Yohei Tanaka

田中 洋平

田中, 洋平

タナカ, ヨウヘイ

Tanaka, Yohei

Open Access Collection of International and Scholarly Papers

算術幾何平均について著者 田中 洋平雑誌名 東京商船大学研究報告. 自然科学巻 51ページ 11-13発行年 2000URL http://id.nii.ac.jp/1342/00000554/(in田中　洋平算術幾何平均についてOn the arithmetic-geometric meanYohei TANAKAAbstractLet M(a,b) be the arithmetic一geometric mean of a and b. And put f(z) - 1/M(l,節).It is well-known that f(z) is equal to the hypergeometric function F(圭, 2, 1; z). In this paper,we shall deduce this fact directly from a functional equation for f{z).1　算術幾何平均と超幾何関数実部が正の2つの複素数aとbに対して、その算術幾何平均をM(a,b)と表す。即ち、数列{an}と(Mを漸化式(an　=　a"n+1 -an+Kbo-bbn+l-偏　(n-0,1,2,...)(1)で定めると{an}と(Mは同じ値に収束するので、この共通の極限値をM(a,b)とする.ただし、 (1)中の平方根は実部が正になる分枝を選ぶ。M(a,b)の定め方から〟1,1　- 1M(b,a) -　M(a,b)M(ca,cb) -　cM(a,b)M(空呈,諭) - M(a,b)(2)(3)(4)(5)が成立する。また、複素変数a,bの関数としてM{a,b)は正則関数になるOそこで、回<1となる複素数Zに対して/*　-m(i, v/tz:^)と正則関数/(*)を定める　M(a,b)に関する関数等式から次がわかる。命題1. /(O)-1で, /(*)は関数等式/(*)-(!-*)去/(<?(*))を満たす。ここで,9(z)-1-((トz)4+(!-*)-去(6)(7)(8)とする。1'i:丈_MC9 Hilり日まけ(12)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　田中洋平証臥/(O)-1は(2)より明らか。 (3),(4),(5)より,M(l,応) -　M(なので,関数等式(7)が成り立つ。i + vTこて(l -z)iM(l,,新二寺)(!-*)-+(!-I)吉Gaussは算術幾何平均と楕円積分の間の関係を発見し、それをもとに超幾何関数の研究-と進んでいった([lCh.9)。即ち、 z¥<1のとき、dtV/(トt*)(l-zt2) M(l,の二寺)(9)となる。そして、左辺の楕円積分は積分は超幾何関数F(去.5,1;*) tこ等しくなる.ここで、パラメタ-α,β,7(ただし、 7は0以下の整数ではないとする。 )に対して、べき級数告α(α+1)-(α+n-1)β(β+1)-・(β+n-1)n!7(7+1)・・・(7+n-1)znで定義される関数F(α,P,r,z)を(Gaussの)超幾何関数と呼ぶ.つまり、 Gaussは楕円積分の研究を通じて次の定理を得た。定理2・回<1に対して、f(z) -F(吉,ii;z)が成り立つ。ここでは楕円積分を経由しないで、定理2を関数等式(7)から直接導く証明を与える。2　定理の証明超幾何関数F(z) -F(α,β,r,z)は、 Izl < 1で正則、 F(0)-1かつ次の超幾何微分方程式を満たす関数として特徴付けられるoz(l-z)芸F{z)+{7-(α+。+l)z}孟F(z)-αβF(z)-0従って、 1(0)-1はわかっているので、 /(*)-F(吉,h,l;z)を示すには、z(l-z)芸f(z)+(l-2z)孟/(*)一芸/(*) -Oがいえればよい。そこで、式(10)の左辺をn(z)とおく。補題3.n(z)--z(l-z声n(g(z))(10)(ll)が成り立つ。算術幾何平均について　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13)この補題からn(z)-0が分かり、定理が証明される。実際、 n(z)≠0と仮定して、 I-0におけるn(z)の位数をmとする　9(0)-0よりn(g(z))の位数はm以上なので式(ll)の右辺の位数はm+1以上になり左辺の位数mと異なり矛盾する。あとは補題を証明すればよい。補題の証明.式(8)の微分g′(z)--(1-zYを用いて関数等式(7)の両辺の微分を計算すると、/(*　-/'(*) -/"(*) -となる。これからn(z)となる。一方であるが、(1-Z声/(<?(*))一芸(1-z)一言f'(g{z))+去(l-z)-f(g(z))孟(1-z)--134/〟(s(*)巨岩(1功一等f'(g(z))+孟(1-*)-/(s(*))z{¥ -z)芸/(*)+(! -2Z)孟/(*)一芸/(*)3′.　一旦rllI.I、、 I(2-I)志(ト*)-*/〟(o(z))(トz)^f'{g{z)ト孟(1 - I)-吾/(<?(*))n(g(z)) -g(z){l一g(z))f"(g(z)) + (l -2g(z))f'(g(z))一芸/(s(*))g(z){l-g(z)) -1 - 2g(z)¥l-z)-116(2-z){¥-I)一書なので上の式と比較して補題の関係式(ll)の成り立つことがわかる。参考文献[1] D. Husemoller, Elliptic Curves, (Springer-Verlag, 1987)

算術幾何平均について

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On the arithmetic-geometric mean

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