Este artigo apresenta as tabuadas da multiplicação como tabelas de padrões

Melo, Helena Sousa

Repositório da Universidade dos Açores

opinião/regional 13Correio dos Açores, 3 de Setembro de 2015Iniciamos mais um ano letivo e novamente, na disciplina de Matemática, fazemos o uso de algumas tabelas com padrões, que são, na ver-dade, as nossas velhas e conhecidas tabuadas de multiplicação. A tabuada é uma tabela usada para descrever uma operação de aritmética de um sistema algé-brico, quer seja de adição, subtração, multiplica-ção, divisão, ou qualquer outro tipo de operação matemática desde que bem definida num sistema algébrico que é um conjunto com operações e relações. A tabuada de multiplicação do sistema decimal é normalmente ensinada em todo o mundo. Há alguns autores que referem à tabela que contém todas as tabuadas de multiplicação de 1 a 10 como tabuada de Pitágoras ou tabela de Pitágoras (figura 1).Na tabela de Pitágoras, em uma das diagonais encontra-se o quadrado dos primeiros 10 números naturais, e notamos que existe simetria em relação a essa diagonal. Se considerarmos um conjunto de quatro números constituído pelos números que se encontram no vértice de um mesmo retângulo, na tabela de Pitágoras, observamos que o produto cruzado será o mesmo. Por exemplo, consideremos o conjunto formados pelos números, 9, 12, 12 e 16, temos que 9 x 16 = 12 x 12, seja agora o conjunto dos números 4, 18, 18 e 81, temos que 4 x 81 = 18 x 18, etc.. Quais outras relações poderemos obter? Experiente encontrar.Doravante, iremos analisar as tabuadas da multiplicação. Essas tabuadas são utilizadas para apresentar o produto entre dois do conjunto dos números naturais (IN), seguindo a associação entre o par de números naturais (a,b), denomina-dos de multiplicador e multiplicando, e o número natural c, denominado de produto, em que axb = c. Mantendo um número natural fixo, por exem-plo a, temos a tabuada de multiplicação de a, e os produtos obtidos de ax1, ax2, ax2, ax3, …, são os seu respetivos múltiplos,Somos normalmente conduzidos à memorização das tabuadas e não reparamos nos padrões que essas apresentam, quer em termos geométricos, quer em termos numéricos. Assim, nas figuras de 2 a 9, apresentamos, respetivamente, os produtos correspondentes a tabuada da multi-plicação dos números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, pelos primeiros números naturais, ou seja, apresentamos o subconjunto dos primeiros múltiplos de entre um conjunto de 209 números considerados, iniciados em 1. Como o nosso sistema de numeração é de-cimal, construímos uma tabela com dez colunas e, para os nossos exemplos, com 21 linhas, onde nas colunas estão os algarismos das unidades, de 0 a 9, e nas linhas, valores para as dezenas, de 0 a 20. Consequentemente, o número 123, por exemplo, se encontra na quadrícula da interseção da linha com o número 12 com a coluna com o algarismo 3. Com essa leitura, temos o conhecimento de todos os múltiplos relacionados a um determinado número. Por exemplo, consideremos a figura 4 que corresponde aos múltiplos de 4, produtos obtidos pela multiplicação do 4 com 1, 2, 3, etc., temos uma marca assinalada na linha com o número 15 e na coluna do algarismo l6, ou seja, o número 156 é múltiplo de 4. Esse é o produto de 39 por 4, pois encontra-se na trigésima nona marca a contar da marca inicial em 4.Para além dos padrões geométricos que apresentamos, há os numéricos. Vamos mostrar alguns. Para a tabuada de multiplicação do 3, verifica-mos que na ordem das unidades, os algarismos se repetem com a seguinte sequência: 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7, 0. Essa sequência pode ser entendida como sendo composta por duas sequências, sendo uma primeira subsequência de 5 algarismos, 3, 6, 9, 2 e 5, e uma segunda subsequência obtida pela adição do 5 à subsequência anterior, ou seja, 3 + 5 = 8, 6 + 5 = 11, originando o algarismo 1, 9 + 5 = 14, obtendo o algarismo 4, 2 + 5 = 7 e, finalmente, 5 + 5 = 10, tendo o algarismo 0, obtendo assim a se-gunda subsequência: 8, 1, 4, 7 e 0. Para a ordem das dezenas, mantemos um determinado valor, ou adi-cionamos uma unidade, dependendo do caso, isto é, enquanto os algarismos na ordem das unidades for aumentando em valor, o número nas dezenas deve ser mantido, e quando o algarismo das uni-dades decrescer em valor, devemos adicionar uma unidade ao valor que está nas dezenas. Devemos iniciar esse processo pelo número zero.Vejamos então como obtemos a tabuada de multiplicação do 3. Iniciamos em 03, depois temos 06, depois, 09, pois 9 é maior que 6, que por sua vez é maior que 3, por isso mantemos o 0 nas dezenas. Agora, como o próximo algarismo da ordem das unidades é o 2 e 2 é menor que 9, adicionamos uma unidade às dezenas e obtemos 12, depois 15 e 18, mantendo o algarismo da ordem das dezenas em 1, pois os algarismos da ordem as unidades foram aumentando, ou seja, 8 é maior que 5 que é maior que 2. O próximo algarismo da ordem das unidades é o 1, menor que 8, assim o próximo número na lista dos múltiplos é 21. Seguem-se 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, e assim por diante. Observamos que também há um padrão aditivo na ordem das dezenas do tipo 0,0,1, que pode ser notado se observamos os primeiros múltiplos, não nulo, de 3: 03, 06, 09, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, etc..Basicamente este método, para encontrar os valores na ordem das dezenas, é o mesmo para todas as tabuadas, isto é, mantemos o valor, quando os algarismos da ordem das unidades aumentam e, acrescentamos uma unidade na ordem das dezenas, quando o algarismo das unidades é menor que o anterior. Façamos um exemplo com a próxima tabuada, a dos 4. Temos para a ordem das unidades a seguinte sequência: 4, 8, 2, 6, 0. Temos como múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, e assim por diante.Observamos que para as tabuadas em que o número é par, há apenas cinco algarismos na ordem das uni-dades que se repetem. Assim, o mesmo irá ocorrer para as tabuadas de multiplicação do 2, 6 e 8. Mas, se o número considerado dor impar, há dez algarismos na ordem das unidades que se repetem e numa sequência formada por duas subsequências em que a segunda é originada pela primeira acrescida de um determinado valor.Vamos fazer mais dois exemplos, um com a tabuada de multiplicação do 7 e outro com a tabuada de multiplica-ção do 8.Na tabuada de multipli-cação do 7. Temos para a ordem das unidades a seguinte sequência: 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0, ou as duas subsequên-cias: 7, 4, 1, 8, 5, e: 2, 7 + 5 = 12, obtendo o algarismo 2, 4 + 5 = 9, 1 + 5 = 6, 8 + 5 = 13, obtendo o algarismo 3, e finalmente 5 + 5 = 10, e obtendo o algarismo 0. Também podemos obter essa sequência dos dez algarismo de uma forma diferente, também valida para os outros números, através do seu complemento aritmético que é igual a 3, pois 10 – 7 = 3, onde vamos subtraindo sucessi-vamente 3 às diferenças obtidas. Assim, iniciamos com 7, depois, 7 – 3 = 4, obtemos o 4, 4 – 3 = 1; 1 – 3 = -2 e como -2 é um número negativo, adi-cionamos 10, obtendo 8, 8 – 3 = 5, 5 – 3 = 2, 2 – 3 = -1, e sendo -1 um número negativo, fazemos 10 –1 = 9, 9 – 3 = 6, 6 – 3 = 3, 3 – 3 = 0, 0 – 3 = -3, e obtemos novamente o 7, voltando ao início da sequência. Com a informação dos algarismos da ordem das unidades já podemos escrever os pro-dutos resultantes da multiplicação de 7 por 1, 2, 3, 4 e assim por diante, ou seja, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, etc.Passemos a tabuada de multiplicação do 8. Pelo processo do complementar aritmético, temos que o complementar aritmético de 8 é igual a 2. Assim, a sequência para a ordem das unidades é a seguinte: 8, 8 – 2 = 6, 6 – 2 = 4, 4 – 2 = 2, 2 – 2 = 0, 0 – 2 = -2, ou seja, 8, voltando ao início. Resu-midamente, a sequência é formada por 8, 6, 4, 2 e 0. Com esses dados, construímos a tabuada do 8, isto é, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, e assim por diante.Como o nosso sistema de numeração é decimal, observamos que as sequências dos algarismos da ordem das unidades nas tabuadas de multiplicação de 3 e de 7 são as mesmas, invertendo o seu sentido, pois temos a sequência em ciclo “3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7, 0” para 3 e a sequência em ciclo “7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0” para 7. O mesmo acontece para as tabuadas de multiplicação de 2 e de 8, onde para 2 temos a sequência em ciclo “2, 4, 6, 8 e 0” e para 8, a sequência em ciclo “8, 6, 4, 2 e 0”.Experimente construir a tabuada de multiplica-ção do 6 e compare-a com a dos 4, ou experimente construir a tabuada do 13. Uma dica: o algarismo da ordem das unidades de 13 é 3, assim, há relação com a tabuada de multiplicação do 3. O que irá ocorrer com os valores da ordem das dezenas? Tente construí-la e verá….Boas tabuadas!Tabelas com padrões “A Viúva do Jacinto” com lotação esgotadaLotação esgotada no Teatro Ribeiragran-dense para assistir à reposição da peça “A Vi-úva do Jacinto”, farsa em dois actos que não era levada à cena há 43 anos. A última vez foi em 1972, então por alunos finalistas do magistério primário.Mais de quatro décadas volvidas, os qua-tro actores que a interpretaram pela última vez subiram ao palco do lotado Teatro Ribei-ragrandense onde reviveram tempos passa-dos através dos papéis que representaram na década de 70.Elmiro Mota, Álvaro Feijó, Teresa Rodrigues, Maria Hortência Feijó e Norberto Gaudêncio (ponto) cativaram o público com o seu à-vontade para a representação dos pa-péis que lhes estavam incumbidos, não es-condendo a satisfação de recuperarem uma peça antiga que esteve em voga entre os anos 50 e 70 do século passado. Foi uma homenagem aos emigrantes.Aulas de Teatro na Lagoa por Nelson CabralA Casa da Cultura Carlos César acolhe, de Outubro a Dezembro, aulas de teatro mi-nistradas por Nelson Cabral, reconhecido profissional na área.Este artista, natural de S. Miguel, for-mou-se em Teatro - Ramo Actor pela Escola Superior de Música e Artes do Espectáculo do Porto, em 1997. Tem trabalhado em vá-rias companhias de teatro, como “Chapitô”, “Artistas Unidos”, “Teatro de Garagem”, en-tre outras, e em inúmeros projectos indepen-dentes. Paralelamente participa em cinema, novelas e séries. Nos Açores tem dirigido trabalhos com grupos teatrais e ministrado acções de formação no âmbito das artes céni-cas. Recentemente encenou e interpretou, no Teatro Micaelense, “A Passagem das Horas”, com texto de Álvaro de Campos/ Fernando Pessoa.As aulas de teatro vão decorrer às Segun-das e Quintas-feiras, das 20h00 às 23h00. Esta formação terá uma carga horária total de 87 horas e é destinada a maiores de 16 anos com ou sem experiência na área teatral.No seu conteúdo programático estão contemplados vários exercícios de expressão mental, corporal e oral, exploração da voz e do som, improvisação dramática a partir de estímulos, contacto com o texto dramático e não dramático e construção e consolidação da personagem. Os formandos terão ainda a oportunidade de ter a experiência de actuar, com a apresentação no final da formação.As inscrições são limitadas a um máxi-mo de 18 formandos, e cada uma tem um custo mensal de 33,00 €, diz uma nota da autarquia lagoense.Às Segundas e Quintas-feirasPor: Helena Sousa Melohmelo@uac.ptProfessora do Departamento de Matemática da Universidade dos Açores

Tabelas com padrões

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