Apresentamos um exemplo de uma superfície não trivial em R3 na qual as curvas geodésicas são encontradas
analiticamente

Fatelo, J. P.

Martins-Ferreira, N.

Repositório IC-Online (Polytechnic of Leiria)

Curvas geodésicas: um exemplo com resolução analítica.by J. P. FATELO AND N. MARTINS-FERREIRAESTG, CDRSPInstituto Politécnico de LeiriaResumo Apresentamos um exemplo de uma superfície não trivial em R3 na qual as curvas geodésicas são encon-tradas analiticamente.1 IntroduçãoTal como explicado em [1], na maioria dos casos, ascurvas geodésicas são obtidas com recurso a aplicaçõescomputacionais. Entre as superfícies com curvas geodési-cas encontradas analiticamente e sem aproximações,destacam-se o caso da superfície esférica com a solução(intuitiva) correspondente aos "grandes círculos" e o casodo cilindro que, neste particular, não é muito diferentede um plano onde as geodésicas são retas. Neste artigoconsidera-se uma superfície de revolução que, mesmonão sendo trivial, permite uma determinação explícita,em termos de funções elementares, das suas curvasgeodésicas.Na secção 2, apresentamos a superfície considerada.Na secção 3, resolvemos as equações das geodésicaspara este exemplo e explicitamos as soluções sujeitas acondições iniciais e, na secção 4, as soluções na presençade condições de fronteira.As figuras expostas neste artigo foram geradas usandoa aplicação Mathematica [2].2 A superfícieEm geral, as superfícies de revolução em R3 podem serparametrizadas da seguinte maneira−→σ (α, θ) = (r(α) cos θ, r(α) sin θ, z(α)). (1)Neste artigo, vamos considerar o caso em quer(α) =1√α,z(α) =∫α13√4√1− 14x3dx,onde α ≥ 13√4e θ ∈ R. A função z pode ser expressa emtermos da função gama Γ e da função hipergeométrica2F1 da seguinte maneira:z(α) =√pi Γ(− 13)3√4Γ(16) + α 2F1(−12,−13,23,14α3).Parte da superfície assim definida está representadana Fig. 1.O parâmetro θ assume qualquer valor real econsidera-se a seguinte interpretação: pontos com omesmo valor de α mas com valores de θ que diferem porum múltiplo de 2pi correspondem à mesma posição ge-ométrica mas situam-se em camadas diferentes da super-fície.Fig. 1: Vista parcial da superfície em estudo.Estas expressões de r e z foram escolhidas porque têma seguinte propriedade:r′2 + z′2 = 1.Assim, o tensor métrico da superfície é uma matriz com aformag =(r′2 + z′2 00 r2)=(1 00 1/α).A partir do tensor métrico, obtêm-se as equações dasgeodésicas [1]:α¨+12α2θ˙2 = 0 (2)θ¨ − 1αα˙ θ˙ = 0. (3)Uma geodésica na superfície é um conjunto de pontosparametrizado por −→σ (α(t), θ(t)), onde t é um parâmetroreal e α = α(t) e θ = θ(t) são soluções das equações (2)e (3). Estas equações formam um sistema autónomo umaScripta-Ingenia, Summer Solstice, June 21, 2015.m http://cdrsp.ipleiria.pt T (351) 244-569441 B scripta.ingenia@ipleiria.pt Page 253 GEODÉSICAS A PARTIR DE UM PONTO DADOvez que não dependem explicitamente da variável inde-pendente t. Na secção seguinte, o sistema é resolvido coma utilização de leis de conservação, também conhecidaspor first integrals.3 Geodésicas a partir de um pontodadoNesta secção apresentam-se os cálculos necessários paraobter as soluções dos caminhos geodésicos que começamnum dado ponto inicial. Em primeiro lugar, observa-seque o sistema de equações (2) e (3) implica:ddt(α˙2 +1αθ˙2)= 2 α˙(α¨+12α2θ˙2)= 0eddt(θ˙α)=1α(θ¨ − 1αα˙ θ˙)= 0.Por conseguinte, as curvas geodésicas são soluções doseguinte sistema mais simples:α˙2 +1αθ˙2 = v2 (4)θ˙ = α l, (5)onde v e l são constantes arbitrárias. É possível relacionar(4) e (5), respetivamente, com a conservação da energiae do momento angular. De facto, estas quantidades sãoconservadas ao longo de um caminho geodésico uma vezque este é o caminho seguido por uma partícula livre, ouseja, sem forças a atuar sobre ela (para além daquelasque a mantêm na superfície).Uma primeira classe de soluções corresponde ao casol = 0, em que θ se mantém constante ao longo dageodésica, que é portanto um "meridiano" da superfície,e em que α varia linearmente com t.Fig. 2: Um meridiano.Para determinar as soluções com l 6= 0, substitui-se(5) em (4), e obtem-se a equaçãoα˙2 = v2 − α l2,dondeα˙ = ±√v2 − α l2.Considerando que são conhecidos os valores de α e θ emt = 0 (e notando α(0) = α0 e θ(0) = θ0), esta equaçãoreduz-se a: √v2 − α l2 =√v2 − α0 l2 ∓ l22t.Usando a notação β0 = α˙(0) = ±√v2 − α0 l2, a soluçãoescreve-sev2 − α l2 =(β0 − l22t)2,ou seja,α(t) = α0 + β0 t− l24t2. (6)Usando este resultado na equação (5), determina-se θ:θ(t) = θ0 + α0 l t+β0 l2t2 − l312t3. (7)Em resumo, com as condições iniciais α(0) = α0,θ(0) = θ0, β0 = α˙(0) e ω0 = θ˙(0) = α0 l, as soluçõesde (2) e (3) sãoα(t) = α0 + β0 t− ω204α20t2eθ(t) = θ0 + ω0 t+β0 ω02α0t2 − ω3012α30t3,sempre que α0 + β0 t− ω204α20t2 ≥ 13√4.Por exemplo, no caso α0 = 1, θ0 = −2, β0 = 4.25e ω0 = 1.3, a geodésica está representada na figuraseguinte.Fig. 3: Caminho geodésico 1.Scripta-Ingenia, Summer Solstice, June 21, 2015.m http://cdrsp.ipleiria.pt T (351) 244-569441 B scripta.ingenia@ipleiria.pt Page 264 GEODÉSICAS ENTRE DOIS PONTOSSegue outro exemplo com α0 = 2, θ0 = −1.8, β0 = 4.5 eω0 = 4.Fig. 4: Caminho geodésico 2.Neste segundo exemplo, a curva geodésica não corre-sponde ao caminho mais curto entre as extremidades rep-resentadas. Mas isso não é uma contradição, conformevamos esclarecer na próxima secção. Devido às condiçõesiniciais, a curva não podia seguir diretamente para oponto final, ou dito de outra forma, nas condições desteexemplo as extremidades da curva representadas estãoem camadas diferentes da superfície o que obriga a curvaa enrolar uma vez.4 Geodésicas entre dois pontosAs soluções obtidas na secção anterior permitem obter oscaminhos geodésicos a partir de um ponto inicial carater-izado pelos valores α0 e θ0 e conhecidos os dois parâmet-ros β0 e l ou, de forma equivalente, β0 e ω0 = α0 l. Naprática, um problema que surge com alguma frequên-cia consiste na determinação de um caminho geodésicoentre dois pontos dados. Para isso, é necessário con-seguir escrever os dois parâmetros β0 e l em funçãodos pontos extremos do caminho em causa. A Fig. 5mostra um exemplo de dois pontos sobre um "paralelo"(conjunto de pontos da superfície com o mesmo valorde z) bem como o caminho geodésico que os liga.Fig. 5: Caminho geodésico entre dois pontos de ummesmo paralelo.Os próprios paralelos não são curvas geodésicas uma vezque girar sobre paralelos de menor raio equivale a umamenor distância percorrida.Supõe-se então que os valores de α e θ são conheci-dos para dois valores de t. Sem perda de generalidade, aescolha destes valores pode ser t = 0 e t = 1:α(0) = α0 ; θ(0) = θ0 ; α(1) = α1 ; θ(1) = θ1.Uma escolha diferente de t = 1, correspondente ao se-gundo ponto dado, apenas altera a velocidade com queo caminho geodésico é percorrido mas não o trilho nasuperfície. A partir de (6) e (7), obtêm-se as relaçõesα1 = α0 + β0 − l24θ1 = θ0 +(α0 +β02)l − l312,donde se conclui que:β0 = α1 − α0 + l24(8)l3 + 12 (α0 + α1) l + 24 (θ0 − θ1) = 0. (9)Esta equação de terceiro grau é incompleta e poderesolver-se através da mudança de variávell = x− 4 α0 + α1x,que produz uma equação quadrática em x3. A solução é:l =3√12(θ1 − θ0) + 4√9(θ1 − θ0)2 + 4(α0 + α1)3+3√12(θ1 − θ0)− 4√9(θ1 − θ0)2 + 4(α0 + α1)3. (10)Usando (8) e (9), as equações (6) e (7) podem agora serescritas em termos de α0, α1, θ0 e θ1. Mantendo a notação(10) por conveniência, o resultado é:α(t) = α0 (1− t) + α1 t+ l24t (1− t) (11)θ(t) = θ0 (1− t) + θ1 t+ l2(α0 − α1) t (1− t)+l324t (1− t) (2t− 1). (12)Estão reunidas as condições para voltar ao aparenteparadoxo da Fig. 4 onde a curva representada, apesar deser parte de uma geodésica, não é o caminho mais curtoentre as suas extremidades. Para exemplificar a análise,considere os pontos A = −→σ (2,−1.8) e B = −→σ (5.5, 6). Us-ando as equações (11) e (12) com α0 = 2, θ0 = −1.8,α1 = 5.5 e θ1 = 6, obtém-se a curva geodésica entre A eB representada na Fig. 6.Scripta-Ingenia, Summer Solstice, June 21, 2015.m http://cdrsp.ipleiria.pt T (351) 244-569441 B scripta.ingenia@ipleiria.pt Page 27BIBLIOGRAFIAFig. 6: Caminho geodésico entre A e B.Fig. 7: Caminho geodésico entre A e B0.Fig. 8: Caminho geodésico entre A e B2.Observa-se que θ1−θ0 = 7.8, ou seja, superior a 2pi. Oque significa que A e B não estão situados na mesma ca-mada da superfície. O pontoB0 =−→σ (5.5, 6−2pi) está situ-ado na mesma posição da superfície de B e na mesma ca-mada de A. Usando as equações (11) e (12) com α0 = 2,θ0 = −1.8, α1 = 5.5 e θ1 = 6 − 2pi, obtém-se a curvageodésica entre A e B0 representada na Fig. 7.Agora sim, foi encontrado o caminho mais curto entreas duas posições na superfície.Podemos também procurar caminhos geodésicos en-tre A e outros pontos na mesma posição de B masem camadas diferentes. A curva geodésica entre A eB2 =−→σ (5.5, 6 + 2pi) está representada na Fig. 8.A Fig. 9 representa a curva geodésica entre A eB4 =−→σ (5.5, 6 + 6pi)Fig. 9: Caminho geodésico entre A e B4.enquanto a Fig. 10 representa a curva geodésica entre Ae B−1 =−→σ (5.5, 6− 4pi).Fig. 10: Caminho geodésico entre A e B−1.5 ConclusãoEste estudo resulta de um trabalho ainda em curso so-bre a possibilidade de axiomatizar a noção de caminhogeodésico através de uma operação binária que a cadadois pontos associa o ponto médio do percurso geodésicoque os une. Neste caso a operação binária seria dadapelas equações (11) e (12) com t = 12. O exemplo aquiilustrado serviu o propósito de testar os axiomas de umatal estrutura algébrica.Bibliografia[1] J. P. Fatelo, Nelson Martins-Ferreira, Curvas Geodési-cas em superfícies, Scripta-Ingenia, June 2014, No. 2,22-25.[2] Wolfram Research, Inc., Mathematica, Version 9.0,Champaign, IL (2012).Scripta-Ingenia, Summer Solstice, June 21, 2015.m http://cdrsp.ipleiria.pt T (351) 244-569441 B scripta.ingenia@ipleiria.pt Page 28

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