Peralta, Jesús

BAc Boletín Académico Revista de investigación y arquitectura contemporánea

Repositorio da Universidade da Coruña

GENERACION DEPERSPECTIVAS CURVILINEASCON ORDENADORPor JESUS PERAlTAProfesor de la E.T.S. de Arquitecturade MadridEl cilindro se desarrollará sobre el plano tangente a lo largode la generatriz más alejada en dirección Z. La esfera seproyectará sobre el plano XOY. Esta proyección es ortogonal.Podrían estudiarse otro tipo de proyecciones de la perspectivaesférica, pero no se presentan por no alargar esta exposición.2.2.-Perspectiva de un punto2.2.1.-Proyección cilíndrica (fig. 2.2.1.a)Se supone el cilindro desarrollado sobre el plano Q. El puntoP* es la proyección de P (X, Y, Z) sobre el cilindro, y los puntos P' yP*' son sus proyecciones sobre el horizontal.una perspectiva «continuamente incorrecta», es decir en la cuallas incorrecciones no se presenten de forma localizada y aislada,admitiría más tolerancia en su observación que una perspectivalineal perfecta. Y esas condiciones se dan en la perspectivaesférica.Estimamos que éste es un campo de investigación con ungran futuro.El estudioso del tema se enfrenta sin embargo con la grandificultad de generación de perspectivas curvilíneas, incluso defiguras elementales.Para simplificar esta generación presentamos unas rutinas deordenador que permitel'1 obtener proyecciones tanto cilíndricascomo esféricas, con una extraordinaria facilidad y precisión.2.-METODO DE CALCULO2.1.-GeneralidadesSupondremos siempre que el centro de proyección es elpunto de intersección del eje del cilindro con el plano de referencia:horizontal, o el centro de la esfera, según corresponda.Los ejes X y Z definen el plano horizontal. El sentido positivodel eje X es «hacia la derecha» y el del Z «hacia adelante». El eje Yes vertical y su sentido positivo es «hacia arriba». Las figuras 2.1.ay 2.1.b muestran la relación entre estos ejes y las superficies deproyección. El radio de ambas superficies se denominará «R».fig. 2.2.1.a1.-INTRODUCCIONLa proyección de formas espaciales sobre superficiescilíndricas o esféricas permite obtener las llamadas «perspectivascurvilíneas», caracterizadas por el hecho de que los segmentosrectos de la forma representada se transforman en segmentoscurvos.Este tipo de perspectivas ha sido, en general, muy pocoestudiado. En ocasiones se han obtenido, incluso, conclusionesincorrectas.Entre los autores que más han anal izado este tema destacanBarre y Flocon (1968) que basan sus teorías en lo que denominanla «ley fundamental de la percepción visual» según la cual «lamisma magnitud parece más pequeña a medida que se aleja delobservador». A partir de este axioma, esencialmente correcto, ymezclando conceptos poco asimilados de percepción visual connociones· de física relativista, desarrollan una teoría con la queintentan convencernos de la legitimidad y superioridad incondicio-nales de la perspectiva esférica sobre la tradicional (lineal).Otros autores, incluso de la talla de Panofsky (1924), hantocado también el tema llegando asimismo a conclusioneserróneas y sin fundamento.Afortunadamente, Pirenne en su «Optics, Paintinys andPhotography» (1970) demuestra la falsedad de todos estosplanteamientos. En esta obra Pirenne analiza en detalle losmecanismos perceptivos que entran en juego cuando se observauna perspectiva desde posiciones indebidas, introduciendo así elfactor subjetivo en la apreciación de una representación plana delespacio tridimensional.A pesar de todo es indudable que las perspectivas curvilíneastienen un interés elevado, en tres aspectos distintos y fundamenta-les:-Como sistema de representación pueden dar una idea clarade la disposición y relación espacial mutua de los objetos en uncampo muy amplio alrededor del observador. Recuerda a losobjetivos de «ojo de pez» o grandes angulares de focal corta. Sonmás bien «sistemas de información» que de representación. Perosu utilidad es innegable.-Las perspectivas curvilíneas son un camino sencillo eintwitivo para abordar el estudio de geometrías no euclidianas máscomplejas, y por lo tanto más interesantes, quelas obtenidasmediante transformaciones proyectivas lineales. Véase el libro«Euclidean and Non-Euclidean Geometries» de M. Greenberg(1980).-El aspecto más importante de este tipo de perspectivasradica en sus posibilidades como estímulos para el estudio dealgunos procesos de percepción visual espacial. ¿Cómo espos)ble que autores de la talla de Panofsky o de Barre y Flocon nohayan sabido expl icar con corrección las deficiencias que, enocasiones, se observan en las perspectivas lineales tradjcionales?¿Por qué una perspectiva esférica puede parecer aceptable,esdecir «realista», en determinadas condiciones?Pirenne (Op. cit.) nos da algunas pistas al analizar ciertosmecanismos complejos del sistema visual. Cita una conclusiónmuy interesante de La Gournerie (1859) según la cual «al mirar uncuadro dibujado en perspectiva (...) las deformaciones que se dancuando el ojo está en posición equivocada se vuelven másevidentes cuando la perspectiva es correcta». Esto implicaría que52Por semejanza de los triángulos OPP' y OP*P*', se tiene:X' X V' V- - - e - = -siendo D=OP=JX2+V2+Z2,R D R Dpor lo tantoX' = R.XIJX2+V2+Z2V' = R.VIJX2+V2+Z2oPara lograr esta división se considera el ángulo P1', O, P2'formado por las proyecciones de P1 y P2 sobre el horizontal y elorigen O (centro de proyección). Este ángulo se divide en unnúmero entero de partes N y se calculan sucesivamente lascoordenadas (X, V, Z) de cada punto intermedio P, así como las(X*, V*) de su perspectivo P*.Si el segmento P1, P2 está contenido en un plano visualvertical, no se puede aplicar el procedimiento anterior.En tal caso, si se trata de proyección ci Iíndrica, laperspectiva de P1, P2 coincidirá con una generatriz y por lotanto basta hallar las perspectivas de P1 y P2 Y unirlas con unsegmento de recta.Si se trata de proyección esférica, el segmento se divide enun número de partes iguales (10 en el programa) y se hallan lasperspectivas de los puntos intermedios. Este método essusceptible de mejoras.2.3.--Perspectiva de un segmento P1, P2Examinando las figuras A-2 y 8-2 de los apéndices, que¡corresponden a proyecciones sobre un cilindro y una esferade radio grande en relación con las dimensiones del objeto, seve que, en el entorno de un punto de la superficie se puedetomar como válida la proyección sobre el plano tangente.Por lo tanto, si se descornpo~e el segmento P1, P2 en unaserie de segmentos infinitesimales, las proyecciones de susextremos se pueden unir con líneas rectas. La poligonalobtenida estará inscrita en la curva perspectiva real. Aumentan-do el número de divisiones se puede alcanzar tanta aproxima-ción como se desee.Esta división de P1, .' P2 puede ser arbitraria. Sinembargo, si se quiere que los lados de la poligonal perspectiva(que son proporcionales al ángulo subtendido por los extremosdel segmento elemental correspondiente) tengan una longituduniforme, habrá que procurar que esos ángulos tengan un valor.constante a lo largo del segm~nto .P1, P2.,1, IA = tg-1 (XlZ)X' = arco O', P*' = R.A.(arco A en radianes),~ OP' = jX2"+V2; Y... =J3: V OP'Y : Y' = Y. R/OP' = Y.RI Jx· +y.tI-t-__--.::....._--....._~~J(f(fig. 2.2.1.bLas coordenadas de P* en el sistema X', V' del planoº una vezdesarrollado el cilindro, son:X' = Longitud del arco O', P*'V' = Altura P*', P*Ir de las figuras 2.2.1.b y 2.2.1.c se deduce,l¡o (.~------IlI~r---~~ p'(X/O/e)..---R---".fig. 2.2.1.c. ;r.2.2.-PrOY~CCiÓn esférica (fig. 2.2.2.)La esfera se proyecta ortogonalmente sobre el plano XOV.rJesignaremos X' e V' a las coordenadas de la proyección.\3.-PROGRAMAS y EJEMPLOSEn el apéndice A se incluye el listado del subprograma deproyección cilíndrica y cuatro ejemplos de perspectivasobtenidas con los datos y el programa «driver» del apéndice C.En cada figura se detallan los desplazamientos globalesaplicados a los datos antes de hacer la proyección.Todos los programas están escritos en BASIC 2.0 de laSerie 200 de Héwlett - Packard, pero son fácilmente adaptables acualquier otro lenguaje.En los subprogramas no se realiza ninguna operación dedibujo lo que evita su dependencia de los dispositivosfísicos desalida gráfica que pudieran emplearse.Quiero agradecer a Hewlett - Packard Española sucolaboración al facilitar los equipos necesarios para eldesarrollo de este trabajo, y en particualr a Juan Pablo Rubio(SEO HP-MAD) sus comentarios y sugerencias.fig.2.2.2.(Comunicación presentada en las «1 Jornadas de Expresión GráficaArquitectónica». La Coruña, febrero, 1984).53APENDICE A - 1-: PROGRAMA0= 0,0,00= 0,0,300ESCALA x 3.33fig. A-2fig. A- 3 0= -50,-50,50IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII---------------T--------------IIIPROYECCION CILINDRICAIi"'-+-+--l~"""'~f+- - - -- -- ---j-------------------- --------------------¡--- --------------------------I fig. A- 4 0= -50,25,50t--t---+--+-+--+-I-H-H - - - - - - - - ¡ - - - - - - -- tt-t-t-t-+-t--t-I---+---+IIILonCJitud d.1 .,urrollo d, Ji ,.ccion r.ctad,1 cilindro p¡r. un .ngulo unid.d.longi tud drl r.dio v.ctor (O,Pl').longitud d.1 radio v.ctor (0,P1').longitud d. (Pl,P1).Angulo (PI' ,0,P1') forl.do por el orig.ny las proyrccion'5 d, PI Y P2 sobrr ,1pllno horizontal.D.nOlinador ,n 11 forlUh d.l CCK.no d.'AnCJulo_pJ'. Es cero si '1 ng••nto .shcont.nido ,n un phno visu.1 vff'tic.l.Angula (O,Pl' ,P2') forl.do por el r .di ovector (O,Pl') y Ji proy,ccion ePI' ,P2' J dels.g.,nto.MUI.ro d! int.rulos .nguhr'5 (de yalorlatilO 'Inc_inCjullr') In 'Ang_proyec'.Incr'l.nto .nguhr r'll.Diftr.nch d, ¡bsci SiS .ntr. dos ,antos,.1 s.gl,nto • dishnci. unid.d (JD).Ide•• par. coord.nad. Y.Idfl. plri coordrnadtl 1.Contidor del bucl. d! proe.so.V.lor INICIAU 1V.lor FIliAL : ...._puntos •Angula subtendido por el ,jI DI Y Ji proy,c- •cion horizonhl dtl punto considtrido (P). •toordfn.da 1 d.1 punto consi dlr ido IP). •Coord,n.da , del punto consid,r.do CP}. •Coorden.da 1 del punto consid,r.do CP). •Angulo forlldo por .1 radio v.etor CO,PI'} ylSUWROGRAM ' ti IJ in.21 'YERSION 2.1 JI/01/84ARCHIVO ·CILlIME21·AUTOR: J.sus P,r.i tiseMERA LA PERSPECTIVA CILUIDRICA DE UII SEGMMTO(CIUMDRO DESARROllADO)DenDIy_d.n.l_d.lhPunto'_til (1)Error-PARA"ETRDS DÉ SALIDA:llul_puntos Mu.tro de puntos considH'.dos 1ft ,1 ",••nto •(PI ,P2), incluy.ndo 105 puntos PI y P2.Es hlbi'" el "l'"ERO DE ElEftENTOS de losy,ctor., X_el 1(1) e Y_cU (1)V.lor "IMUtO: 2V.lor MlJttO: 100Y.ctor con 115 Ibscius d, 105 'Mol_puntos'puntos p.rsptCti vos d,1 "'ltnto (PI, P2), •incluyendo JI 1ft pril.r lug.r y 12 en ulUlO •luCJ.r. tICJual que 'I_dln)', con 111 ord,nadas. •Codi CJo d• .,.ror tt"I '1 subprCHJr In: •O-) NO HAY ERROR •I -} RADIO INtOgECTO •2 -) IMCMftEMTO ANGUlAR IIIt000CTO •3 -) NUMRO DE PUNTOS IMCORRECTO •I•tVMIAIJl,.ES:-PARAftETROS DE ENTRADA:11, Yl, ti Coordenid.s punto origen CPU12, Y2, Z2 Coord'"id.s punto e.tr'lo CP2)R.dio R.dio d.) cilindro d, proytccion.Inc)anguhr lncr'l.nto .nguhr l .. ilO, ,n proy,ctionsobr, '1 plino horizonhl (plano 10lJ,,ntr. puntos int.r••dios d,l ,eg..nto.\lilar "IMlftO: I 6RADOV.lor ftAllftO: 10 GRADOSFUtlCION:••••••••••••••6!nfr. los vtctor., 'l_tH U)' t 'Y_cil (1)' con 11' absch.s •y ord.n.d.s, rf,ptcti v'l.nt., d. Jo, punto, corrtspondifntts •.1 d.,.rrollo df la proy.ccion dtl SfCJI,"tO UI,n,ZlJ- •(12, Y2,Z2) sobr. un cilindro de r.dio 'R.dio'. •Eshs coorden.du .sbn fn '.sc." Ibsoluh'. La rutina de •dibujo t.ndr. qu, .plic.r los hctor" de ,stilado oportunos. •••I! •! •! I! •! •! •! •! •! •! •! •! t! •! •! •!. VARIABlES HilEROS:!. -------------------! •!. Long_Irco! •!. lon'Lproyl! I long_proy2! • long_srglrnt! a Ang_proy.c! •! •, .! •! •!. Angulo_pl! •! •! • MUI)nttrul! I! • Inc_I",_rtal! • I_d!lta! •! •! •! •! •! •! •! •! • 1_lCtu.1! • Y_.ctual! • l_iCto.l!. AncL·ctual1010 SUI tiJ)inf21 CII, n, lI, 12, Y2, 12,R.dio, lnt_lnguJir ,Rul_,untos, I_ci! U), Y_ci 1(1) ,Error)~~ I1030 ! •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••1040 !.1050 !.1060 !.1070 !.1080 !.1090 !.1100 •1110 '1120 '113011401150116011701180119012001210122012~0 '1240 '1250 !.1260 '1270128() !129013001310132013301~4() I13501360 I1370 '1380 'JjqO I1400 t1410 '142014301440145014601470148014901500J5101520J5301540155015601570158015QO16001610162016301640165016601670168016QO1100171017201730"1740175017601770178017901800181018201830184018501860187018801890190(\,,III\\\\\\\1I-t+t+t-+-+-+--+--+--f - - ~111,,I,1I~-+--+-~_._-------~II1,10= 0,0,0------~-----.------- -~ ---- ...... --1I1r1I,rrrrrr55fig. 8- 3 0= -135,0,0fig. 8-4 0= -60,0,0I ,......--f---t-.......MIIII· -- .... -- - -. --- - •• - - _ •••• - .- •• - --.,, ,: Ir111rIIII,I,• - - _ • .1 __ - - - -'PROYECCION ESFERICA,rIIIIrI1,,Ir!- +-1~+_+...............w- • - - • - - - - - - - ..... -IIrfig. 8-1IL - - ......+--~I-f.-+-t........++UICREII:NTO AMGtI. AR ..ltORRECTO~ SI VERTI CAL! ElTRE"O DE SE6"E"TO YnTltAl~ SE611:"TO EM PLANO VISUAL VERTICAL! SE EtFlEIA CIHI El PUNTO 'PI'! RADIO DEL tlLlURO UltORRECTOIF ""I_puntos( >2 lHEN ~ se.tlTO VERTICAlAng_ittual=AncLactuaHIRc_ah9_r,.1 ! IIJ VERTICAllon9_lctual =lon.g_proyUSIMtAn9_lctull) 1511(180-(An,ulo_,1 +AnC}_iCtull)),I.ti 1(Punto) =lon9_arcoIAngul o'y_ci J "unto)=Y actual'Radio/SDRU actuil "2+Z)lctual "2)l_adull=II+1.d,l hllon9_lctulIy_actuII =YI+Y _d,1 tallonC}_actuall_utuiil=ll +Z_dtl tia'lon9_utualEl5E1.lctu.l=J2y_actual=Y2l_iCtuil=12EMO IFDPTIDtI BASE 1IF Inc_inquhr< I OR Inc_anguhr}lO THENError=2&OTO FinlllIF DtnOl( >O THENAngulo_pl=180-ACS(DRoutCD( UU U2-11 )+111 U2-11) HDtnOl, lO))! 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Generación de perspectivas curvilíneas con ordenador

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