Na Parte 2 do Eurocódigo 5 é proposto, para tipologias correntes, um processo simplificado de verificação do estado-limite de vibração para pontes de madeira sujeitas à acção de grupos de peões, o qual utiliza estimativas do valor máximo da aceleração no tabuleiro.
Neste trabalho procede-se à comparação entre os valores determinados por esse método e os obtidos por análise dinâmica de modelos numéricos de Elementos Finitos, sob a acção de grupos de peões de dimensão e frequência de passada variáveis.
Descrevem-se ainda os modelos probabilísticos utilizados na geração do carregamento dinâmico correspondente a estes grupos

Negrão, João H. O.

Rebelo, Carlos A.S.

Rigueiro, Constança

Repositório do Instituto Politécnico de Castelo Branco

COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PONTES PEDONAIS DE MADEIRA   Rigueiro, Constança S. Instituto Politécnico de Castelo Branco, Departamento de Engenharia Civil, Portugal  Negrão, João H. O. Universidade de Coimbra, Departamento de Engenharia Civil, Portugal  Rebelo, Carlos A.S.  Universidade de Coimbra, Departamento de Engenharia Civil, Portugal         RESUMO Na Parte 2 do Eurocódigo 5 é proposto, para tipologias correntes, um processo simplificado de verificação do estado-limite de vibração para pontes de madeira sujeitas à acção de grupos de peões, o qual utiliza estimativas do valor máximo da aceleração no tabuleiro. Neste trabalho procede-se à comparação entre os valores determinados por esse método e os obtidos por análise dinâmica de modelos numéricos de Elementos Finitos, sob a acção de grupos de peões de dimensão e frequência de passada variáveis. Descrevem-se ainda os modelos probabilísticos utilizados na geração do carregamento dinâmico correspondente a estes grupos.  1. INTRODUÇÃO A madeira e os materiais estruturais dela derivados, nomeadamente a madeira lamelada colada, têm sido usados com sucesso na construção de pontes pedonais ou de tráfego ligeiro, de pequeno a médio vão. Contudo, os baixos peso e módulo de elasticidade deste material estrutural podem originar alguns problemas de vibrações em estruturas sujeitas a acções dinâmicas, em especial quando sujeitas à acção sincronizada de peões.  A Norma Europeia ENV1995-2 (1997), vulgo EC5-2, sugere procedimentos simplificados de análise e verificação do estado limite de serviço de vibração em tipologias estruturais simples, como sejam as pontes com vãos simplesmente apoiados ou contínuos, no caso de acções originadas pela travessia de peões ou veículos. A metodologia proposta consubstancia-se em fórmulas herméticas que não são intuitivas para o projectista comum. Além disso, na nova versão da norma, ainda em fase de discussão, será removida uma parte significativa daqueles procedimentos, introduzindo lacunas de informação adicionais.  O critério de verificação do estado-limite de vibração preconizado no EC5-2 consiste na limitação do valor máximo da aceleração experimentada em qualquer ponto do tabuleiro, tendo por objectivo assegurar níveis de conforto adequados e a redução do risco de fadiga de elementos estruturais.  Este estudo tem por objectivo comparar os resultados obtidos pelo método simplificado referido com os que resultam de uma análise dinâmica passo-a-passo. Acessoriamente e quando aplicáveis, apresentam-se ainda os resultados obtidos por aplicação de outras normas ou trabalhos da especialidade.  Com vista à realização da análise dinâmica, foi necessário proceder à geração de carregamentos dinâmicos correspondentes à passagem aleatória de um peão ou de grupos de peões no tabuleiro. Nas secções 2 a 4 é descrito e fundamentado o procedimento utilizado para este efeito.   2. MODELO DA ACÇÃO DO PEÃO A caracterização da acção do peão envolve essencialmente formas de movimento como o andar, correr e salto rítmico. No contexto deste trabalho tem particular interesse analisar as formas de movimento mais representativas das actividades que podem ocorrer numa ponte para peões tal como o andar e o correr. No entanto, deve também considerar-se a situação de salto rítmico que poderá assumir importância em situações de vandalismo. Para a análise do comportamento dinâmico das pontes pedonais quando sujeitas às acções devidas à passagem de peões, consideraram-se funções de carga, que reproduzem a variação da força transmitida pelo peão ao pavimento ao longo do tempo. Nestas funções intervêm diversos factores cuja caracterização é importante, tal como a frequência da passada, a velocidade do movimento e o comprimento da passada (Bachman & Ammann, 1987)   2.1. Acção individual A função de carga pode, em geral, ser definida utilizando o desenvolvimento em série de Fourier,  ( )1( ) sin 2Np i siF t G G if t iα π φ== + −∑  (1)  onde G representa o peso do peão tipo, iGα a amplitude da i-ésima harmónica, iφ o respectivo ângulo de fase relativamente à primeira harmónica, i o número de ordem dos termos da série e N o número total de harmónicas consideradas, em geral, três. Os coeficientes de Fourier iα  podem tomar os valores dados no quadro 1 de acordo com o tipo de movimento considerado. Existe uma zona de sobreposição entre 2 e 2.5 Hz em que qualquer dos tipos de movimento é possível, sendo que, nesses casos, é normalmente mais desfavorável considerar a corrida ou salto rítmico por originar maiores coeficientes dinâmicos. A função de carga para estes tipos de movimento é diferente do primeiro tipo, pois apenas apresenta um máximo que equivale ao contacto do pé com o pavimento, podendo ser, por isso, modelada como uma sequência periódica de impulsos com forma triangular ou semi-sinusoidal em que tc é o tempo de duração do impulso (tempo de contacto com o pavimento).   Quadro 1 – Coeficientes de Fourier das três primeiras harmónicas Tipo de movimento Modelo no domínio do tempo Intervalo Frequências 1α  2α  3α  Hzf s 5,11 ≤<  38,043,0 −sf  0,1 0,1 Andar  Hzf s 5,25,1 ≤<  38,043,0 −sf  125,015,0 −sf  0,1 Modelo triangular ( )( )21 cos4 s cis ci f ti f tπα π−=  Corrida ou salto rítmico Modelo de semi-seno 2,0 4,0sf Hz≤ ≤ ( )( )2cos21 2s cis ci f tif tπα =−  Relativamente  aos ângulos  de fase  Bachmann  &  Ammann  (1987)  sugerem que se tome  φ 1=0, φ 2= φ 3= π/2. No entanto, a consideração dos ângulos de fase não terá, em geral, interesse, a não ser nas situações em que a resposta se não encontrar dominada pela ressonância numa das harmónicas da carga, o que não será, em princípio, a regra.  A relação entre o tempo de contacto pé-pavimento, tc, e o período da passada Tp=1/fs  pode ser obtido da relação dada na figura 1. A comparação dos primeiro e segundo coeficientes de Fourier para os dois tipos de movimento e de modelos no domínio do tempo é feita na figura 2. Verifica-se que para frequências baixas até cerca de 2.0Hz a acção dinâmica é consideravelmente mais baixa do que para valores mais elevados de frequência.    tc = 1.8fs-2.0500.10.20.30.40.50.61.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5Frequência fs [Hz]Tempo de Contacto tc [seg] Figura 1: Tempo de contacto com o pavimento tc  2.2. Sobreposição espacial das acções individuais O efeito resultante da existência de mais de uma pessoa sobre a estrutura foi calculado através do desenvolvimento de um programa de cálculo que considera a sobreposição dos efeitos individuais. De acordo com Matsumoto et al (1978) a distribuição das frequências da passada de peões sobre pontes pedonais pode ser aproximada através de uma distribuição normal de valor médio 2,0Hz e desvio padrão 0,18Hz. Não existindo estudos publicados sobre a variação das frequências de corrida, foi utilizada a mesma função de distribuição para este tipo de movimento.   0.00.51.01.52.01 2 3 4 5Frequência fs [Hz]Coef. FourierCoeficiente de Fourier α1Coeficiente de Fourier α2 Figura 2: Comparação dos coeficientes de Fourier das duas primeiras harmónicas para os dois tipos de movimentos e modelos de descrição no tempo.   De acordo com o a prEN1991-2 (2001), vulgo EC1 para além da acção individual, consideram-se dois tipos de acção dinâmica: a acção originada por um grupo de peões, cerca de 10, e a originada por uma corrente contínua de peões sobre a estrutura. Consideram-se nesta sobreposição de acções individuais, as distribuições estatística referida para o valor da frequência de passada, e que se representa na figura 3-a.    0.01.02.03.01 1.5 2 2.5 3fs [Hz]Densidade Prob.         0.00.20.40 5Intervalo de tempo entre peões [seg]Densidade Prob.10                            (a)                                                                                           (b) Figura 3 – a) Função densidade de probabilidade das frequências e b) Função densidade de probabilidade para o intervalo de tempo entre peões  Admitiu-se também que o intervalo de tempo entre cada peão que chega à ponte segue uma distribuição exponencial, por forma a que a densidade máxima de peões sobre a estrutura seja 1.5 pessoas/m2.  Admitindo que a posição de entrada dos peões num passadiço tem tendência para se realizar pela direita, foi considerada, para esta variável, uma distribuição triangular com valor médio a um quarto da largura do passadiço.   3. VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE VIBRAÇÃO EM PONTES PEDONAIS As pontes pedonais são frequentemente definidas por tabuleiros com um ou vários vãos contínuos, cuja frequência própria fundamental ou frequências próprias superiores podem ser excitadas em ressonância através do movimento dos peões.  Considerando a distribuição estatística da frequência anteriormente referida, para o movimento do peão a andar, o maior risco de excitação para a direcção vertical situa-se, para a frequência fundamental, no intervalo entre 1,6 e 2,4 Hz. Se tivermos em conta a possibilidade de ressonância da segunda harmónica da carga (até cerca de 4.8Hz), podemos estipular como regra que, para estruturas com frequências fundamentais acima de 5Hz não serão de considerar estados limites de vibração.  No entanto, atendendo aos condicionalismos, principalmente estéticos, as estruturas apresentam, em muitos casos, frequências próprias inferiores àquela, pelo que se afigura importante ter critérios de dimensionamento para a verificação das vibrações. Estes critérios baseiam-se normalmente na limitação dos valores da aceleração máxima.   3.1. Valores máximos de aceleração de acordo com o EC5 e EC1 Tanto o EC1 como o EC5 indicam expressões de cálculo da aceleração máxima vertical devida à passagem de um peão ou um grupo de peões sobre o passadiço. No caso do EC5 o procedimento de cálculo para um grupo de peões encontra-se sumariado na expressão (2) em que M m l b= × ×  representa a massa total do tabuleiro, sendo o vão da ponte, b a sua largura e m a massa por unidade de área. Nessa mesma expressão, lζ  é o coeficiente de amortecimento viscoso, n o número de passos necessários para atravessar a ponte,  tem em conta a configuração da estrutura (Quadro 2) e  tem em conta a frequência fundamental (Figura 4).  aK ,kvert f  2max, ,1165nvert vert f aea k KMπζζ−−=  (2)   Quadro 2 – Factor ka para diferentes esquemas estruturais1  Relação entre vãos L1/L  2 vãos contínuos 3 vãos contínuos 1,0 0,7 0,6 0,8 - 0,8 0,6 - 0,9                                                   1 =1 para tabuleiros simplesmente apoiados. aK0.01.02.03.00 1 2 3 4 5f vertk vert,f0.01.02.03.00 1 2 3 4 5f v [Hz]Kv                                           (a)                                                                                (b) Figura 4 – Relação entre o coeficiente e a frequência fundamental  dada no EC5(a) e no EC1(b) fvertK , vertf Para a determinação do efeito da passagem de uma corrente de peões sobre a ponte aplica-se a seguinte expressão:  2max, ,1165 0,027nvert vert f aea lbk KMπζζ−−= ×  (3)  O EC1 apresenta uma expressão idêntica às anteriores, com pequenas alterações nos coeficientes a utilizar. A expressão (4) serve, pois, para a determinação da aceleração numa ponte com um vão devido à passagem de um grupo de peões e nela, o coeficiente kv é obtido do gráfico da figura 4 e as restantes variáveis assumem as definições atrás referidas. 2max,1210nvert vea KMπζζ−−=  (4)  3.2. Critérios de conforto para verificação do E.L. vibração Investigações sobre a percepção e a tolerância do homem à vibração em diversos meios têm permitido o estabelecimento de critérios de segurança em pontes pedonais, nomeadamente no que respeita ao nível de aceleração vertical que o peão tolera. Os valores indicados pelas várias normas encontram-se sumariados seguidamente e comparados na figura 5:  • O EC5 impõe  para estruturas cuja frequência fundamental seja inferior a 5Hz.  2max, 0,7( / )verta m≤ ssm s• A norma Britânica BS5400 (1978) impõe  para a aceleração máxima em condições de serviço, para estruturas cuja frequência fundamental seja inferior a 5Hz, sendo a frequência fundamental da estrutura.  0,5 2max, 10,5 ( / )verta f m≤1f• A norma canadiana ONT (1983) é mais conservadora, apresentando o critério  0,78 2max, 10,25 ( / )verta f≤0.00.51.01.50 1 2 3 4 5fs [Hz]a max [m/s2 ]BS5400ONT  83EC5 Figura 5 – Relação entre as diferentes expressões que limitam a  aceleração em termos de conforto  Verifica-se uma discrepância relativamente pequena entre as várias normas, tendo em conta que critérios deste tipo são sempre altamente subjectivos.  4. EXEMPLOS DE CÁLCULO 4.1. Modelos estruturais A metodologia descrita foi aplicada na análise dinâmica de dois modelos de ponte pedonal, correspondentes às tipologias simplesmente apoiada e contínua com dois tramos iguais. Pretendendo-se estender o estudo, futuramente, ao modelo contínuo de vários tramos e a tipologias ainda não contempladas no EC5:Parte 2 (arcos e sistemas atirantados, nomeadamente), foi considerado um vão de 30m  porque, se bem que próximo do limite exequível para um vão simples, este valor corresponderá a soluções correntes para aquelas geometrias. A secção transversal do tabuleiro é representada na Figura 6, para o caso simplesmente apoiado. Para o tabuleiro contínuo de dois tramos, a altura de secção das longarinas é de 750mm, mantendo-se os restantes dados inalterados.   Longarinas 135 x 15003000Carlingas 100 x 300 //1500 Figura 6 – Secção transversal do tabuleiro simplesmente apoiado  Por forma a tornar as respostas comparáveis, procedeu-se ao dimensionamento das duas soluções estruturais para idênticas condições de serviço. As longarinas e carlingas são produzidas em glulam da classe GL24h, segundo a NPEN1194 (2002). Considerou-se a classe de serviço 2, nos termos da Parte 1 do EC5. Numa situação de projecto real, a dificuldade de colocação dos elementos estruturais sob coberto resultaria na necessidade de consideração de classe 3. Esse condicionalismo é, no entanto, irrelevante neste estudo. Admitiu-se, para além do peso próprio, a actuação de uma sobrecarga uniformemente distribuída de 3kN/m2, com carácter variável de curta duração.  Para geração dos ficheiros de carregamento dinâmico, considerou-se um passo no tempo de 0,05s. Na integração das equações de movimento foi utilizado o método de Newmark, com passo de 0,01s. Dada a diferença de passos para definição da carga e para a integração, procedeu-se a interpolação linear para avaliação do carregamento dinâmico em instantes intermédios (isto é, não múltiplos de 0,05). O coeficiente de amortecimento utilizado foi de 1%, conforme recomendado pelo EC5-2.   4.2. Comparação de Resultados Neste item pretende-se efectuar a comparação entre as acelerações obtidas para a viga simplesmente apoiada e para a viga contínua de 2 tramos, utilizando a bibliografia existente e a Regulamentação apresentada. Para tal também se calcula a resposta máxima utilizando um método simplificado adoptado pela norma Britânica BS 5400 (1978) e pela norma canadiana ONT (1983). Este método determina a aceleração vertical devido à passagem de um peão sobre a estrutura com a frequência de passo igual à frequência fundamental com base na seguinte expressão:  1f )/(4 2212. smkyfamáx Ψ××××= π  (11)  em que é o deslocamento estático verificado a meio vão devido à acção de um peão tipo nessa secção, é um coeficiente que tem em conta a geometria da estrutura (ver Quadro 2) e é o factor de amplificação dinâmica. ykΨOutro método para o cálculo da aceleração máxima em pontes pedonais foi apresentado por Pernica (1990) sendo semelhante ao anterior.  Nas Figuras 7a e 7b apresentam-se os registos de aceleração vertical, referentes às secções de meio vão (15m para a VSA e 7,5m para a VC2T) e a frequências de marcha, para o caso de 1 peão, iguais às dos respectivos modos fundamentais (0,89Hz e 1,21Hz, respectivamente).   (a)   (b) Figura 7 – Registo de acelerações – 1 peão Nas Figuras 8a e 8b apresentam-se registos similares, referentes agora à situação de uma corrente contínua de peões.   (a)   (b) Figura 8 – Registo de acelerações – Corrente contínua de peões  Quadro 3 – Acelerações máximas previstas e calculadas (m/s2)   ENV 1995-2 prEN 1995-2 BS 5400 Pernica Draft prEN1991-2 Modelo 1 peão (f=f1=0,89Hz) - 3,700 0,118 (3) - 0,014 10 peões 2,670 2,800 - - 3,220 0,200 VSA(1)Contínuo 6,500 16,850 - - - 0,370 1 peão (f=f1=1,21Hz) - - 0,188 0,189 - 0,049 10 peões 9,070 - - - 11,820 0,440 VC2T(2)Contínuo 11,02 - - - - 0,810 (1) Viga Simplesmente Apoiada    (2) Viga Contínua de 2 Tramos (3)      f1 está fora da gama aplicável de frequências   5. CONCLUSÕES As grandes discrepâncias, patentes no Quadro 3, entre os valores calculados e os valores aproximados propostos por várias fontes, sendo estes uma ordem de grandeza superiores àqueles, sugerem que as normas mais recentes têm vindo a penalizar substancialmente a verificação de estados limites de vibração em pontes pedonais. Quando comparados com os resultados de uma análise dinâmica nos exemplos expostos, em que se têm em conta as situações de passo e marcha mais comuns em passadiços de peões, as conclusões são semelhantes.  Embora seja de esperar, em certos casos, que a sincronização de movimentos com a vibração da estrutura possam agravar os resultados obtidos com os modelos de carga expostos, esse agravamento deveria estar de alguma forma explícito nas expressões que são indicadas, tanto no EC5 como no EC1, o que não acontece. Também a situação limite provável, correspondente à resposta ressonante a grupos de peões em posições fixas, saltando sincronizadamente deveria estar explícita nos referidos códigos.   6. REFERÊNCIAS Bachmann, H. e Ammann, W., 1987 – Vibrations in Strutures Induced by Man and Machines, Journal of IABSE, Structural Engineering International, vol 5, nº1. British Standards Institution, 1978, BS5400, Part 2, Appendix C, Vibration Serviceability Requirements for Foot and Cycle Track Bridges.  prEN 1991-2 (Draft stage 34) – General actions – Traffic loads on bridges; Annex X (informative) Dynamic models of pedestrian loads. (August 2001) ENV 1995-2:1997 – Eurocode 5: Design of timber structures – Part 2: Bridges prEN 1995 (Draft stage 34) – Eurocode 5: Design of timber structures – Part 2: Bridges Matsumoto, Y., Nishioka, T. Shiojiri, H. Matsuzaki, K., 1978, Dynamic Design of Footbridges, IABSE Proceedings, P-17/78, pp.1-15.  Ontario Highway Bridge Design Code. 1983, Ontario Ministry of Transportation, Toronto.  Pernica, G. – Dynamic load factors for Pedestrian movements and rhythmic exercices, Canadian Acoustics, pp 18, 2, 3-18,1990.  NPEN1194:2002 - Estruturas de madeira - Madeira lamelada-colada - Classes de resistência e determinação dos valores característicos.  

Comportamento dinâmico de pontes pedonais de madeira

Repositório Científico do Instituto Politécnico de Castelo Branco

COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PONTES PEDONAIS DE 
MADEIRA 
 
 
Rigueiro, Constança S. 
Instituto Politécnico de Castelo Branco, Departamento de Engenharia Civil, Portugal 
 
Negrão, João H. O. 
Universidade de Coimbra, Departamento de Engenharia Civil, Portugal 
 
Rebelo, Carlos A.S.  
Universidade de Coimbra, Departamento de Engenharia Civil, Portugal 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
Na Parte 2 do Eurocódigo 5 é proposto, para tipologias correntes, um processo simplificado 
de verificação do estado-limite de vibração para pontes de madeira sujeitas à acção de grupos 
de peões, o qual utiliza estimativas do valor máximo da aceleração no tabuleiro. 
Neste trabalho procede-se à comparação entre os valores determinados por esse método e 
os obtidos por análise dinâmica de modelos numéricos de Elementos Finitos, sob a acção de 
grupos de peões de dimensão e frequência de passada variáveis. 
Descrevem-se ainda os modelos probabilísticos utilizados na geração do carregamento 
dinâmico correspondente a estes grupos. 
 
1. INTRODUÇÃO 
A madeira e os materiais estruturais dela derivados, nomeadamente a madeira lamelada 
colada, têm sido usados com sucesso na construção de pontes pedonais ou de tráfego ligeiro, 
de pequeno a médio vão. 
Contudo, os baixos peso e módulo de elasticidade deste material estrutural podem originar 
alguns problemas de vibrações em estruturas sujeitas a acções dinâmicas, em especial quando 
sujeitas à acção sincronizada de peões.  
A Norma Europeia ENV1995-2 (1997), vulgo EC5-2, sugere procedimentos simplificados 
de análise e verificação do estado limite de serviço de vibração em tipologias estruturais 
simples, como sejam as pontes com vãos simplesmente apoiados ou contínuos, no caso de 
acções originadas pela travessia de peões ou veículos. A metodologia proposta 
consubstancia-se em fórmulas herméticas que não são intuitivas para o projectista comum. 
Além disso, na nova versão da norma, ainda em fase de discussão, será removida uma parte 
significativa daqueles procedimentos, introduzindo lacunas de informação adicionais.  
O critério de verificação do estado-limite de vibração preconizado no EC5-2 consiste na 
limitação do valor máximo da aceleração experimentada em qualquer ponto do tabuleiro, 
tendo por objectivo assegurar níveis de conforto adequados e a redução do risco de fadiga de 
elementos estruturais.  
Este estudo tem por objectivo comparar os resultados obtidos pelo método simplificado 
referido com os que resultam de uma análise dinâmica passo-a-passo. Acessoriamente e 
quando aplicáveis, apresentam-se ainda os resultados obtidos por aplicação de outras normas 
ou trabalhos da especialidade.  
Com vista à realização da análise dinâmica, foi necessário proceder à geração de 
carregamentos dinâmicos correspondentes à passagem aleatória de um peão ou de grupos de 
peões no tabuleiro. Nas secções 2 a 4 é descrito e fundamentado o procedimento utilizado 
para este efeito.  
 
2. MODELO DA ACÇÃO DO PEÃO 
A caracterização da acção do peão envolve essencialmente formas de movimento como o 
andar, correr e salto rítmico. No contexto deste trabalho tem particular interesse analisar as 
formas de movimento mais representativas das actividades que podem ocorrer numa ponte 
para peões tal como o andar e o correr. No entanto, deve também considerar-se a situação de 
salto rítmico que poderá assumir importância em situações de vandalismo. 
Para a análise do comportamento dinâmico das pontes pedonais quando sujeitas às acções 
devidas à passagem de peões, consideraram-se funções de carga, que reproduzem a variação 
da força transmitida pelo peão ao pavimento ao longo do tempo. Nestas funções intervêm 
diversos factores cuja caracterização é importante, tal como a frequência da passada, a 
velocidade do movimento e o comprimento da passada (Bachman & Ammann, 1987)  
 
2.1. Acção individual 
A função de carga pode, em geral, ser definida utilizando o desenvolvimento em série de 
Fourier, 
 
( )
1
( ) sin 2
N
p i s
i
F t G G if t iα π φ== + −∑  (1) 
 
onde G representa o peso do peão tipo, iGα a amplitude da i-ésima harmónica, iφ o 
respectivo ângulo de fase relativamente à primeira harmónica, i o número de ordem dos 
termos da série e N o número total de harmónicas consideradas, em geral, três. 
Os coeficientes de Fourier iα  podem tomar os valores dados no quadro 1 de acordo com o 
tipo de movimento considerado. Existe uma zona de sobreposição entre 2 e 2.5 Hz em que 
qualquer dos tipos de movimento é possível, sendo que, nesses casos, é normalmente mais 
desfavorável considerar a corrida ou salto rítmico por originar maiores coeficientes 
dinâmicos. A função de carga para estes tipos de movimento é diferente do primeiro tipo, 
pois apenas apresenta um máximo que equivale ao contacto do pé com o pavimento, podendo 
ser, por isso, modelada como uma sequência periódica de impulsos com forma triangular ou 
semi-sinusoidal em que tc é o tempo de duração do impulso (tempo de contacto com o 
pavimento).  
 
Quadro 1 – Coeficientes de Fourier das três primeiras harmónicas 
Tipo de 
movimento 
Modelo no 
domínio 
do tempo 
Intervalo 
Frequências 1
α  2α  3α  
Hzf s 5,11 ≤<  38,043,0 −sf  0,1 0,1 Andar  
Hzf s 5,25,1 ≤<  38,043,0 −sf  125,015,0 −sf  0,1 
Modelo 
triangular 
( )
( )2
1 cos
4 s ci
s c
i f t
i f t
πα π
−=  
Corrida 
ou salto 
rítmico Modelo de 
semi-seno 
2,0 4,0sf Hz≤ ≤
 ( )
( )2
cos
2
1 2
s c
i
s c
i f t
if t
πα =
−
 
 
Relativamente  aos ângulos  de fase  Bachmann  &  Ammann  (1987)  sugerem que se tome  
φ 1=0, φ 2= φ 3= π/2. No entanto, a consideração dos ângulos de fase não terá, em geral, 
interesse, a não ser nas situações em que a resposta se não encontrar dominada pela 
ressonância numa das harmónicas da carga, o que não será, em princípio, a regra.  
A relação entre o tempo de contacto pé-pavimento, tc, e o período da passada Tp=1/fs  pode 
ser obtido da relação dada na figura 1. A comparação dos primeiro e segundo coeficientes de 
Fourier para os dois tipos de movimento e de modelos no domínio do tempo é feita na figura 
2. Verifica-se que para frequências baixas até cerca de 2.0Hz a acção dinâmica é 
consideravelmente mais baixa do que para valores mais elevados de frequência.  
 
 
tc = 1.8fs-2.05
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Frequência fs [Hz]
Te
m
po
 d
e 
C
on
ta
ct
o 
t
c 
[s
eg
]
 
Figura 1: Tempo de contacto com o pavimento tc 
 
2.2. Sobreposição espacial das acções individuais 
O efeito resultante da existência de mais de uma pessoa sobre a estrutura foi calculado 
através do desenvolvimento de um programa de cálculo que considera a sobreposição dos 
efeitos individuais. 
De acordo com Matsumoto et al (1978) a distribuição das frequências da passada de peões 
sobre pontes pedonais pode ser aproximada através de uma distribuição normal de valor 
médio 2,0Hz e desvio padrão 0,18Hz. Não existindo estudos publicados sobre a variação das 
frequências de corrida, foi utilizada a mesma função de distribuição para este tipo de 
movimento.  
 
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
1 2 3 4 5
Frequência fs [Hz]
C
oe
f. 
Fo
ur
ie
r
Coeficiente de 
Fourier α1
Coeficiente de 
Fourier α2
 
Figura 2: Comparação dos coeficientes de Fourier das duas primeiras harmónicas para os 
dois tipos de movimentos e modelos de descrição no tempo. 
 
 
De acordo com o a prEN1991-2 (2001), vulgo EC1 para além da acção individual, 
consideram-se dois tipos de acção dinâmica: a acção originada por um grupo de peões, cerca 
de 10, e a originada por uma corrente contínua de peões sobre a estrutura. Consideram-se 
nesta sobreposição de acções individuais, as distribuições estatística referida para o valor da 
frequência de passada, e que se representa na figura 3-a.  
 
 
0.0
1.0
2.0
3.0
1 1.5 2 2.5 3
fs [Hz]
D
en
si
da
de
 P
ro
b.
         
0.0
0.2
0.4
0 5Intervalo de tempo entre peões [seg]
D
en
si
da
de
 P
ro
b.
10
 
                           (a)                                                                                           (b) 
Figura 3 – a) Função densidade de probabilidade das frequências e b) Função densidade 
de probabilidade para o intervalo de tempo entre peões 
 
Admitiu-se também que o intervalo de tempo entre cada peão que chega à ponte segue uma 
distribuição exponencial, por forma a que a densidade máxima de peões sobre a estrutura seja 
1.5 pessoas/m2.  
Admitindo que a posição de entrada dos peões num passadiço tem tendência para se 
realizar pela direita, foi considerada, para esta variável, uma distribuição triangular com valor 
médio a um quarto da largura do passadiço.  
 
3. VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE VIBRAÇÃO EM PONTES PEDONAIS 
As pontes pedonais são frequentemente definidas por tabuleiros com um ou vários vãos 
contínuos, cuja frequência própria fundamental ou frequências próprias superiores podem ser 
excitadas em ressonância através do movimento dos peões.  
Considerando a distribuição estatística da frequência anteriormente referida, para o 
movimento do peão a andar, o maior risco de excitação para a direcção vertical situa-se, para 
a frequência fundamental, no intervalo entre 1,6 e 2,4 Hz. Se tivermos em conta a 
possibilidade de ressonância da segunda harmónica da carga (até cerca de 4.8Hz), podemos 
estipular como regra que, para estruturas com frequências fundamentais acima de 5Hz não 
serão de considerar estados limites de vibração.  
No entanto, atendendo aos condicionalismos, principalmente estéticos, as estruturas 
apresentam, em muitos casos, frequências próprias inferiores àquela, pelo que se afigura 
importante ter critérios de dimensionamento para a verificação das vibrações. Estes critérios 
baseiam-se normalmente na limitação dos valores da aceleração máxima.  
 
3.1. Valores máximos de aceleração de acordo com o EC5 e EC1 
Tanto o EC1 como o EC5 indicam expressões de cálculo da aceleração máxima vertical 
devida à passagem de um peão ou um grupo de peões sobre o passadiço. 
No caso do EC5 o procedimento de cálculo para um grupo de peões encontra-se 
sumariado na expressão (2) em que M m l b= × ×  representa a massa total do tabuleiro, 
sendo o vão da ponte, b a sua largura e m a massa por unidade de área. Nessa mesma 
expressão, 
l
ζ  é o coeficiente de amortecimento viscoso, n o número de passos necessários 
para atravessar a ponte,  tem em conta a configuração da estrutura (Quadro 2) e  
tem em conta a frequência fundamental (Figura 4).  
aK ,kvert f
 
 
2
max, ,
1165
n
vert vert f a
ea k K
M
πζ
ζ
−−=  (2) 
 
 
Quadro 2 – Factor ka para diferentes esquemas estruturais1  
Relação entre vãos L1/L  2 vãos contínuos 3 vãos contínuos 
1,0 0,7 0,6 
0,8 - 0,8 
0,6 - 0,9 
 
                                                 
1 =1 para tabuleiros simplesmente apoiados. aK
0.0
1.0
2.0
3.0
0 1 2 3 4 5
f vert
k 
ve
rt,
f
0.0
1.0
2.0
3.0
0 1 2 3 4 5
f v [Hz]
K
v
 
                                          (a)                                                                                (b) 
Figura 4 – Relação entre o coeficiente e a frequência fundamental  dada no 
EC5(a) e no EC1(b) 
fvertK , vertf
 
Para a determinação do efeito da passagem de uma corrente de peões sobre a ponte aplica-se 
a seguinte expressão: 
 
2
max, ,
1165 0,027
n
vert vert f a
ea lbk K
M
πζ
ζ
−−= ×  (3) 
 
O EC1 apresenta uma expressão idêntica às anteriores, com pequenas alterações nos 
coeficientes a utilizar. A expressão (4) serve, pois, para a determinação da aceleração numa 
ponte com um vão devido à passagem de um grupo de peões e nela, o coeficiente kv é obtido 
do gráfico da figura 4 e as restantes variáveis assumem as definições atrás referidas. 
2
max,
1210
n
vert v
ea K
M
πζ
ζ
−−=  (4) 
 
3.2. Critérios de conforto para verificação do E.L. vibração 
Investigações sobre a percepção e a tolerância do homem à vibração em diversos meios têm 
permitido o estabelecimento de critérios de segurança em pontes pedonais, nomeadamente no 
que respeita ao nível de aceleração vertical que o peão tolera. 
Os valores indicados pelas várias normas encontram-se sumariados seguidamente e 
comparados na figura 5:  
• O EC5 impõe  para estruturas cuja frequência 
fundamental seja inferior a 5Hz.  
2
max, 0,7( / )verta m≤ s
s
m s
• A norma Britânica BS5400 (1978) impõe  para a 
aceleração máxima em condições de serviço, para estruturas cuja frequência 
fundamental seja inferior a 5Hz, sendo a frequência fundamental da estrutura.  
0,5 2
max, 10,5 ( / )verta f m≤
1f
• A norma canadiana ONT (1983) é mais conservadora, apresentando o critério 
 0,78 2max, 10,25 ( / )verta f≤
0.0
0.5
1.0
1.5
0 1 2 3 4 5
fs [Hz]
a m
ax
 [m
/s
2 ]
BS5400
ONT  83
EC5
 
Figura 5 – Relação entre as diferentes expressões que limitam a  
aceleração em termos de conforto 
 
Verifica-se uma discrepância relativamente pequena entre as várias normas, tendo em conta 
que critérios deste tipo são sempre altamente subjectivos. 
 
4. EXEMPLOS DE CÁLCULO 
4.1. Modelos estruturais 
A metodologia descrita foi aplicada na análise dinâmica de dois modelos de ponte pedonal, 
correspondentes às tipologias simplesmente apoiada e contínua com dois tramos iguais. 
Pretendendo-se estender o estudo, futuramente, ao modelo contínuo de vários tramos e a 
tipologias ainda não contempladas no EC5:Parte 2 (arcos e sistemas atirantados, 
nomeadamente), foi considerado um vão de 30m  porque, se bem que próximo do limite 
exequível para um vão simples, este valor corresponderá a soluções correntes para aquelas 
geometrias. A secção transversal do tabuleiro é representada na Figura 6, para o caso 
simplesmente apoiado. Para o tabuleiro contínuo de dois tramos, a altura de secção das 
longarinas é de 750mm, mantendo-se os restantes dados inalterados.  
 
Longarinas 135 x 1500
3000
Carlingas 100 x 300 //1500
 
Figura 6 – Secção transversal do tabuleiro simplesmente apoiado 
 
Por forma a tornar as respostas comparáveis, procedeu-se ao dimensionamento das duas 
soluções estruturais para idênticas condições de serviço. As longarinas e carlingas são 
produzidas em glulam da classe GL24h, segundo a NPEN1194 (2002). Considerou-se a 
classe de serviço 2, nos termos da Parte 1 do EC5. Numa situação de projecto real, a 
dificuldade de colocação dos elementos estruturais sob coberto resultaria na necessidade de 
consideração de classe 3. Esse condicionalismo é, no entanto, irrelevante neste estudo. 
Admitiu-se, para além do peso próprio, a actuação de uma sobrecarga uniformemente 
distribuída de 3kN/m2, com carácter variável de curta duração.  
Para geração dos ficheiros de carregamento dinâmico, considerou-se um passo no tempo 
de 0,05s. Na integração das equações de movimento foi utilizado o método de Newmark, 
com passo de 0,01s. Dada a diferença de passos para definição da carga e para a integração, 
procedeu-se a interpolação linear para avaliação do carregamento dinâmico em instantes 
intermédios (isto é, não múltiplos de 0,05). O coeficiente de amortecimento utilizado foi de 
1%, conforme recomendado pelo EC5-2.  
 
4.2. Comparação de Resultados 
Neste item pretende-se efectuar a comparação entre as acelerações obtidas para a viga 
simplesmente apoiada e para a viga contínua de 2 tramos, utilizando a bibliografia existente e 
a Regulamentação apresentada. 
Para tal também se calcula a resposta máxima utilizando um método simplificado 
adoptado pela norma Britânica BS 5400 (1978) e pela norma canadiana ONT (1983). Este 
método determina a aceleração vertical devido à passagem de um peão sobre a estrutura com 
a frequência de passo igual à frequência fundamental com base na seguinte expressão:  1f
 
)/(4 221
2
. smkyfamáx Ψ××××= π  (11) 
 
em que é o deslocamento estático verificado a meio vão devido à acção de um peão tipo 
nessa secção, é um coeficiente que tem em conta a geometria da estrutura (ver Quadro 2) e 
é o factor de amplificação dinâmica. 
y
k
Ψ
Outro método para o cálculo da aceleração máxima em pontes pedonais foi apresentado 
por Pernica (1990) sendo semelhante ao anterior.  
Nas Figuras 7a e 7b apresentam-se os registos de aceleração vertical, referentes às secções 
de meio vão (15m para a VSA e 7,5m para a VC2T) e a frequências de marcha, para o caso 
de 1 peão, iguais às dos respectivos modos fundamentais (0,89Hz e 1,21Hz, 
respectivamente). 
 
 
(a) 
 
 
(b) 
Figura 7 – Registo de acelerações – 1 peão 
Nas Figuras 8a e 8b apresentam-se registos similares, referentes agora à situação de uma 
corrente contínua de peões. 
 
 
(a) 
 
 
(b) 
Figura 8 – Registo de acelerações – Corrente contínua de peões 
 
Quadro 3 – Acelerações máximas previstas e calculadas (m/s2) 
  ENV 1995-2 prEN 1995-2 BS 5400 Pernica Draft prEN1991-2 Modelo 
1 peão (f=f1=0,89Hz) - 3,700 0,118 (3) - 0,014 
10 peões 2,670 2,800 - - 3,220 0,200 VSA(1)
Contínuo 6,500 16,850 - - - 0,370 
1 peão (f=f1=1,21Hz) - - 0,188 0,189 - 0,049 
10 peões 9,070 - - - 11,820 0,440 VC2T(2)
Contínuo 11,02 - - - - 0,810 
(1) Viga Simplesmente Apoiada    (2) Viga Contínua de 2 Tramos 
(3)      f1 está fora da gama aplicável de frequências 
 
 
5. CONCLUSÕES 
As grandes discrepâncias, patentes no Quadro 3, entre os valores calculados e os valores 
aproximados propostos por várias fontes, sendo estes uma ordem de grandeza superiores 
àqueles, sugerem que as normas mais recentes têm vindo a penalizar substancialmente a 
verificação de estados limites de vibração em pontes pedonais. Quando comparados com os 
resultados de uma análise dinâmica nos exemplos expostos, em que se têm em conta as 
situações de passo e marcha mais comuns em passadiços de peões, as conclusões são 
semelhantes.  
Embora seja de esperar, em certos casos, que a sincronização de movimentos com a 
vibração da estrutura possam agravar os resultados obtidos com os modelos de carga 
expostos, esse agravamento deveria estar de alguma forma explícito nas expressões que são 
indicadas, tanto no EC5 como no EC1, o que não acontece. Também a situação limite 
provável, correspondente à resposta ressonante a grupos de peões em posições fixas, saltando 
sincronizadamente deveria estar explícita nos referidos códigos.  
 
6. REFERÊNCIAS 
Bachmann, H. e Ammann, W., 1987 – Vibrations in Strutures Induced by Man and 
Machines, Journal of IABSE, Structural Engineering International, vol 5, nº1. 
British Standards Institution, 1978, BS5400, Part 2, Appendix C, Vibration Serviceability 
Requirements for Foot and Cycle Track Bridges.  
prEN 1991-2 (Draft stage 34) – General actions – Traffic loads on bridges; Annex X 
(informative) Dynamic models of pedestrian loads. (August 2001) 
ENV 1995-2:1997 – Eurocode 5: Design of timber structures – Part 2: Bridges 
prEN 1995 (Draft stage 34) – Eurocode 5: Design of timber structures – Part 2: Bridges 
Matsumoto, Y., Nishioka, T. Shiojiri, H. Matsuzaki, K., 1978, Dynamic Design of 
Footbridges, IABSE Proceedings, P-17/78, pp.1-15.  
Ontario Highway Bridge Design Code. 1983, Ontario Ministry of Transportation, 
Toronto.  
Pernica, G. – Dynamic load factors for Pedestrian movements and rhythmic exercices, 
Canadian Acoustics, pp 18, 2, 3-18,1990.  
NPEN1194:2002 - Estruturas de madeira - Madeira lamelada-colada - Classes de 
resistência e determinação dos valores característicos. 
 


Portuguese

https://repositorio.ipcb.pt/bitstream/10400.11/1326/1/2004_CIMAD_CRigueiro.pdf

Comportamento dinâmico de pontes pedonais de madeira

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