En este artículo se caracteriza el punto donde la distribución multinomial alcanza la probabilidad máxima.In this article characterizes the point where the distribution multinomial achieves the maximum probability

Ceballos, Docier Marino

Valencia Angulo, Edgar Alirio

En este artículo se caracteriza el punto donde la distribución multinomial alcanza la probabilidad máxima

Universidad Tecnológica de Pereira: Open Journal Systems

Scientia et Technica Año XV, No 42, Agosto de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701                                                            254  Fecha de Recepción: 8 de junio de 2009 Fecha de Aceptación: 23 de Agosto de 2009 PUNTOS MÁXIMOS DE UNA DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL  Maximum point of a distribution multinomial   RESUMEN  En este artículo se caracteriza el punto donde la distribución multinomial alcanza la probabilidad máxima.  PALABRAS CLAVES: Probabilidad, Multinomial.  ABSTRACT  In this article characterizes the point where the distribution multinomial achieves the maximum probability  KEYWORDS : Probability, Multinomial.   EDGAR ALIRIO VALENCIA ANGULO Profesor Auxiliar, Magíster en Ciencias Matemáticas Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira  evalencia@utp.edu.co  DOCIER MARINO CEBALLOS Profesor Titular, Magister en Enseñanza de las Matemáticas   Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira dceballos@utp.edu.co   1. INTRODUCCIÓN  Una de las distribuciones más importantes que se estudian en estadística por sus diferentes aplicaciones  es la distribución multinomial. En el estudio de esta distribución, consideramos que tenemos un experimento aleatorio con un espacio de probabilidad ( )P,, ℑΩ  y kAA ,,1 Κ son k  eventos tales que ℑ∈jA  para todo kj ,,2,1 Κ= , Ω=∪=jkjA1 y ≠∩ ji AA Ø para todo ji ≠ , es decir, estos eventos forma una partición de .Ω    Supongamos que el experimento aleatorio se repite n veces y uno y sólo uno de los eventos jA  ocurre, y  que las n repeticiones son independientes del experimento, esto es ( ) ,jj pAP = 0≥jp para todo j  y )1(.11=∑=kjjp  Además  supongamos que jp  ( )kj ,,2,1 Κ=  permanece constante durante las n repeticiones del experimento. Bajo estas suposiciones se define la distribución multinomial y se presenta su función de distribución de masa.   En este artículo se encuentra la forma de los puntos que hacen máxima la distribución multinomial.  2.  DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL  La distribución  multinomial es una generalización de la distribución binomial y su definición la presentamos como en [3]. Definición 1 Sea ( )kXX ,,1 Κ  un vector aleatorio tal que se determina en  repeticiones del experimento aleatorio antes mencionado. Sea 1x  el numero de veces que aparece el evento 1A , 2x el numero de veces que aparece el evento 2A , jx  el numero de veces que aparece el evento jA , con .,,1,0 nx j Κ=   Observe que el suceso kA  aparecerá ∑=−kjjxn1veces ya que .1nxkjj =∑= El vector aleatorio, o variable aleatoria k  dimensional antes definido ( )kXX ,,1 Κ  con jj xX =  significa que el suceso jA  ha ocurrido jx  veces nx j ,,1,0 Κ=  recibe el nombre de variable Scientia et Technica Año XV, No 42, Agosto de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira 255 aleatoria multinomial de parámetros kppn ,,, 1 Κ   y se escribirá  ( ) ( ) )2(.,,,,, 11 kk ppnMBXX ΚΚ =  Teorema 2 La función de masa del vector aleatorio ( ) ( )kk ppnMBXX ,,,,, 11 ΚΚ =  será ( ) )3(!!!!,,21211121kxkxxkk xxxpppnxXxXPkΚΚΚ ===  si nxkjj =∑=1 y cero en otro caso. La demostración se puede ver en [1] o en [2].  Observación 3 Recordemos que los términos de la distribución binomial se obtiene del desarrollo de la expresión binomial  ( )( ) ( ) )4(.1110knknkn ppknpp −=−=−+= ∑  De manera análoga, las probabilidades anteriores puden obtenerse de un desarrollo de la expresión multinomial  ( ) )5(.1!!!!210 212121=+++=∑=nknk kxkxxpppxxxpppn kΚΚΚ Demostremos el resultado principal de este articulo, el cual esta planteado en [4], y consiste en caracterizar los puntos máximos de la distribución multinomial de finida anteriormente.  Teorema 4 La probabilidad máxima de la distribución multinomial  ( ) ( )kk ppnMBXX ,,,,, 11 ΚΚ =  es obtenida en los puntos ( )kyy ,,1 Κ  que satisfacen la desigualdad  ( ) )6(.,,2,1;11 kjpknynp jjj Κ=−+≤<−  Demostración Escojamos 21, yy  fijos tales que *21 nyy =+  y *21 ppp =+ .  Queremos calcular ( )kk SRSRSRP === ,,, 2211 Κ  donde *2121 nyySS =+=+  y *21 ppp =+ , { }*,,1,0 nS i Κ∈  para 2,1=i . Sea( ) ( )kk yRyRSnRSRPSf ==−=== ,,,, 331*2111 Κ Para calcular el máximo de f , definimos ( )( )11 1SfSf +=α . ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) .11!!!!!)7(.!!!1!1!11*2132131*131*13121131*131*1≥+−= −−−+=−−−+SSnppppppnyySnSyySnSppppnkkykySnSkkykySnSΚΚΚΚα La expresión anterior es equivalente a  )8(.21211*1 pSpSpnp +≥−  Despejando 1S  obtenemos )9(.1212*1 Spppnp≥+− Llamamos  )10(.1 1212*1*1 ypppnpS =++−=  De aquí  )11(.212*11 pppnpy+−≥  Como *21 nyy =+ ,  entonces ( ) ( ) )12(,2112211 ppypyyp +≤−+  por lo tanto ( )11221 +≤ ypyp . Sin perdida de generalidad tenemos que  ( ) )13(,,2,1,,,1 kjijiypyp ijji Κ=≠+≤  entonces  ( ) ( )( ) )14(111,1,1iikjijjijkjiji pypyyp −+≤+≤ ∑∑≠=≠=por consiguiente  Scientia et Technica Año XV, No 42, Agosto de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira 256 ( )( ) )15(.11,1iikjijji pyyp −+≤∑≠= Como nykjj =∑=1, entonces  ( ) nyykjij =+∑=1, así ( ) ( )( ) )16(.11 iiii pyynp −+≤−   Simplificando la expresión anterior, se obtiene  )17(.1 iiii ypynp <−≤−  Ahora fijando j , ( )( )( ).11)18(1,1,1,1−+−≤−+≤+≤∑∑∑≠=≠=≠=kynpkypypypjjkijiijkjiiijjkjiii De aquí que  ( ) ( ) )19(,11 −+−≤− kynpyp jjjj   Simplificando la expresión anterior obtenemos la desigualdad  ( ) )20(.1−+≤ knpy jj   Finalmente por las ecuaciones )17(  y )20(  se concluye el teorema.  5. CONCLUSIÓN  La probabilidad máxima de la distribución multinomial  se alcanza en un punto ( )kyy ,,1 Κ  donde cada componente satisface una desigualdad donde aparecen los parámetros que determinan  la distribución .  6. BIBLIOGRAFÍA  [1] Paul Meyer. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. Addinson –Wesley Iberoamericana, S. A 1970.  [2] Vicente Quesada y Alfonso Garcia. Lecciones de Calculo de Probabilidad. Días de Santos. 1988.  [3] M. Degroot. Probabilidad y estadistica, Segunda edicion, Addison-Wesley Iberoamericana, S. A. 1988.  [4]  A. N. Shiryaev. Probability. Secod Edition. Academic Press, 1996.            

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Puntos máximos de una distribución multinomial

In this article characterizes the point where the distribution multinomial
achieves the maximum probabilityEn este artículo se caracteriza el punto donde la distribución multinomial alcanza la probabilidad máxima

Marino Ceballos, Docier

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Scientia et Technica Año XV, No 42, Agosto de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701                                                                   254  Fecha de Recepción: 8 de junio de 2009 Fecha de Aceptación: 23 de Agosto de 2009 PUNTOS MÁXIMOS DE UNA DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL  Maximum point of a distribution multinomial   RESUMEN  En este artículo se caracteriza el punto donde la distribución multinomial alcanza la probabilidad máxima.  PALABRAS CLAVES: Probabilidad, Multinomial.  ABSTRACT  In this article characterizes the point where the distribution multinomial achieves the maximum probability  KEYWORDS: Probability, Multinomial.   EDGAR ALIRIO VALENCIA ANGULO Profesor Auxiliar, Magíster en Ciencias Matemáticas Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira  evalencia@utp.edu.co  DOCIER MARINO CEBALLOS Profesor Titular, Magister en Enseñanza de las Matemáticas   Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira dceballos@utp.edu.co   1. INTRODUCCIÓN  Una de las distribuciones más importantes que se estudian en estadística por sus diferentes aplicaciones  es la distribución multinomial. En el estudio de esta distribución, consideramos que tenemos un experimento aleatorio con un espacio de probabilidad ( )P,, ℑΩ  y kAA ,,1 Κ son k  eventos tales que ℑ∈jA  para todo kj ,,2,1 Κ= , Ω=∪=jkjA1 y ≠∩ ji AA Ø para todo ji ≠ , es decir, estos eventos forma una partición de .Ω    Supongamos que el experimento aleatorio se repite n veces y uno y sólo uno de los eventos jA  ocurre, y  que las n repeticiones son independientes del experimento, esto es ( ) ,jj pAP = 0≥jp para todo j  y )1(.11=∑=kjjp  Además  supongamos que jp  ( )kj ,,2,1 Κ=  permanece constante durante las n repeticiones del experimento. Bajo estas suposiciones se define la distribución multinomial y se presenta su función de distribución de masa.   En este artículo se encuentra la forma de los puntos que hacen máxima la distribución multinomial.  2.  DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL  La distribución  multinomial es una generalización de la distribución binomial y su definición la presentamos como en [3]. Definición 1 Sea ( )kXX ,,1 Κ  un vector aleatorio tal que se determina en n  repeticiones del experimento aleatorio antes mencionado. Sea 1x  el numero de veces que aparece el evento 1A , 2x el numero de veces que aparece el evento 2A , jx  el numero de veces que aparece el evento jA , con .,,1,0 nx j Κ=   Observe que el suceso kA  aparecerá ∑=−kjjxn1veces ya que .1nxkjj =∑= El vector aleatorio, o variable aleatoria k  dimensional antes definido ( )kXX ,,1 Κ  con jj xX =  significa que el suceso jA  ha ocurrido jx  veces nx j ,,1,0 Κ=  recibe el nombre de variable Scientia et Technica Año XV, No 42, Agosto de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira 255 aleatoria multinomial de parámetros kppn ,,, 1 Κ   y se escribirá  ( ) ( ) )2(.,,,,, 11 kk ppnMBXX ΚΚ =  Teorema 2 La función de masa del vector aleatorio ( ) ( )kk ppnMBXX ,,,,, 11 ΚΚ =  será ( ) )3(!!!!,,21211121kxkxxkkxxxpppnxXxXPkΚΚΚ ===  si nxkjj =∑=1 y cero en otro caso. La demostración se puede ver en [1] o en [2].  Observación 3 Recordemos que los términos de la distribución binomial se obtiene del desarrollo de la expresión binomial  ( )( ) ( ) )4(.1110knknkn ppknpp −=−=−+= ∑  De manera análoga, las probabilidades anteriores pueden obtenerse de un desarrollo de la expresión multinomial  ( ) )5(.1!!!!210 212121=+++=∑=nknk kxkxxpppxxxpppn k ΚΚΚ Demostremos el resultado principal de este articulo, el cual esta planteado en [4], y consiste en caracterizar los puntos máximos de la distribución multinomial de finida anteriormente.  Teorema 4 La probabilidad máxima de la distribución multinomial  ( ) ( )kk ppnMBXX ,,,,, 11 ΚΚ =  es obtenida en los puntos ( )kyy ,,1 Κ  que satisfacen la desigualdad  ( ) )6(.,,2,1;11 kjpknynp jjj Κ=−+≤<−  Demostración Escojamos 21 , yy  fijos tales que *21 nyy =+  y *21 ppp =+ .  Queremos calcular ( )kk SRSRSRP === ,,, 2211 Κ  donde *2121 nyySS =+=+  y *21 ppp =+ , { }*,,1,0 nS i Κ∈  para 2,1=i . Sea( ) ( )kk yRyRSnRSRPSf ==−=== ,,,, 331*2111 Κ Para calcular el máximo de f , definimos ( )( )11 1SfSf +=α . ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) .11!!!!!)7(.!!!1!1!11*2132131*131*13121131*131*1≥+−=−−−+=−−−+SSnppppppnyySnSyySnSppppnkkykySnSkkykySnSΚΚΚΚα La expresión anterior es equivalente a  )8(.21211*1 pSpSpnp +≥−  Despejando 1S  obtenemos )9(.1212*1 Spppnp≥+− Llamamos  )10(.1 1212*1*1 ypppnpS =++−=  De aquí  )11(.212*11 pppnpy+−≥  Como *21 nyy =+ ,  entonces ( ) ( ) )12(,2112211 ppypyyp +≤−+  por lo tanto ( )11221 +≤ ypyp . Sin perdida de generalidad tenemos que  ( ) )13(,,2,1,,,1 kjijiypyp ijji Κ=≠+≤  entonces  ( ) ( )( ) )14(111,1,1iikjijjijkjiji pypyyp −+≤+≤ ∑∑≠=≠=por consiguiente  Scientia et Technica Año XV, No 42, Agosto de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira 256 ( )( ) )15(.11,1iikjijji pyyp −+≤∑≠= Como nykjj =∑=1, entonces  ( ) nyykjij =+∑=1, así ( ) ( )( ) )16(.11 iiii pyynp −+≤−   Simplificando la expresión anterior, se obtiene  )17(.1 iiii ypynp <−≤−  Ahora fijando j , ( )( )( ).11)18(1,1,1,1−+−≤−+≤+≤∑∑∑≠=≠=≠=kynpkypypypjjkijiijkjiiijjkjiii De aquí que  ( ) ( ) )19(,11 −+−≤− kynpyp jjjj   Simplificando la expresión anterior obtenemos la desigualdad  ( ) )20(.1−+≤ knpy jj   Finalmente por las ecuaciones )17(  y )20(  se concluye el teorema.  5. CONCLUSIÓN  La probabilidad máxima de la distribución multinomial  se alcanza en un punto ( )kyy ,,1 Κ  donde cada componente satisface una desigualdad donde aparecen los parámetros que determinan  la distribución .  6. BIBLIOGRAFÍA  [1] Paul Meyer. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. Addinson –Wesley Iberoamericana, S. A 1970.  [2] Vicente Quesada y Alfonso Garcia. Lecciones de Calculo de Probabilidad. Días de Santos. 1988.  [3] M. Degroot. Probabilidad y estadistica, Segunda edicion, Addison-Wesley Iberoamericana, S. A. 1988.  [4]  A. N. Shiryaev. Probability. Secod Edition. Academic Press, 1996.            

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