On the range and topological properties of some nonlinear operators

Abstract

Estudiamos el siguiente tipo de problemas de segundo orden: u"= g(x,u) + p(x) x ∈ 2 (a,b)⊂R, where g ∈ C([a,b] X R^N,R^N). El objetivo principal de esta tesis es estudiar, bajo distintas condiciones de contorno, qué funciones p ∈ L^2((a,b),R^N) garantizan la existencia de solución. Donde la definición de solución sería dada en cada caso. En otras palabras, analizamos la imagen del operador semilineal S(u) := u"-g(x,u), considerado como un operador continuo de H ⊂ H^2((a,b),R^N) to L^2((a,b),R^N), donde H es un subespacio cerrado que depende de las condiciones de contorno. En primer lugar, estudiamos problemas resonantes bajo condiciones periódicas, que generalizan, por un lado, la ecuación del péndulo forzado y, por otro, las condiciones de Landesman-Lazer. Consideramos el caso variacional S(u) = u"-∇G(u), para el cual logramos caracterizar Im(S) y dar algunas de sus propiedades topológicas. En segundo lugar, estudiamos problemas con condiciones de contorno de radiación, es decir, u'(0) = a0u(0), u'(1) = a1u(1), con a0,a1 > 0. Encontramos una condición de Hartman generalizada que garantiza existencia de solución. En particular, si g es superlineal, probamos que el operador S es suryectivo. Para este caso, estudiamos también condiciones necesarias y suficientes para la unicidad o multiplicidad de soluciones. Logramos obtener resultados más precisos para el caso N = 1 empleando métodos topológicos y variacionales y Teorema de la Función Implícita.We study the following type of second order problems: u"= g(x,u) + p(x) x ∈ 2 (a,b)⊂R, where g ∈ C([a,b] X R^N,R^N). The thesis is devoted to the following problem: which functions p ∈ L^2((a,b),R^N) guarantee the existence of solution under different boundary conditions? Where, in each case, the definition of solution will be given. In other words, we try to characterize and prove different properties of the range of the semilinear operator S(u) := u"-g(x,u), regarded as a continuous function from H ⊂ H^2((a,b),R^N) to L^2((a,b),R^N), where H is a closed subspace depending on the boundary conditions. Firstly, we study resonant periodic problems that generalize, on the one hand, the forced pendulum equation and, on the other hand, the Landesman-Lazer conditions. For the variational case S(u) = u"-∇G(u) we give a characterization of the set Im(S) and prove some of its topological properties. Secondly, we consider the so-called radiation boundary conditions, namely u'(0) = a0u(0), u'(1) = a1u(1), with a0,a1 > 0. We obtain a generalized Hartman condition that ensures the existence of solution. In particular, if g is a superlinear function, we prove that S is onto. For this case, we study sufficient and necessary conditions for uniqueness or multiplicity of solutions. More accurate results are obtained for the scalar case N = 1, using variational and topological methods and Implicit Function Theorem.Fil:Kuna, Mariel Paula. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina