El registro de imágenes permite combinar la información proporcionada por diferentes
imágenes médicas. Entre las técnicas de registro destacan las basadas en la maximización de la información mutua (MMI,“Maximization of Mutual Information”) debido a su eficiencia. Para usar estos métodos se hace necesario calcular la función de densidad de probabilidad conjunta, siendo la técnica más utilizada el cómputo del histograma conjunto de las imágenes. Una desventaja clara de usar el histograma es que se trata de un estimador impreciso de la densidad de probabilidad. En
este trabajo se propone un método de estimación de densidad de probabilidad conjunta basado en vectores de soporte.Esta investigación ha sido subvencionada
parcialmente por la Conserjería de Educación y Cultura de la Región de Murcia (Fundación Séneca) a través del Proyecto 03122/PI/05

García Laencina, Pedro José

Sancho Gómez, José Luis

Serrano García, Jesús

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Repositorio Digital de la Universidad Politécnica de Cartagena

Estimación de Densidades Conjuntas deProbabilidad de Imágenes Médicas Basada enVectores de SoporteJesús Serrano Garcı́a, Pedro José Garcı́a Laencina, José Luis Sancho GómezDepartamento de Tecnologı́as de la Información y las ComunicacionesUniversidad Politécnica de CartagenaPlaza del Hospital 1, 30202 CartagenaTeléfono: 968326542E-mail: jsg@alu.upct.esResumen. El registro de imágenes permite combinar la información proporcionada por diferentesimágenes médicas. Entre las técnicas de registro destacan las basadas en la maximización de lainformación mutua (MMI,“Maximization of Mutual Information”) debido a su eficiencia. Para usarestos métodos se hace necesario calcular la función de densidad de probabilidad conjunta, siendola técnica más utilizada el cómputo del histograma conjunto de las imágenes. Una desventaja clarade usar el histograma es que se trata de un estimador impreciso de la densidad de probabilidad. Eneste trabajo se propone un método de estimación de densidad de probabilidad conjunta basado envectores de soporte.1. IntroducciónActualmente, la información proporcionada por lasdiferentes modalidades de imagen médica, tales comoCT, MRI o PET, se hace complementaria. El procesode alineamiento geométrico de diferentes imágenes,llamado registro de imágenes médicas, permitecombinar esta información y facilita tareas tales comola planificación de terapias o el diagnóstico. Hayvarias estrategias para abordar el problema de elregistro de imágenes médicas [1], pero una de ellas,basada en la maximización de la información mutuade las imágenes, ha obtenido gran relevancia debidoa su robustez y elegancia matemática. Este método,desarrollado simultánea pero independientemente en1995 por Viola et al. en [2] y por Collignon et al. en[3], aplica el concepto de la teorı́a de la informacióncomo una medida de la dependencia estadı́stica entrevóxeles en las dos imágenes.En el proceso de cálculo de la informaciónmutua (MI) se hace necesario estimar la densidadde probabilidad conjunta de las imágenes a serregistradas. En este trabajo se propone un métodobasado en vectores de soporte (SV, “Support Vector”)para estimar dicha densidad que proporciona unasolución suave y dispersa. La técnica de vectores desoporte es usada para resolver las ecuaciones conoperadores lineales que relacionan la distribución ydensidad conjuntas de las imágenes bajo estudio. Eneste estimador, cada uno de los pesos de los SV seobtiene solucionando un problema de programaciónlineal, lo cual permite usar kernels no simétricos queno satisfacen la condición de Mercer.2. El Problema del Registro deImágenes MédicasLas imágenes medicas generalmente se representancomo secuencias de “rodajas” 2-D transversales,que se usan para construir un volumen 3-D apartir de las relaciones geométricas entre estas. Elproblema del registro de imágenes médicas consiste,de manera general, en hallar los parámetros envueltosen la transformación que alinea geométricamentedichas imágenes. Este es usualmente un procesoretrospectivo, pues no se posee información a prioride las posiciones relativas del paciente o pacientesen los escáneres, y es deseable que sea automáticoy preciso. De los muchos enfoques para abordar elregistro retrospectivo de imágenes médicas, el basadoen la maximización de la información mutua (MMI)ha adquirido una gran relevancia en los últimos años.Este método postula que la información mutua entrelas dos imágenes a ser registradas se hace máximacuando éstas están geométricamente alineadas.2.1. Registro de Imágenes Médicasusando MMISean R (imagen referencia) y F (imagen flotante)dos imágenes relacionadas por una transformación deregistro Tα con parámetros α tal que los voxels pen R con intensidad r fı́sicamente se correspondencon los voxeles Tα(p) en F con intensidad f [4].La información que un valor contiene sobre el otrose mide como la información mutua I(F,R) de lasvariables F = {f} y R = {r}r =R(p)f =F(Tα(p))I(F,R) =∑f,rpFR(f, r) logpRF (f, r)pF (f) · pR(r) (1)donde pRF (r, f), pR(r) and pF (f) son las densidadesconjunta y marginales. Normalmente estas densidadesson calculadas por simple normalización delhistograma conjunto, hα(f, r), y posteriormente sehallan los parámetros α∗ que maximizan la expresiónde la información mutua.3. Estimación de Densidades deProbabilidad usando Vectores deSoporteSea p(x) la función de densidad de probabilidad de unconjunto de datos {x1, ..., xl} que se desea estimar.La función de distribución esF (x) = P (X ≤ x) =∫ x∞p(t)dt (2)Encontrar la densidad requiere por tanto resolverla ecuación Ap = F , donde A es un operadorlineal y F se puede aproximar como la funciónde distribución de probabilidad empı́rica calculada apartir del conjunto de datos usandoFl(x) =1ll∑i=1θ(x− xi) (3)donde θ(x) = 1 si x > 0 y θ(x) = 0 en cualquierotro caso. El método de vectores de soporte puedeser usado para resolver ecuaciones con operadoreslineales tipo Ap(t) = F (x), tal y como se describeen [5]. Se trata de un problema de regresión dondeconsideramos los tripletes {xi, Fl(xi), εi}, conεi = σi =√1lFl(xi)((1− Fl(xi))) (4)A partir de estos tripletes se lleva a cabo la regresiónde la función de distribución Fl(xi) usando undeterminado tipo de kernel K. Una vez obtenidoslos vectores de soporte xsv y sus correspondientesmultiplicadores α, se aplican a un kernel-cruzado K,que se obtiene a partir de K usando el operador linealA [6].Como tal, el método no garantiza obtenerdistribuciones siempre positivas, debido a quelos kernels usados pueden ser no monótonos.Además, los kernels monótonos que cumplen lascondiciones de Mercer no tienen formas adecuadaspara estimar distribuciones con la suficiente precisión.Sin embargo, es posible emplear kernels tı́picamenteusados para estimación de densidades aunque éstosno cumplan las condiciones de Mercer. Esto seconsigue empleando técnicas de programación linealpara la regresión SV [7].Si se desea, como es nuestro caso, que la estimaciónde la densidad sea una mezcla de funciones de formagaussiana, se requiere un kernel de forma sigmoideapara estimar la distribuciónK(xsv, x) =11 + eγ(xsv−x)(5)donde γ controla la anchura del kernel y xsv es elcentro del mismo. A partir de la ecuación 5 se obtieneel kernel cruzado, que es de forma gaussianaK(xsv, x) = γ2 + eγ(xsv−x) + e−γ(xsv−x) (6)Se resuelve el problema de optimización linealhayando los vectores de soporte que estiman ladistribuciónF (x) =l∑i=1αiK(xi, x) (7)a partir de los cuales se reconstruye la densidad deprobabilidadp(t) =l∑i=1αiK(xi, t) (8)3.1. Estimación de Densidades deProbabilidad ConjuntaEl método previamente descrito para densidadesunidimensionales se puede extender a un casomultidimensional, como es la estimación de ladensidad conjunta de probabilidad de dos imágenesmédicas. Este es un problema bidimensional, en elcual se estima la densidad conjunta p(t) a partirde la distribución de probabilidad conjunta halladaempı́ricamente Fl(x), donde x = (x1, x2) es el vectorconteniendo los valores de intensidad de cada una delas imágenes. En nuestro caso, x1 = r y x2 = f .Al ser un problema bidimensional, se requiere unkernel tambien bidimensional, por lo que este seelige tal que sea el producto tensor del kernelunidimensional mostrado en la ecuación (5)K(xsv,x) =11 + eγ1(xsv,1−x1)× 11 + eγ1(xsv,2−x2)(9)donde xsv = (xsv,1, xsv,2) es el centro del kernel yγ = (γ1, γ2) es un vector conteniendo las anchurasde kernel en cada una de las dimensiones. Por lo tantoel kernel cruzado resultaK(xsv,x) = γ12 + eγ1(xsv,1−x1) + e−γ1(xsv,1−x1) ×γ22 + eγ2(xsv,2−x2) + e−γ2(xsv,2−x2)(10)4. ResultadosPara probar el algoritmo descrito se usaron unaimagen PET de 128× 128× 40 vóxels y una imagenCT de 512× 512× 40 vóxels, ambas de la zona del(a) CT (b) PETFig. 1. Cortes transversales de las imágenes CT (a) y PET (b)utilizadas.tórax. En la Figura 1 se muestran cortes transversalesde ambas modalidades. Posteriormente al cálculo dela distribución conjunta empı́rica, realizado usando64 puntos equidistantes entre 0 y 255 para cada unade las dimensiones, se lleva a cabo la estimaciónde la densidad conjunta a partir de la distribuciónaproximada. Se obtuvieron 249 vectores de soporte,que suponen un 16,45% del total de puntos utilizados,resultando un error MSE entre la estima y ladistribución empı́rica del orden de 10−4.(a) Histograma conjunto(b) Estimación de la f.d.pFig. 2. Histograma conjunto de las imágenes CT y PET (a) yestimación de la función de densidad de probabilidad conjuntacalculado con el método de los vectores de soporte.En las Figuras 2 y 3 se observa que el resultadoobtenido suaviza la forma del histograma, con laventaja de que la solución obtenida es dispersa,comprimiendo la información de la densidad conjuntade probabilidad en el 16,45% del total de los datos.(a) Histograma conjunto 2D (b) Estimación de la f.d.p 2DFig. 3. Proyecciones 2D verticales del histograma conjunto delas imágenes CT y PET (a) y de la estimación de la función dedensidad de probabilidad conjunta calculado con el método de losvectores de soporte.5. ConclusionesSe ha desarrollado un método de estimación dedensidades conjuntas de imágenes médicas basadoen vectores de soporte que proporciona una solucióndispersa y suavizada. Para llevar a cabo la estimacióncorrectamente, los kernels usados para realizar laregresión de la función de distribución empı́ricadeben adaptarse a la forma de la misma. Este tipode kernels solo pueden ser usados escogiendo unaalternativa de programación lineal de los SV. Una vezhallada la solución, los SV obtenidos se aplican a loskernels cruzados, que son los que llevan a cabo latransformación del operador lineal que relaciona ladistribución y la densidad de probabilidad.AgradecimientosEsta investigación ha sido subvencionadaparcialmente por la Conserjerı́a de Educación yCultura de la Región de Murcia (Fundación Séneca)a través del Proyecto 03122/PI/05. Las imágenesDICOM usadas para los resultados han sido obtenidasdel sitio web de OsiriX de código abierto.Referencias[1] Maes, F., Vandelmeulen, D. and Suetens, P. (2003). “MedicalImage Registration using mutual information”. En Proc. ofthe IEEE 91(10): 1699–1722.[2] Viola, P. & Wells W. M. (1995). “Alignment by maximizationof mutual information”. En Proceedings of the 5thInternational Conference Computer Vision, páginas 16–23,Cambridge, MA.[3] Collignon, A., Maes, F., Delaere, D., Vandermeulen,D., Suetens, P. and Marchal, G. (1995). “Automatedmultimodality medical image registration using informationtheory”. En Bizais, C., Barillot, C. and Di Paola, R., editores,Proceedings of the 14th International Conference InformationProccesing in Medical Imaging (IPMI’95), ComputationalImaging and Vision 2: 263–274. Ile de Berder, France.[4] Maes, F., Vandelmeulen, D. and Suetens, P. (2003).“Medical Image Registration using mutual information”. EnProceedings of the IEEE 91(10): 1699–1722.[5] Vapnik, V., Golowich, S. and Smola, A. (1997) “Supportvector method for function approximation, regressionestimation and signal processing”. En Mozer, M,. Jordan,M. and Petsche, T, editores, Advances in Neural InformationProcessing Systems 9: 281–287. MIT Press, Cambridge, MA.[6] Weston, J. A. E. (1999). Extensions to the Support VectorMethod. Ph. D. Thesis, University of London, England.[7] Vapnik, V (1998). Statistical Learning Theory. Wiley, NewYork.

Estimación de densidades conjuntas de probabilidad de imágenes médicas basada en vectores de soporte

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