A aprendizagem da Matemática é mais significativa quando os alunos têm a oportunidade de experimentar e de verificar os conceitos nas suas vivências do dia a dia. Com este intuito, desenvolveu-se um projeto no Colégio do Castanheiro, em São Miguel, Açores, numa turma do 3.º ano de escolaridade, em que as crianças tiveram de construir modelos do corpo humano, com recurso constante a ferramentas matemáticas. Este artigo apresenta a estrutura e as várias fases de implementação do projeto, realçando no final alguns aspetos que consideramos importantes no âmbito do trabalho desenvolvido

Cabral, Marie Stephanie Moreira

Teixeira, Ricardo Emanuel Cunha

Repositório da Universidade dos Açores

Matema´tica no QuotidianoProjeto “O Corpo Humano”Marie Stephanie Cabral e Ricardo TeixeiraMestre em Educac¸a˜o Pre´-Escolar e Ensino do 1.o Ciclo do Ensino Ba´sicoUniversidade dos Ac¸oresstephaniemoreira@sapo.pt, rteixeira@uac.ptResumo: A aprendizagem da Matema´tica e´ mais significativa quando os alu-nos teˆm a oportunidade de experimentar e de verificar os conceitos nas suasviveˆncias do dia a dia. Com este intuito, desenvolveu-se um projeto no Cole´giodo Castanheiro, em Sa˜o Miguel, Ac¸ores, numa turma do 3.o ano de escolari-dade, em que as crianc¸as tiveram de construir modelos do corpo humano, comrecurso constante a ferramentas matema´ticas. Este artigo apresenta a estruturae as va´rias fases de implementac¸a˜o do projeto, realc¸ando no final alguns aspetosque consideramos importantes no aˆmbito do trabalho desenvolvido.Palavras-chave: Conexo˜es matema´ticas, resoluc¸a˜o de problemas, modelac¸a˜omatema´tica, 1.o Ciclo do Ensino Ba´sico.1 As conexo˜es e a modelac¸a˜o matema´ticaO estabelecimento de conexo˜es na sala de aula entre os diferentes temas ma-tema´ticos e entre esta disciplina, os outros saberes e a realidade e´ fundamentalpara o desenvolvimento da capacidade de a apreciar e utilizar. Os programas eas orientac¸o˜es curriculares, nacionais e internacionais, teˆm apontado neste sen-tido, bem como va´rios autores. Em [3], e´ poss´ıvel encontrar algumas refereˆnciassobre o tema.O conceito de conexa˜o matema´tica e´ abrangente e pode ser perspetivado e ex-plorado de variadas formas. As pontes entre diferentes temas matema´ticos, aligac¸a˜o da Matema´tica com a vida do quotidiano e a sua relac¸a˜o com outrasa´reas do saber sa˜o exemplo disso. O sentido que damos a uma ideia matema´ticadepende das conexo˜es que estabelecemos entre essa ideia e outras ideias ma-tema´ticas que possu´ımos. Ale´m disso, a explorac¸a˜o de conexo˜es abre a porta aodomı´nio das aplicac¸o˜es da Matema´tica e a` construc¸a˜o e explorac¸a˜o de modelosmatema´ticos.A Matema´tica faz parte do dia a dia de muitas profisso˜es. Esta e´ imprescind´ıvel,por exemplo, a` formac¸a˜o dos engenheiros, seja qual for o seu ramo ou a´rea deatuac¸a˜o. O geo´logo tambe´m utiliza diversos princ´ıpios de Matema´tica quandoescava, conhece e avalia os segredos que o solo encerra. O carpinteiro, para tirarJornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 2, pp. 65–7466 Projeto “O Corpo Humano”medidas e executar os seus trabalhos, o cozinheiro para calcular as dosagensdos ingredientes necessa´rios aos seus cozinhados e ate´ mesmo a costureira que“tira as medidas” aos seus clientes, todos recorrem a racioc´ınios matema´ticos.Outros exemplos podiam ser dados em domı´nios ta˜o diversos como a Astrof´ısica,a Arquitetura, a Agronomia, a Meteorologia e a Psicologia. Assim sendo, e´ fun-damental que os alunos na˜o vejam a Matema´tica como uma fonte inesgota´vel eentediante de fo´rmulas e ca´lculos, mas compreendam, ao longo do seu percursoescolar, o papel que esta desempenha no progresso da civilizac¸a˜o e a sua re-levaˆncia na sociedade contemporaˆnea. Cabe, portanto, ao professor estabelecerconexo˜es com a vida real na pra´tica da aula de Matema´tica e demonstrar assuas numerosas aplicac¸o˜es.Neste contexto, a resoluc¸a˜o de problemas, como capacidade transversal do en-sino da Matema´tica, constitui uma ferramenta indispensa´vel no estabelecimentode conexo˜es. A resoluc¸a˜o de problemas e´ um processo cognitivo [4, 5, 10] queenvolve “o levantamento de questo˜es, a ana´lise de situac¸o˜es, a realizac¸a˜o de es-quemas, a formulac¸a˜o de conjecturas e a tomada de deciso˜es” [11, p. 11]. Noprocesso de resolver problemas, existem va´rias varia´veis a ter em conta [8, 9],tais como: a aquisic¸a˜o e utilizac¸a˜o de conhecimento; o controlo e gesta˜o da in-formac¸a˜o; as convicc¸o˜es (de si, da Matema´tica, do meio envolvente); os afetos(emoc¸o˜es que podem influenciar o desempenho); e o contexto sociocultural.A ligac¸a˜o da Matema´tica com o mundo real, no contexto da resoluc¸a˜o de pro-blemas, faz-se atrave´s da construc¸a˜o de modelos matema´ticos. A modelac¸a˜omatema´tica assume, assim, um papel de relevo na caracterizac¸a˜o das conexo˜escom o mundo real em ambiente de sala de aula.A resoluc¸a˜o de problemas de aplicac¸a˜o a situac¸o˜es concretas do dia a dia pres-supo˜e a concretizac¸a˜o de determinados objetivos que sa˜o caracter´ısticos dasva´rias fases do processo de modelac¸a˜o. Um modelo matema´tico e´ uma repre-sentac¸a˜o de um objeto ou feno´meno real, com base num conjunto de regras ouleis de natureza matema´tica, que o retratam adequadamente. A modelac¸a˜o ma-tema´tica e´ o processo pelo qual se cria um modelo com vista a` ana´lise teo´ricade uma situac¸a˜o da vida real.A modelac¸a˜o matema´tica e´ empregue atualmente em problemas ta˜o diversoscomo, por exemplo, nas cieˆncias biolo´gicas e da sau´de, onde se estuda, entreoutros problemas, o crescimento populacional e a concentrac¸a˜o de um medi-camento no sangue. O processo de modelac¸a˜o matema´tica pode (e deve) serimplementado nos Ensinos Ba´sico e Secunda´rio, tendo por base conceitos deMatema´tica desses n´ıveis de ensino. Com isso, os alunos tera˜o a oportunidadede resolver problemas com aplicac¸o˜es concretas, desenvolvendo as capacidadesde abstrac¸a˜o, de analisar informac¸a˜o e, de um modo geral, de estabelecer co-nexo˜es.O modo como a relac¸a˜o matema´tica-realidade e´ encarada suscita tomadas deposic¸a˜o distintas. Alguns autores defendem a separac¸a˜o entre o mundo ma-tema´tico e o mundo real. A matematizac¸a˜o e´ vista como uma traduc¸a˜o defeno´menos reais, pertencentes a uma parte da realidade, para a Matema´tica. Omodelo matema´tico e a situac¸a˜o real a ser modelada sa˜o encarados como en-Jornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 2, pp. 65–74Marie Stephanie Cabral e Ricardo Teixeira 67tidades separadas. Nesta linha, destaca-se o ciclo de modelac¸a˜o proposto porHaylock [6], que esta´ ilustrado na pro´xima figura.Em s´ıntese, as quatro etapas do ciclo de modelac¸a˜o de Haylock traduzem-se em:1. Construir o modelo matema´tico.2. Obter a soluc¸a˜o em linguagem matema´tica.3. Voltar ao mundo real e interpretar a soluc¸a˜o obtida.4. Confrontar a soluc¸a˜o com a situac¸a˜o real de que se partiu.Se a soluc¸a˜o obtida na˜o fizer sentido, quando confrontada com a situac¸a˜o real,deve-se voltar a percorrer todo o ciclo, confirmando cada passo dado de forma adeterminar o que correu mal e, eventualmente, testando outras abordagens aoproblema.Vejamos um exemplo concreto. Considere-se a seguinte situac¸a˜o problema´tica.O senhor Joaquim tem uma enciclope´dia de 150 volumes e querarruma´-la em caixas. Cada caixa leva 18 volumes. Quantas caixassa˜o necessa´rias?A aplicac¸a˜o do ciclo de modelac¸a˜o de Haylock, traduz-se nos seguintes passos:1. Construir o modelo matema´tico: o problema do mundo real e´ modeladopela expressa˜o matema´tica 150÷ 18.2. Obter a soluc¸a˜o em linguagem matema´tica: recorrendo ao algoritmo dadivisa˜o, tem-se 150 = 18× 8 + 6.3. Voltar ao mundo real e interpretar a soluc¸a˜o obtida: necessitamos de 8caixas e um bocadinho de outra.4. Confrontar a soluc¸a˜o com a situac¸a˜o real de que se partiu: com apenas8 caixas, ficam alguns volumes de fora. Sendo assim, sa˜o necessa´rias 9caixas ao todo.Jornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 2, pp. 65–7468 Projeto “O Corpo Humano”Dada a simplicidade de implementac¸a˜o do ciclo de modelac¸a˜o de Haylock, en-tendemos que este deve ser aplicado desde os primeiros anos do Ensino Ba´sico.Existem outros ciclos mais elaborados [1, 7] que podera˜o ser implementadosprogressivamente nos anos que se seguem.O ensino da Matema´tica deve proporcionar oportunidades aos alunos para seenvolverem em momentos genu´ınos de investigac¸a˜o matema´tica, permitindoaproximar a atividade desenvolvida pelo aluno na sala de aula da atividadedesenvolvida pelo matema´tico num centro de investigac¸a˜o. O confronto de di-ferentes conjeturas e justificac¸o˜es pode incentivar a interac¸a˜o dos alunos unscom os outros e com o professor, favorecendo o desenvolvimento da capacidadede argumentar e de comunicar matematicamente. Ale´m disso, surgem natu-ralmente oportunidades para se estabelecerem conexo˜es com outros conceitosmatema´ticos.O projeto que se apresenta de seguida foi desenvolvido com uma turma do3.o ano do Cole´gio do Castanheiro, em Sa˜o Miguel. Por se tratar de umaprimeira abordagem, optou-se por apenas aplicar de forma intuitiva o ciclo demodelac¸a˜o de Haylock. Incentivou-se as conexo˜es com a expressa˜o pla´stica, porse entender que este tipo de estrate´gia ja´ tinha apresentado bons resultadosnoutro contexto [2].2 O desenvolvimento do projetoAtrave´s da construc¸a˜o do modelo do corpo humano, pretendia-se que as crianc¸ascompreendessem e aplicassem, de uma forma pra´tica e mais pro´xima da reali-dade, conceitos matema´ticos adquiridos previamente, bem como os conteu´dosaprendidos em Estudo do Meio no aˆmbito dos aparelhos do corpo humano. Destaforma, proporcionou-se aos alunos va´rios momentos de revisa˜o de conteu´dos dasduas a´reas curriculares.A turma foi dividida em pequenos grupos e cada grupo ficou responsa´vel porcriar um modelo. A construc¸a˜o dos modelos foi realizada durante va´rias sesso˜es.Em cada sessa˜o, os alunos resolveram algumas situac¸o˜es problema´ticas, de formaa obter as medidas necessa´rias para a construc¸a˜o a implementar, mobilizandocom isso diversos conceitos matema´ticos.Numa segunda fase, as crianc¸as procederam a` construc¸a˜o dos va´rios elementosdo corpo humano, partindo das medidas calculadas na fase anterior e seguindoJornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 2, pp. 65–74Marie Stephanie Cabral e Ricardo Teixeira 69instruc¸o˜es para o efeito. De seguida, descreve-se as va´rias componentes domodelo que foram constru´ıdas.2.1 A cabec¸a e o pescoc¸oPara construir a cabec¸a, as crianc¸as tiveram de medir as cabec¸as de todos oselementos do grupo. Apo´s elaborarem uma tabela de frequeˆncias, encheram umbala˜o com a medida da moda verificada na tabela. Procederam da mesma formapara a construc¸a˜o do pescoc¸o, cortando uma garrafa de 1, 5 l, de acordo com amoda da medida do pescoc¸o. No final, cobriram tudo com tiras de jornal e colabranca.2.2 Os membrosNa construc¸a˜o dos membros, os alunos mediram um brac¸o e uma perna do ele-mento mais baixo do grupo e tiveram de calcular o nu´mero de garrafas de 1, 5 lnecessa´rio para atingir o comprimento medido do brac¸o e da perna.A seguir uniram o nu´mero necessa´rio de garrafas para construir o brac¸o e me-diram o comprimento do brac¸o para cortar o excesso. Depois procederam damesma forma para a perna. Cobriram-nos, de igual modo, com tiras de jornale cola branca.2.3 O troncoO tronco foi elaborado com uma caixa de dimenso˜es pro´ximas das do troncode uma crianc¸a. Os alunos identificaram o centro do topo da caixa, calculandometade da sua largura e do seu comprimento, e o raio do fundo da garrafautilizada para fazer o pescoc¸o. Recorrendo a um compasso, desenharam umacircunfereˆncia no centro do topo da caixa para marcar o local onde iriam colaro pescoc¸o.Na base da caixa, desenharam duas circunfereˆncias nos locais da colagem daspernas. Para ale´m de ja´ saberam as medidas da base da caixa e do raio dasJornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 2, pp. 65–7470 Projeto “O Corpo Humano”garrafas de 1, 5 l, indicou-se que a distaˆncia entre o lado do tronco e a superf´ıcieda perna seria, aproximadamente, de um cent´ımetro.Antes de colarem tiras de jornal com cola branca, as crianc¸as afixaram bases degarrafas de 1, 5 l, cortadas ao meio, para formar os ombros.2.4 O aparelho circulato´rioO desafio, na construc¸a˜o do aparelho circulato´rio, foi descobrir as medidas dasveias e arte´rias para o modelo. Para tal, as crianc¸as tiveram de calcular a terc¸aparte da altura do tronco e a metade da largura do tronco para descobrir alocalizac¸a˜o aproximada do corac¸a˜o. A seguir, calcularam as seguintes medidas: Um terc¸o da altura do tronco: veia cava superior e arte´ria caro´tida comum; Dois terc¸os da altura do tronco: veia cava inferior e aorta descendente; Metade da largura do tronco: arte´ria pulmonar, veia pulmonar e arte´riasubcla´via.Com os resultados obtidos, os alunos mediram la˜ vermelha e azul para repre-sentar as veias e arte´rias, colocando-as no corac¸a˜o feito de pasta de modelar.2.5 O aparelho respirato´rioAs ramificac¸o˜es encontradas nos pulmo˜es foram mote para proporcionar umaabordagem muito simples a`s poteˆncias de expoente natural. Preparou-se umaestrutura com as ra´ızes do pulma˜o e as ramificac¸o˜es iniciais. As crianc¸as tiveramde descobrir quantas pec¸as de palhinha necessitavam de colar, em cada n´ıvel,sendo que, em cada uma das ramificac¸o˜es, encaixavam duas pec¸as de palhinha.Jornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 2, pp. 65–74Marie Stephanie Cabral e Ricardo Teixeira 712.6 O aparelho urina´rioNa construc¸a˜o dos rins, os alunos analisaram uma tabela com tamanhos aproxi-mados dos rins de crianc¸as entre os 7 e os 16 anos de idade. Com esta informac¸a˜o,calcularam o tamanho do retaˆngulo de tecido para fazer cada rim, sabendo queo tecido teria de ser dobrado na largura.Em relac¸a˜o a` bexiga urina´ria, o objetivo era encher um bala˜o com a´gua, ate´atingir o volume ma´ximo que uma crianc¸a pode suportar. Para descobrir ovolume, os alunos utilizaram a fo´rmula (n+1)×30 ml, sendo n a idade. Infeliz-mente, na˜o conseguiram encher o bala˜o porque ele na˜o aumentava em volume,apenas transbordava a a´gua. Optou-se por encher o bala˜o com ar.2.7 O aparelho digestivoPara construir o intestino delgado, as crianc¸as calcularam o nu´mero de guar-danapos que necessitavam para cobrir um arame com 100 cm, sendo que cadaguardanapo podia cobrir 7 cm do arame. Em seguida, cobriram o arame enro-lado de guardanapos com uma collant castanha.Jornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 2, pp. 65–7472 Projeto “O Corpo Humano”Em relac¸a˜o ao intestino grosso, este foi constru´ıdo com papel pardo e os alunoscalcularam o nu´mero de diviso˜es que tinham de executar em cada segmento(co´lon ascendente, co´lon transverso e co´lon descendente), sabendo que cadasegmento tinha de medir 20 cm e a distaˆncia entre cada divisa˜o teria de ser de5 cm.Na˜o necessitaram de efetuar ca´lculos para os restantes o´rga˜os do aparelho di-gestivo.2.8 Montagem e pinturaNo final, as crianc¸as pintaram, montaram, vestiram e apelidaram os modelos docorpo humano, criando, desta forma, personagens com identidade.Jornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 2, pp. 65–74Marie Stephanie Cabral e Ricardo Teixeira 733 Considerac¸o˜es FinaisEntendeu-se que aliar a arte e a brincadeira na resoluc¸a˜o de situac¸o˜es pro-blema´ticas seria uma forma de despertar, nas crianc¸as da turma do 3.o ano,um maior interesse pela a´rea da Matema´tica. Com as tarefas desenvolvidasno aˆmbito deste projeto, de caracter lu´dico e cooperativo, pretendeu-se que ascrianc¸as aprendessem e desenvolvessem competeˆncias a n´ıvel cognitivo, psico-motor e social, de uma forma descontra´ıda e divertida. De facto, as crianc¸asgozaram de momentos oportunos para empregar a sua imaginac¸a˜o e criatividade,bem como puderam estabelecer diferentes conexo˜es e verificar a importaˆncia daMatema´tica em situac¸o˜es reais do dia a dia.Ao longo do desenvolvimento do projeto, os alunos tiveram de obter informac¸o˜esnecessa´rias para a construc¸a˜o do corpo humano (e.g., medidas; modos de exe-cutar). Para tal, os participantes colocaram em pra´tica os seus conhecimentosmatema´ticos e estrate´gias de resoluc¸a˜o de problemas para obter os resultadosdesejados. Visto que os trabalhos foram elaborados em pequenos grupos, osalunos aprenderam, tambe´m, regras sociais e desenvolveram competeˆncias in-terpessoais.Os participantes, para ale´m de aplicarem estrate´gias, conteu´dos e conceitos ma-tema´ticos, ja´ adquiridos, mobilizaram, tambe´m, noc¸o˜es sobre os aparelhos docorpo humano (digestivo; circulato´rio; respirato´rio; urina´rio; e reprodutor) e re-correram a` expressa˜o pla´stica, estabelecendo assim conexo˜es entre a Matema´ticae as outras a´reas. Atrave´s deste projeto, pretendeu-se que as crianc¸as compreen-dessem, de uma forma mais pro´xima e pra´tica, os aparelhos e a sua constituic¸a˜o,bem como verificassem a aplicabilidade dos conceitos matema´ticos que haviamaprendido.Verificou-se empenho e entusiasmo por parte dos alunos durante o projeto, sendoque, por vezes, estes chegaram mesmo a fazer sugesto˜es para melhorar a cons-truc¸a˜o e apresentac¸a˜o do corpo humano. Na primeira fase, ca´lculo de medidas,Jornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 2, pp. 65–7474 Projeto “O Corpo Humano”as crianc¸as manuseavam os materiais que iriam utilizar na construc¸a˜o, comoforma de tentar descobrir como deveriam resolver as situac¸o˜es problema´ticas.Ao confrontar os dados, o objetivo e os resultados obtidos das situac¸o˜es pro-blema´ticas com a realidade, aplicando de forma rudimentar o ciclo de modelac¸a˜omatema´tica de Haylock, os participantes consolidaram conceitos ja´ adquiridose desenvolveram competeˆncias no aˆmbito da resoluc¸a˜o de problemas, nomeada-mente na formulac¸a˜o de novas estrate´gias.Refereˆncias[1] Bassanezi, R. C., Ensino-aprendizagem com modelagem matema´tica: umanova estrate´gia, Editora Contexto, 2002.[2] Cabral, M. S., Cascalho, J. M., Teixeira, R. C., “Problem Solving ThroughCrafts and Challenges”, In J. N. Silva (Ed.), Proceedings of RecreationalMathematics Colloquium III, pp. 23-40, Associac¸a˜o Ludus, 2013.[3] Cascalho, J., Melo, T., Teixeira, R., “Estabelecer conexo˜es com outrasa´reas e domı´nios do curr´ıculo: Uma forma de cativar as crianc¸as para aaprendizagem da matema´tica”, Educac¸a˜o e Matema´tica, n.o 124, pp. 12-18, 2013.[4] Costermans, J., As actividades cognitivas: racioc´ınio, decisa˜o e resoluc¸a˜ode problemas, Quarteto, 2001.[5] Eysenck, M., Keane, M., Cognitive psychology, Psychology Press, 2002.[6] Haylock, D., Mathematics Explained for Primary Teachers, Third Edition,Sage Publications, 2006.[7] Kerr, D. R., Maki, D., “Mathematical Models to Provide Applications inthe Classroom”, In S. Sharron & R. Reys (Eds.), Applications in SchoolMathematics, pp. 1-7, NCTM, 1979.[8] Lester, F., Teaching mathematical problem solving, 1987, recuperado a 12de junho de 2014, de http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/3243 88 3.pdf.[9] Schoenfeld, A., “Beyond the purely cognitive: belief systems, social cog-nitions, and metacognitions as driving forces in intellectual performance”,Cognitive Science, n.o 7, pp. 329-363, 1983.[10] Sternberg, R., Psicologia cognitiva, Artes Me´dicas Sul, 2000.[11] Vale, I., Pimentel, T., “Resoluc¸a˜o de problemas”, In P. Palhares. (Coord.),Elementos de matema´tica para professores do ensino ba´sico, pp. 7-51, Lidel,2004.Jornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 2, pp. 65–74

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