Neste artigo apresentam-se algumas configurações matemáticas que sugerem flores e borboletas, fazendo-se uma breve explicação de como podemos obtê-las

Melo, Helena Sousa

Repositório da Universidade dos Açores

Correio dos Açores, ͵ʹͲͳͶensino14As flores e as borboletas na Matemática   Por: Helena Sousa Melo̷ǤȀ­As ﬂ ores e as borboletas, por si só, já proporcionam uma beleza de grande ins-piração matemática.Nas ﬂ ores, vários estudos são feitos sobre o padrão de distribuição das suas folhas ao longo do caule, bem como o nú-mero das suas pétalas. Esses estudos são úteis na identiﬁ cação da sua família botâ-nica, e a matemática faculta uma boa co-laboração. Por exemplo, na aparência das pétalas das ﬂ ores e das suas folhas, pode-mos chegar ao seu crescimento através de expressões matemáticas das suas curvas representativas. Com o auxílio da mate-mática podemos obter, mais rapidamente, alguns resultados. As coordenadas carte-sianas são as mais apropriadas para inter-pretar o crescimento de folhas e ﬂ ores, no entanto, são as coordenadas polares mais utilizadas para a sua delineação.Na matemática existem determinadas conﬁ gurações que fazem lembrar certas plantas e ﬂ ores. Existem famílias de cur-vas, investigadas no século XVIII, que se identiﬁ cam com algumas ﬂ ores de jar-dim, mais conhecidas. Uma dessas famí-lias é denominada Rosáceas de Grandi, cuja equação é dada por P = kcos(n a)+t,onde k, n e t são números reais e cos(n a)é o cosseno de um múltiplo do ângulo a.O ângulo a varia entre –Pi/n e Pi/n.  A equação P = 3cos(5a/2)+3 corresponde à rosácea da ﬁ gura 1.Para quem não está familiarizado com o termo “cosseno”, fazemos aqui uma pe-quena explicação. Considere um triângulo retângulo (ﬁ g. 2). Os lados desse triângu-lo que coincidem com os lados do ângulo reto são denominados catetos, termo de origem grega que signiﬁ ca “abaixado de modo reta”, e o lado do triângulo oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa, termo também de origem grega, junção de duas palavras, que signiﬁ ca “que se estende por debaixo”. Esse triângulo pos-sui outros dois ângulos que denotaremos pelas letras a e b, cuja soma é igual a um ângulo reto, ou seja, a + b = 90º (graus). Para calcular, por exemplo, o cosseno do ângulo a e o seno do ângulo a, utilizamos as medidas de comprimento dos catetos e da hipotenusa com a seguinte relação: o cosseno do ângulo a, cos(a), é o quociente da divisão entre o comprimento do cateto adjacente a esse ângulo e o comprimen-to da hipotenusa; e o seno do ângulo a,sen(a), é o quociente da divisão entre o comprimento do cateto oposto a esse ân-gulo e o comprimento da hipotenusa. Assim, procurou-se reconstruir a sua beleza através de determinadas curvas que quando geradas representam, de uma ma-neira quase que perfeita, a sua aparência. A rosa é uma das eleitas para a obtenção de sua forma. A curva tridimensional que esta associada à rosa (ﬁg. 3) é descrita em função da variação de um ângulo que, de-pendendo da sua amplitude, pode descre-ver um número maior, ou menor, de péta-las. A expressão da curva da rosa envolve as funções trigonométricas do seno de um ângulo e do cosseno desse mesmo ângulo, numa expressão combinada, mais comple-xa que a apresentada anteriormente para a rosácea de cinco pétalas.Para além do formato da ﬂ or, também podemos contar o número de pétalas que cada ﬂ or possui. Por exemplo: o lírio tem pétalas; a rosa selvagem apresenta 5 péta-las; a anêmona-do-japão (ﬁ g. 4) possui 8 pétalas; o malmequer tem 13 pétalas; as margaridas podem ter 13, 21, 34, 55 ou 89 pétalas, nas suas várias espécies; a dália e o crisântemo têm 34 pétalas. Esses va-lores numéricos: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 e 89, são todos números de Fibonacci, res-petivamente do 4.º até ao 11.º termo da sua sucessão. Leonardo de Pisa (c. 1170 – 1250), conhecido pela corruptela de Fi-bonacci, foi um matemático italiano que ser tornou famoso pela descoberta de uma importante sucessão numérica, em que cada termo é a soma dos dois termos ante-riores, sendo o número 1, o seu primeiro e segundo termos. A matemática também está presente nas borboletas. Um dos primeiros indica-dores da ligação entre a matemática e as borboletas é a simetria das suas asas. De-vido a conﬁ guração da borboleta, alguns dos resultados obtidos na matemática rece-beram o seu nome. Do mesmo modo que apreciamos a beleza das borboletas, pode-mos con templar e reﬂ etir sobre determina-das aﬁ rmações existentes na matemática. Como exemplo, mencionamos o Teoremada Borboleta, um resultado clássico na ge-ometria euclidiana, com o seguinte enun-ciado: “Se M é o ponto médio de uma cor-da qual quer [PQ] de um círculo, através do qual outras duas cordas [AB] e [CD] são traçadas, e considerando os pontos de inter secção das cordas [AD] e [CB] com a corda [PQ], K e L, respetivamente. En-tão o ponto M é ponto médio do segmento [KL].” (ﬁ g. 5)Este teorema possui uma longa história de quase 200 anos e a sua demonstração baseia-se no conhecimento de ângulos ins-critos num círculo, em triângulos retângu-los e na potência de um ponto em relação a uma circunferência. É interessante men-cionar a Curva da Borboleta obtida através de determina das expressões. (ﬁ g. 6)Para além da geometria, a conﬁ guração da borboleta aparece na Álgebra, numa re-lação entre gru pos. Conhecida como Lemada Borboleta ou Lema de Zassenhaus, correspon de a um encadeamento de sub-grupos resultantes de opera ções. Apesar da sua natureza complexa, o seu dia grama apresenta uma graciosa conﬁ guração (ﬁ g. 7). Em 1963 foi descoberto, rela cionado com a teoria do caos, o Atractor de Lorenz(ﬁ g. 8) que devido a sua conﬁ guração foi também denominado de Borboleta de Lo-renz, um mapa caótico que mostra como o estado de um sistema dinâ mico evolui no tempo num padrão complexo e sem re-petição.Mas não ﬁ camos por aqui, referimos também o Gulugufe, ou jogo da Borbo-leta, de Moçambique. Esse jogo é consi-derado um jogo matemático, pois o des-taque é dado à análise matemática da sua estrutura, não há elementos aleatórios ou informações ocultas e possui um número ﬁ nito de jogadas. Para esse jogo são ne-cessárias 9 peças para cada jogador, cada um com a sua cor e inicia-se colocando todas as 18 peças no tabuleiro (ﬁ g. 9), deixando vazio apenas o ponto central. Joga-se alternadamente. Um jogador, na sua vez, movimenta uma das suas peças numa única direção para um ponto vazio: ou adjacente; ou saltando por cima de uma peça do adversário, capturando-a. As pe-ças capturadas são retiradas do tabuleiro. O jogador pode continuar saltando com a mesma peça, capturando outras enquanto for possível. A captura é obrigatória. Se o jogador deixar de saltar perde a peça para o adversário. Se um jogador tiver a opção de mais de um salto, poderá escolher o salto a fazer. Vence o jogo quem capturar todas as peças do adversário.Se procurarmos estas conﬁ gurações, quer de ﬂ ores, quer de borboletas, muitas mais iremos encontrar de tão esplêndida beleza. A matemática, ao longo de toda a sua existência, procurou sempre associar-se com o belo que nos rodeia, inspirando-se, modelando, construindo, contemplan-do, analisando, deduzindo.

As flores e as borboletas na Matemática

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