[...]. Na matemática e na filosofia há muitos exemplos. Obviamente não faremos a separação entre os paradoxos na matemática e na filosofia, pois os maiores filósofos desta área eram também os maiores matemáticos do seu tempo. Sem qualquer intenção de ferir a sensibilidade religiosa do leitor, apresento o famoso paradoxo de Nietzche (1844-1900) da Omnipotência de Deus. [...]

Martins, Maria do Carmo

Repositório da Universidade dos Açores

Correio dos Açores, 26 de Junho de 2014 ensino14Uma (des)complicada viagem ao mundo dos paradoxos Por: Maria do Carmo MartinsProfessora do Departamento de Matemática da Universidade dos Açoresmika@uac.ptHoje proponho-vos uma pequena viagem ao mundo dos paradoxos e das implicações que estes trazem para a Matemática, Filosofi a e outros campos do saber. Mas, comecemos por defi nir a palavra paradoxo. Uma procura rápida no dicionário esclarece a nossa curio-sidade (ou não): “Paradoxo |ôcs| (latim pa-radoxum, i, do grego parádoxos, -on, surpre-endente, estranho, extraordinário) substantivo masculino 1. Opinião contrária à comum; 2. [Por extensão] Facto incrível; 3. Desconcha-vo, asneira. Adjetivo 4. Paradoxal. Plural: pa-radoxos.” Trocando isso por miúdos, parado-xo é uma declaração aparentemente verdadei-ra que leva a uma contradição lógica ou a uma situação que contradiz a intuição comum. Não se preocupe o leitor se ainda não entendeu por completo o signifi cado de paradoxo. Um ilus-tração vem mesmo a calhar, certo? Comecemos por apresentar o paradoxo do mentiroso. Consideremos a afi rmação: “todo o micaelense é mentiroso”. Vamos analisar a veracidade desta afi rmação quando dita por mim, natural da R. Grande. Bem, (i) se  ao dizer  “todo o micaelense é mentiroso” estiver a falar a verdade, então a afi rmação “todo o micaelense é mentiroso”  é verdadeira! Da-qui resulta que eu sou mentirosa (não estou a falar a verdade)! (ii) Se estou a mentir, a então a afi rmação “todo o micaelense é men-tiroso” é falsa, pelo que não estou a mentir! Nas duas averiguações anteriores, concluímos que eu estou a falar verdade e não estou a falar verdade ou que estou a mentir e a não mentir. Confusos, certo?! Vejamos isso, pelo lado positivo: talvez esse paradoxo seja fi lho único e assim não haverá outros. Hum... bom demais! (In)felizmente existem outros e espalha-dos por diversas áreas, tais como: literatura, futebol, Internet, arte, música e... claro na fi losofi a e na matemática. Na literatura basta recordar o tão conhecido soneto de Luís de Camões “amor é fogo que arde sem se ver; é ferida que dói e não se sente; é um conten-tamento descontente; é dor que desatina sem doer”. No cinema, a trilogia “Regresso ao Futu-ro” (1985, 1898 e 1990) com Michael J. Fox. Nesta saga, a personagem central da história, Marty McFly, faz uma viagem ao passado e interage consigo próprio e com os seus futuros pais. Acontece que a mãe acabou por se apai-xonar por ele em vez de se apaixonar pelo pai, o que provocaria que ele não viria a nascer e como tal não conseguiria viajar ao passado para que a mãe se voltasse a apaixonar por ele, logo, voltaria a nascer. Na Internet, a citação de Abraham Lin-coln (1809-1865): “o problema sobre as cita-ções que encontramos na Internet é que nunca sabemos da sua veracidade”. Esta não parece ter nada de mal, mas espere: se esta citação é de Lincoln e usa a palavra Internet, então, das duas uma ou a Internet é mais antiga do que pensávamos ou Lincoln é nosso contem-porâneo! No grandioso mundo do futebol, João Pinto, defesa do futebol clube do Porto nos anos 80, fi cou conhecido pelos seus célebres comentários “estamos à beira do abismo! Agora, para sairmos da situação só nos resta dar um passo em frente” ou “rematei com o pé que tinha mais à mão”. Na arte, Escher (1898-1972) foi um famo-so artista holandês que se distinguiu pelas suas construções impossíveis e pela sua capacidade de gerar imagens com efeitos de ilusão ótica. Refi ra-se por exemplo, a obra Drawing Hands de 1948, na qual uma mão desenha a outra e Waterfall, de 1962, onde a água de uma cas-cata põe em movimento a roda de um moinho e descreve depois um percurso em ziguezague até ao ponto em que a queda da água começa de novo o seu trajeto (ver imagem).Na matemática e na fi losofi a há muitos exemplos. Obviamente não faremos a sepa-ração entre os paradoxos na matemática e na fi losofi a, pois os maiores fi lósofos desta área eram também os maiores matemáticos do seu tempo. Sem qualquer intenção de ferir a sensibilidade religiosa do leitor, apresento o famoso paradoxo de Nietzche (1844-1900) da Omnipotência de Deus. É sabido das sa-gradas escrituras que “Deus é omnipotente!”. Ora Nietzche coloca a questão de que se Deus pode verdadeiramente tudo, então pode criar uma rocha tão pesada que Ele próprio não a consiga levantar. Analisemos: (i) se Deus não puder criar tal rocha, contraria a hipótese de ser omnipotente, pelo que Deus não é omni-potente. (ii) Se Deus é omnipotente, então pode criar uma rocha tão pesada que não a pode levantar e daí Deus não é omnipotente. Mas Deus é omnipotente!O aspeto de auto referência dos para-doxos pode também ser expresso de outras formas. Consideremos o conhecido paradoxo do barbeiro: Numa aldeia estão em vigor as seguintes regras: 1. O barbeiro não faz a bar-ba a quem se barbeia sozinho; 2. O barbeiro faz a barba a todos os homens que não se barbeiam sozinhos. Aparentemente, do ponto de vista jurídico, não há problema com estas regras! Mas será mesmo assim? Então quem faz a barba ao barbeiro?!? Investiguemos. Ho-mem faz a sua barba, então o barbeiro não a faz (regra 1). Mas como o barbeiro também é um homem, vamos substituir nesta regra a palavra homem por barbeiro e ver o resultado: Homem Barbeiro faz a sua barba, então o barbeiro não a faz (regra 1). Temos assim uma contradição. Uma explicação é que talvez existam problemas com a regra 1. Passemos à regra 2: Homem não faz a sua barba, então o barbeiro faz. Fazendo o mesmo exercício de substituir a palavra homem pela palavra bar-beiro, obtemos: Homem Barbeiro não faz a sua barba, então o barbeiro faz. Novamen-te, deparamo-nos com uma contradição. Con-clusão: ninguém faz a barba ao desgraçado do barbeiro, isto porque as regras 1 e 2 não são consistentes. Como sair desta contradição? Tal aldeia não pode existir!O paradoxo do barbeiro pode ser expres-so na teoria dos conjuntos (ramo da mate-mática que estuda coleções de elementos e as suas propriedades). E que mal poderá isto ter? No início do século XX houve um ramo da matemática que começou a estudar o seu signifi cado formal: os fundamentos da mate-mática. Foi escolhida a teoria dos conjuntos para representar e ser os alicerces de toda esta ciência. A realçar que já havia muita in-vestigação nesse sentido. Para David Hilbert (1862-1943), um dos matemáticos mais notá-veis de sempre, toda a matemática podia ser representada usando a teoria dos conjuntos.Bertrand Russel (1872-1970), fi lósofo e matemático inglês, chegou a uma conclusão que abalou a matemática de então, hoje co-nhecido como o paradoxo de Russel. Embo-ra esteja estruturado em termos da teoria dos conjuntos, a única coisa que o leitor precisará de saber sobre conjuntos é que, os conjuntos são coleções bem defi nidas de elementos de qualquer tipo. Certamente que um pouco de notação irá também ajudar. Para  indicar que 26 é um elemento do conjunto dos números naturais, designado por IN, escrevemos 26   IN (lê-se 26 pertence ao conjunto dos núme-ros naturais) e para indicar que -2 não é um elemento de IN, escrevemos -2   IN  (lê-se -2 não pertence aos naturais).Agora, para estabelecer o paradoxo, ob-servamos que alguns conjuntos não se contêm a si próprios como membros (X   X) e outros sim (X   X). Para percebermos melhor dare-mos exemplos dos primeiros e dos segundos. Para os primeiros, basta considerar que o con-junto de todos os homens não é ele próprio um homem, e portanto não é um elemento de si próprio. Para os segundos, pensemos em todos os conjuntos que não contêm homens. Ora, o conjunto de todos os conjuntos que não contêm homens, ele próprio não contém homens. Então esse conjunto pertence a si próprio. Designemos por A o conjunto de todos os conjuntos que se contêm a si próprios como membros e por B o conjunto de todos aqueles que conjuntos que não se contêm a si próprios como membros. Podemos perguntar agora se B é membro de si próprio ou não (esta questão faz lembrar o leitor “quem barbeia o barbei-ro?”). Ora, (i) se B pertence a B, por defi nição do conjunto B, então B não pertence a B. Por outro lado, (ii) se B não pertence a B, então (novamente pela defi nição de B) B pertence a B. Portanto, B é um membro de si próprio se e só se não for um membro de si próprio. Esta contradição constitui o paradoxo de Russel, cujo impacto na teoria dos conjuntos foi trági-co. Numa lógica em que P e não P são verda-de é possível provar a veracidade de qualquer proposição. Tal lógica é inconsistente. Em suma, a descoberta dos paradoxos abalaram projetos de investigadores proemi-nentes. Os maiores do século XX. Mas sobre esta tragédia, continuaremos noutra oportuni-dade.

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