~ se da una condición para que cada sucesión absolutamente A-sumable sea 
totalmente A-sumable. 
126 
cu;J'.'ex,_ ~;t-} na; .. 7t· '.~tr·ado particula.,..,.....:,~.te útil e~-: en el estudie G<:o .:._e:; 
espacio:O de Fr·échet nucleares. Dyni:--. i i.Utiaqin [2] han proba·.:!:::o q...te 
E"!1 tales espac:ios toda base de Scha·_der es absoluta. 
Tanto la noción de nuclearidad, co;no la de base absoluta es:á!-. 
estrecha~ente relacionadas con el es~acio de sucesiones ~~ , lo 
que ha :no·Jido a la ;¡eneralización d-2 tales conceptos sus ti tuye::.dc e:! 
espacio 9. 1 por W1 espacio perfectc cualquiera de sucesiones n-..né::--:.-
cas. Así, Dubinsky y Ramanujan[3] ir:troducen la noción A-nuclea!':.dad 
siguiendo la idea iniciada ya por Mc..::··tineau, quien sustituyendo el e2_ 
pacio ~~ por el espacio s de suce~iones de decrecimiento rápido, 
obtenía una noción de ultra-nuclearidad. Posteriores generalizaciones, 
condujeron al concepto de .1!-p-nuclearidad (Persson, Pietsch•. 
En este mismo sentido, la noción de base de Schauder admite una 
qeneralización natural definiendo ~-base [1] y ~(a)-bases [4], para 
investigar qué resultados de la teoría original (teoremas tipo Pietsch 
M.itiagin) se mantienen en la teoría generalizada y especialmente est~ 
diar de qué manera la existencia de A-bases está relacionada con la 
A-nuclearidad del espacio [8] [1 ]. 
Siendo así que 1a nuclearidad y conuclearidad de Wl espacio local 
127 
mente convexo puede caracterizarse mediante técnicas de familias suma 
bles (espacios í!. 1 (E) y ~ 1 Jl, , [6]), las ideas <111teriores, conducen 
también al estudio de A-nuclearidad en términos de fa'Tlilias "11-suma-
bles", y en consecuencia al estudio de los espacios de sucesiones vec 
toriales, o sucesiones generalizadas inicialmente introducidas por 
A. Pietsch [7], La idea de nuevo es sustituir el espacio t 1 que de-
fine a las sucesiones sumables, por un espacio perfecto A de sucesio 
nes y desembocar a distintos conceptos de 11-sumabilidad (ver [9]). 
Pietsch [6] ha demostrado que una condición del tipo (B) es su 
ficiente para asegurar que toda sucesión de vectores absolutamente su-
mable de un espacio localmente convexo, es totalmente sumable. En el 
presente trabajo, dado un espacio perfecto A , se introducirá una co~ 
dición (AB) bajo la cual se puede asegurar que toda familia absoluta 
mente A-sumable de E es totalmente A-sumable. Si A ~ ~~ recaemos 
en el teorema de Pietsch. 
De acuerdo con [S] y [9], denotaremos por A un espacio perfe~ 
to de sucesiones numéricas, es decir tal que A A "' donde 
• 
=(a = (a ) 1 A r 1 cr.nBn \ < + 00 B = n 
Tal espacio A es normal, (es decir 
cen también a r, los B 1 tales que 
(B n) e A J es el a-dual de A 
junto con cada B & A 
' 
perten~ 
¡s' 1 < 1 e 1 . ) y contiene al n ~ . n 
128 
subespacio 4l de sucesiones que tie;1en todos sus términos, ex:-epto 
un nÚ11ero finito, nulos. 
Un conjunto M e A se dice que es acotado si para cada 
sup l' 1 u B 1 / B E M j < + oo n n 
Una familia_\: de conjuntos de es un generador no~al de 
topología ¡ 9) Si ~\: es un recubriil.ie'ltO de cerrado para ~io-
nes finitas y homotecias positivas y tal que cada M E fi( es normal . 
Si E es un espacio locaL~~nte convexo y sea 6ú(E) (respecti-
vamente j9(E)) la familia de todos los entornos de O (respectiva~e~ 
te conjuntos acotados) absolutamente convexos cerrados. Una sucesión 
x = (x ) de puntos de E se dice que es absolutamente A-su~able [9] 
n 
si para cada u E ~(E) 
p(x))EA U n 
donde Pu es l~ seminorma asociada a U . El espacio vectorial de 
todas las sucesiones absolutamente A-sumables se denota por A/E) 
Cada generador normal de topoloqía Al en define una -w-topol2 
qía en A{Ej mediante la familia de seminormas 
' (x ) MU n sup 
u• M 
r¡a 1 p (x ) . Se demuestra 
n U n 
([71 y [9]) que un con-
junto L de A lEJ es ~{-acotado si y solo si para cada a E A• y 
cada Uf J'U..(E) , existe P > o tal que 
'1 u 1 Pu< x ) < P n n para cada x (x ) € L n 
129 
Definl c>Sn 1 
Sc:a. E un e.:;pacio localmer!te c:G:-1vexo y 11. un espacio perfecto 
de sucesiones. ~a sucesión x = (x ) de puntos de E se dice que 
n 
e-s totalllente 11-Su11able si existe B G..}j (E) tal que 
El es~ar_::io vectorial de tales sucesiones se escribirá r. < E > 
El :::i-: x: .:::.:!te ?2 un rcsul tacto ele·w:_.r.taJ 
Proposición l 
Para cada espacio localmente convexo E y cada espacio perfecto 
de suceslones 11 , se tiene A < E > e A{ E\. 
De:nostración 
Si x = (x ) es totalmente A-sli'nable y 8 t J)l(E) es tal que 
n 
(P (x ))~ 11. , para cada u~ ~(E) se determina P >o tal que 8 n 
pg e U • Par-a todo r, E:- N se tiene entonces 
y siendo 11 normal se concluye que la sucesión '(p pu(xn)) , y rx:>r 
tanto 11. • Es decir x = (x ) 
n 
es absoluta11en 
te A-surnable. 
Definición 2 
Sea !\ un espacio perfecto de sucesiones. El espacio locaL11ente 
130 
o.,_- A t; existe u ~ _.F (E) tal que 'C.'l conju:'lt,-: { 1 P~ 1 X tl :1 '1 " 
X - (x ) é L} es dcotado en A 
n 
Si el espacio E posee la propiedad (118) e~Jtonc~-es 11 <E> t-.;t::~ 
De-"llostración 
De: acuerde. cun la propo::::ición a.ntArior basta proba!" que cada suc..§_ 
sión absoluta·nente 11-sumable x (z ) de E es totalmente 11-suna-
n 
ble. Para cada j ~ se define la sección 
donde X (j) = X si n < j . X (j) = o Sl n n - n 
(x ( j) 
n 
( A {E\ para cada j~ N ya que • C-
n > 
A 
x , (x (j)) 
n 
j Clararnente 
Además el conjunto 
' 
l 
de tales secciones es acotado en 11 ~·E\ pues jajo a ~ A y U• 'ii1(E) 
j t.!N , ya que (r (x )) E 11 • Por hipótesis existe B t:](E) U n tal que 
el conjunto { ( p (x ( j)) 1 j ~ IN) es acotado de 11. . Por ello para 
B n 
cada ex <- 11 ' existe p ..::: o con 
'V' j < N 
x (X ) é 11 < E > co~o se quería demostrar. 
n 
131 
Si t. 
' ' 
S(· :_·; (l ~-- ~ '? ;¡": ".:'!'. ~~a.:·t l r__· ,J.- 'l.l', 
'' 
< E > = 
' ' 
E cuando 
' 
E r·c •·e· la í ,-·,-"'<• ~'"c-Jai 8) [6 1 
' 
i·ío.r::tra11os fjna1'":ler,te que, dado w. éspacio [)"C'~·fecto 1\ , la clase 
de eo_~¡:)dclo::: 1u_·al1lente convexos que pu-;~en 1a p;·opiedad ( AB) es sufi 
ciente:nente a-:-tplia. 
Proposición 2 
Todo espacio local~ente convexo metrizable posee la propiedad (hE) 
cualquiera que séa eJ espacio perfecto A . 
Demostración 
Sea U1 .:) u2 _::, . . . . . un sistema funda'Tiental de entornos absoluta 
mente conVexos cerrados de O en E y sea L un conjunto acotado de 
A{E] . Para cada m~ N y cada 
Pma > o tal que 
existe entonces un número 
\;"' X (x ) E L 
n 
(1) 
Sea ¿ a 
m::::1 m una serie conver~ente de números positivos y definamos 
el conjunto 
B :::: { x "'- E 1 para cada a t- 11 X 
Claramente B ~::.Jj(E) y absorbe a todos los puntos de las sucesiones 
de L . Además por definición, para cada x t E
8 
y se tiene 
( 2) 
132 
arbitrario. PaYa todo x 
' l"n 1 p (x 1 < [ 1 "n 1 n::::1 B n n=; 
[ o p 
:n::::1 m 
[ o < 
< m=1 m 
(x 1"' 
n 
' 
o 
m=1 
[ 
01 
( 
m a n=1 
+ ~ 
' ;JLT 
lX 1 
~.::t n 
:n 
1 "~ 1 pl (x \) 
', 
m 
lo que prueba que el conjunto de su:::<:':=::ones (p8:\:)) c:J.a:r,::ic X= .x~) e:_ 
es W1 conjunto acotado de A • 
R E F E R E N C I A S 
[1 1 N. DE GRANuE- DE KIMPE. On A-bases jour. Of Math. An. and 
Appl. 53, 3, (1976) (508-520). 
[2] A. S. DYNIN and B. S. MITIAGIN. Criterion for nuclearity in terms 
133 
of approxi~ative dimension Bull. Acad. Poln. Sci. 8 (1960) 535-540 
[31 E. DUBINSKI and M.S. RAMANUJAN. On '-nuclearity. Mem. Amer. Math. 
Soc. No. 128 (1972) 
[41 E. DUBINSKI and M.S. RAMANUJAN >(a)-Bases and Nuclear Spaces. 
Jour. of the Indian Math. Soc. 36 (1972) 333~345 
[5) G. KOTHE. Topolo1ical Vector Spaces I. Springer 19ó9 
[ó] A. PIETSCH. Nuclear Locally Convex Spaces. Sprin9er, 1972 
[7] A. PIETSCH. Verallqemeinerte Vollkommene Folqenraume. Akademie-
Verlag, 1 9ó2 
[8] M.S. RAMANUJAN. Generalised nuclear maps in normed linear spaces. 
Jour. Reine Angew. Mateh. 244 (1970) 190-197 
[9] R.C. ROSIER. Dual spaces of ~ertains vector sequence spaces. 
Pac. Jour. of Math. 46, 2 (1973) 487-501. 


Spanish

Una condición del tipo (B) para espacios de sucesiones generalizadas

Dehesa. Repositorio Institucional de la Universidad de Extremadura

Actas VIII Jornadas Luso Espanholas Matemática~ Vol. III Universidade Coimbra~ 1981 UNA CONDICION DEL TIPO (B) PARA ESPACIOS DE SUCESIONES GENERALIZADAS José Maria Garcia Lafuente Departamento de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad de Extremadura - Badajoz Reb~en: Dado un espacio localmente convexo E y un espacio perfecto de sucesio-nes A~ se da una condición para que cada sucesión absolutamente A-sumable sea totalmente A-sumable. 126 cu;J'.'ex,_ ~;t-} na; .. 7t· '.~tr·ado particula.,..,.....:,~.te útil e~-: en el estudie G<:o .:._e:; espacio:O de Fr·échet nucleares. Dyni:--. i i.Utiaqin [2] han proba·.:!:::o q...te E"!1 tales espac:ios toda base de Scha·_der es absoluta. Tanto la noción de nuclearidad, co;no la de base absoluta es:á!-. estrecha~ente relacionadas con el es~acio de sucesiones ~~ , lo que ha :no·Jido a la ;¡eneralización d-2 tales conceptos sus ti tuye::.dc e:! espacio 9. 1 por W1 espacio perfectc cualquiera de sucesiones n-..né::--:.-cas. Así, Dubinsky y Ramanujan[3] ir:troducen la noción A-nuclea!':.dad siguiendo la idea iniciada ya por Mc..::··tineau, quien sustituyendo el e2_ pacio ~~ por el espacio s de suce~iones de decrecimiento rápido, obtenía una noción de ultra-nuclearidad. Posteriores generalizaciones, condujeron al concepto de .1!-p-nuclearidad (Persson, Pietsch•. En este mismo sentido, la noción de base de Schauder admite una qeneralización natural definiendo ~-base [1] y ~(a)-bases [4], para investigar qué resultados de la teoría original (teoremas tipo Pietsch M.itiagin) se mantienen en la teoría generalizada y especialmente est~ diar de qué manera la existencia de A-bases está relacionada con la A-nuclearidad del espacio [8] [1 ]. Siendo así que 1a nuclearidad y conuclearidad de Wl espacio local 127 mente convexo puede caracterizarse mediante técnicas de familias suma bles (espacios í!. 1 (E) y ~ 1 Jl, , [6]), las ideas <111teriores, conducen también al estudio de A-nuclearidad en términos de fa'Tlilias "11-suma-bles", y en consecuencia al estudio de los espacios de sucesiones vec toriales, o sucesiones generalizadas inicialmente introducidas por A. Pietsch [7], La idea de nuevo es sustituir el espacio t 1 que de-fine a las sucesiones sumables, por un espacio perfecto A de sucesio nes y desembocar a distintos conceptos de 11-sumabilidad (ver [9]). Pietsch [6] ha demostrado que una condición del tipo (B) es su ficiente para asegurar que toda sucesión de vectores absolutamente su-mable de un espacio localmente convexo, es totalmente sumable. En el presente trabajo, dado un espacio perfecto A , se introducirá una co~ dición (AB) bajo la cual se puede asegurar que toda familia absoluta mente A-sumable de E es totalmente A-sumable. Si A ~ ~~ recaemos en el teorema de Pietsch. De acuerdo con [S] y [9], denotaremos por A un espacio perfe~ to de sucesiones numéricas, es decir tal que A A "' donde • =(a = (a ) 1 A r 1 cr.nBn \ < + 00 B = n Tal espacio A es normal, (es decir cen también a r, los B 1 tales que (B n) e A J es el a-dual de A junto con cada B & A ' perten~ ¡s' 1 < 1 e 1 . ) y contiene al n ~ . n 128 subespacio 4l de sucesiones que tie;1en todos sus términos, ex:-epto un nÚ11ero finito, nulos. Un conjunto M e A se dice que es acotado si para cada sup l' 1 u B 1 / B E M j < + oo n n Una familia_\: de conjuntos de es un generador no~al de topología ¡ 9) Si ~\: es un recubriil.ie'ltO de cerrado para ~io-nes finitas y homotecias positivas y tal que cada M E fi( es normal . Si E es un espacio locaL~~nte convexo y sea 6ú(E) (respecti-vamente j9(E)) la familia de todos los entornos de O (respectiva~e~ te conjuntos acotados) absolutamente convexos cerrados. Una sucesión x = (x ) de puntos de E se dice que es absolutamente A-su~able [9] n si para cada u E ~(E) p(x))EA U n donde Pu es l~ seminorma asociada a U . El espacio vectorial de todas las sucesiones absolutamente A-sumables se denota por A/E) Cada generador normal de topoloqía Al en define una -w-topol2 qía en A{Ej mediante la familia de seminormas ' (x ) MU n sup u• M r¡a 1 p (x ) . Se demuestra n U n ([71 y [9]) que un con-junto L de A lEJ es ~{-acotado si y solo si para cada a E A• y cada Uf J'U..(E) , existe P > o tal que '1 u 1 Pu< x ) < P n n para cada x (x ) € L n 129 Definl c>Sn 1 Sc:a. E un e.:;pacio localmer!te c:G:-1vexo y 11. un espacio perfecto de sucesiones. ~a sucesión x = (x ) de puntos de E se dice que n e-s totalllente 11-Su11able si existe B G..}j (E) tal que El es~ar_::io vectorial de tales sucesiones se escribirá r. < E > El :::i-: x: .:::.:!te ?2 un rcsul tacto ele·w:_.r.taJ Proposición l Para cada espacio localmente convexo E y cada espacio perfecto de suceslones 11 , se tiene A < E > e A{ E\. De:nostración Si x = (x ) es totalmente A-sli'nable y 8 t J)l(E) es tal que n (P (x ))~ 11. , para cada u~ ~(E) se determina P >o tal que 8 n pg e U • Par-a todo r, E:- N se tiene entonces y siendo 11 normal se concluye que la sucesión '(p pu(xn)) , y rx:>r tanto 11. • Es decir x = (x ) n es absoluta11en te A-surnable. Definición 2 Sea !\ un espacio perfecto de sucesiones. El espacio locaL11ente 130 o.,_- A t; existe u ~ _.F (E) tal que 'C.'l conju:'lt,-: { 1 P~ 1 X tl :1 '1 " X - (x ) é L} es dcotado en A n Si el espacio E posee la propiedad (118) e~Jtonc~-es 11 <E> t-.;t::~ De-"llostración De: acuerde. cun la propo::::ición a.ntArior basta proba!" que cada suc..§_ sión absoluta·nente 11-sumable x (z ) de E es totalmente 11-suna-n ble. Para cada j ~ se define la sección donde X (j) = X si n < j . X (j) = o Sl n n - n (x ( j) n ( A {E\ para cada j~ N ya que • C-n > A x , (x (j)) n j Clararnente Además el conjunto ' l de tales secciones es acotado en 11 ~·E\ pues jajo a ~ A y U• 'ii1(E) j t.!N , ya que (r (x )) E 11 • Por hipótesis existe B t:](E) U n tal que el conjunto { ( p (x ( j)) 1 j ~ IN) es acotado de 11. . Por ello para B n cada ex <- 11 ' existe p ..::: o con 'V' j < N x (X ) é 11 < E > co~o se quería demostrar. n 131 Si t. ' ' S(· :_·; (l ~-- ~ '? ;¡": ".:'!'. ~~a.:·t l r__· ,J.- 'l.l', '' < E > = ' ' E cuando ' E r·c •·e· la í ,-·,-"'<• ~'"c-Jai 8) [6 1 ' i·ío.r::tra11os fjna1'":ler,te que, dado w. éspacio [)"C'~·fecto 1\ , la clase de eo_~¡:)dclo::: 1u_·al1lente convexos que pu-;~en 1a p;·opiedad ( AB) es sufi ciente:nente a-:-tplia. Proposición 2 Todo espacio local~ente convexo metrizable posee la propiedad (hE) cualquiera que séa eJ espacio perfecto A . Demostración Sea U1 .:) u2 _::, . . . . . un sistema funda'Tiental de entornos absoluta mente conVexos cerrados de O en E y sea L un conjunto acotado de A{E] . Para cada m~ N y cada Pma > o tal que existe entonces un número \;"' X (x ) E L n (1) Sea ¿ a m::::1 m una serie conver~ente de números positivos y definamos el conjunto B :::: { x "'- E 1 para cada a t- 11 X Claramente B ~::.Jj(E) y absorbe a todos los puntos de las sucesiones de L . Además por definición, para cada x t E8 y se tiene ( 2) 132 arbitrario. PaYa todo x ' l"n 1 p (x 1 < [ 1 "n 1 n::::1 B n n=; [ o p :n::::1 m [ o < < m=1 m (x 1"' n ' o m=1 [ 01 ( m a n=1 + ~ ' ;JLT lX 1 ~.::t n :n 1 "~ 1 pl (x \) ', m lo que prueba que el conjunto de su:::<:':=::ones (p8:\:)) c:J.a:r,::ic X= .x~) e:_ es W1 conjunto acotado de A • R E F E R E N C I A S [1 1 N. DE GRANuE- DE KIMPE. On A-bases jour. Of Math. An. and Appl. 53, 3, (1976) (508-520). [2] A. S. DYNIN and B. S. MITIAGIN. Criterion for nuclearity in terms 133 of approxi~ative dimension Bull. Acad. Poln. Sci. 8 (1960) 535-540 [31 E. DUBINSKI and M.S. RAMANUJAN. On '-nuclearity. Mem. Amer. Math. Soc. No. 128 (1972) [41 E. DUBINSKI and M.S. RAMANUJAN >(a)-Bases and Nuclear Spaces. Jour. of the Indian Math. Soc. 36 (1972) 333~345 [5) G. KOTHE. Topolo1ical Vector Spaces I. Springer 19ó9 [ó] A. PIETSCH. Nuclear Locally Convex Spaces. Sprin9er, 1972 [7] A. PIETSCH. Verallqemeinerte Vollkommene Folqenraume. Akademie-Verlag, 1 9ó2 [8] M.S. RAMANUJAN. Generalised nuclear maps in normed linear spaces. Jour. Reine Angew. Mateh. 244 (1970) 190-197 [9] R.C. ROSIER. Dual spaces of ~ertains vector sequence spaces. Pac. Jour. of Math. 46, 2 (1973) 487-501. 

http://dehesa.unex.es/bitstream/10662/4458/6/JorLusEspMat_1981_125.pdf

Una condición del tipo (B) para espacios de sucesiones generalizadas

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