Dissertação de Mestrado em Educação e Tecnologia em Matemática, realizada sob a orientação do Doutor Rui Santos e co-orientação do Doutor Luís Cotrim, apresentada à ESECS - Escola Superior de Educação e Ciências Sociais do Instituto Politécnico de Leiria.Em 1657, é publicado o primeiro livro sobre cálculo de probabilidades, de Christiaan
Huygens. Esta pequena coletânea de problemas relativos a jogos de azar, baseada na correspondência
entre Blaise Pascal e Pierre de Fermat em 1654, permitiu despertar a atenção de
numerosos matemáticos durante os séculos XVII, XVIII e XIX para esta temática, razão pela qual surgiram variadas generalizações de alguns dos problemas propostos. O último desafio apresentado neste opúsculo de Huygens, e porventura um dos mais célebres problemas em probabilidades, é o problema da ruína do jogador. A autoria deste problema foi durante muitos séculos atribuída a Huygens, no entanto, o seu verdadeiro autor é Pascal. Ao longo dos séculos, foram apresentadas diversas versões deste problema e diferentes formas de o resolver,
algumas dessas resoluções utilizam equações às diferenças.
Neste trabalho, apresentaremos alguns resultados relativos a equações às diferenças de primeira e segunda ordem e abordaremos algumas das suas aplicações. Faremos uma resenha
histórica acerca da origem do cálculo de probabilidades, do problema da ruína do jogador e
das suas diferentes versões. Apresentaremos algumas soluções exatas para algumas dessas
variantes, com recurso à modelação do problema através de equações às diferenças. Far-se-á
a apresentação de algumas caraterísticas do jogo da ruína e apresentaremos metodologias de
obtenção de soluções aproximadas do problema da ruína do jogador, recorrendo à simulação
Monte Carlo (via software R) e à Lei dos Grandes Números. Por fim, far-se-á uma análise
crítica à possibilidade de utilização deste problema na disciplina de Matemática no ensino
secundário, nomeadamente no que se refere à utilização de simulação no ensino das probabilidades,
através da construção e utilização de simuladores adequados no software R e na folha de cálculo Microsoft Excel, e de uma tarefa para este nível de ensino sobre este problema
