Fortin, Pierre

Pierre Fortin

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L Actualité économique

Une démonstration élémentaire du théorème de Sharpe-Lotka dans le cas discret

Érudit

Érudit est un consortium interuniversitaire sans but lucratif composé de l'Université de Montréal, l'Université Laval et l'Université du Québec àMontréal. Il a pour mission la promotion et la valorisation de la recherche. Érudit offre des services d'édition numérique de documentsscientifiques depuis 1998.Pour communiquer avec les responsables d'Érudit : info@erudit.org Note « Une démonstration élémentaire du théorème de Sharpe-Lotka dans le cas discret » Pierre FortinL'Actualité économique, vol. 56, n° 1, 1980, p. 127-132.   Pour citer cette note, utiliser l'information suivante : URI: http://id.erudit.org/iderudit/600894arDOI: 10.7202/600894arNote : les règles d'écriture des références bibliographiques peuvent varier selon les différents domaines du savoir.Ce document est protégé par la loi sur le droit d'auteur. L'utilisation des services d'Érudit (y compris la reproduction) est assujettie à sa politiqued'utilisation que vous pouvez consulter à l'URI https://apropos.erudit.org/fr/usagers/politique-dutilisation/Document téléchargé le 12 février 2017 02:58Une démonstration élémentaire du théorème de Sharpe-Lotka dans le cas discret Le théorème de Sharpe-Lotka (1911 ; Leslie, 1945) fournit un exemple très intéressant de l'application de l'algèbre linéaire à la théorie de la population. Soit x(a, t) le nombre de personnes d'âge a au temps t, où a = 1, 2, 3, ...j n, t = 0, I3 2, ..., oo et x(t) est le vecteur colonne des n éléments x(l, t), ..., x(n, t). Pour tout t, le vecteur x(t) sera transformé à la date suivante (*+ 1) en un vecteur x(t + 1) au moyen d'une matrice carrée M d'ordre n. Cette matrice est appelée la matrice de projection de la population en question : x(t+l)=Mx{t), t = 0 ,1, 2, ...,oo, (1) et elle est un résumé des forces de natalité et de mortalité qui caractérisent la population. Dans sa première ligne, l'élément mu indique combien, en moyenne, chaque personne d'âge a = ; engendrera d'enfants par unité de temps ; ainsi, le produit de cette première ligne et du vecteur x(t) donne le nombre de personnes d'âge a = 1 (premier élément de x(t + I)) au temps t + 1. Les éléments Tn15 sont évidemment nuls pour les indices ; qui se situent hors de la période de fécondité (ex. : 15 à 49 ans). Les seuls autres éléments de M qui ne sont pas nuls sont les éléments qui forment la diagonale immédiatement au sud-ouest de la diagonale principale de M, c'est-à-dire les éléments m21, m32, m43,..., mnt n_1. Ces éléments, par exemple miai^v représentent les taux de survivance pour chaque âge a = i — 1 lorsqu'on passe du temps t au temps t + 1 et que les survivants passent à l'âge a = i. La matrice M est non négative et prend la forme suivante : M = 0 m 21 0 0 0 0 0 0 32 0 0 .. 0 . . . 0 . . . 0 . . . m 4 3 " . . 0 . . 0 . . 0 . . 0 ™1,15 0 0 0 mw 0 . . . 0 . . . 0 . . . . . . . 0 •m i . 4 9 . . . 0 . . . 0 . . . 0 0 0 0 0 0 m n, n—i . 0 . 0 . 0 . 0 0 128 L'ACTUALITÉ ÉCONOMIQUE Bien sûr, les forces de natalité et de fécondité peuvent évoluer à travers le temps, mais dans les hypothèses du théorème de Sharpe-Lotka, on les suppose fixes indéfiniment (M est une matrice constante). Ces préalables étant acquis, le théorème de Sharpe-Lotka affirme qu'une population soumise à des forces de natalité et de mortalité stables tend asymptotiquement, premièrement, vers une répartition selon l'âge qui ne dépend pas de la répartition initiale (quelle qu'elle soit), mais seule-ment de ces forces stables ; et, deuxièmement, vers un taux de croissance (ou de diminution) qui est le même pour tous les âges et pour l'ensemble de la population. Pour démontrer ce théorème, il faut remarquer que M étant une matrice non négative, elle possède une et une seule valeur propre positive \ > 0 à laquelle correspond un unique vecteur propre positif V1 (qu'on n normalisera suivant la relation ^ vla = 1, où vla est le alème élément de O=I ZZ1). De plus, toutes les autres valeurs propres (distinctes) de A/, soient X2, X3, ...,Xn sont inférieures à X1 en valeurs absolues. Ces résultats sont le fruit d'un théorème fondamental de la théorie des matrices non négatives, le théorème de Perron-Frobénius (Gantmacher, 1966, 49-50). La fraction de la population d'âge a au temps t est égale à n x(a, t)/^x(a, t). De plus, le rapport entre le nombre de personnes d'âge a = l a au temps t + 1 et le nombre de personnes du même âge au temps t est x {a, t + I)/x (a, t). Le théorème de Lotka affirme en fait que : lim x(a, t) ^ *{a,t) c'est-à-dire que le vecteur propre positif (normalisé) V1 correspondant à la valeur propre positive I1 de M nous donnera précisément la répartition asymptotique de la population selon l'âge ! Et, deuxièmement, que : lim x (a, t+ l) . ; — = X1 pour tout a, c'est-à-dire que la valeur propre positive K1 de M elle-même sera exacte-ment égale au facteur d'augmentation (ou de diminution) asymptotique du nombre de personnes dans tous et chacun des âges et, par conséquent, dans l'ensemble de la population ! Le taux de croissance (ou de diminution) asymptotique sera évidem-ment r = X1 — 1, de sorte que la population croîtra, sera stationnaire ou THÉORÈME DE SHARPE-LOTKA 129 décroîtra asymptotiquement selon que X1 sera supérieur, égal ou inférieur à l'unité. On remarquera aussi que le détail des forces de natalité (pre-mière ligne de M) et de mortalité (première sous-diagonale de M) im-porte peu en soi, mais seulement en autant qu'il détermine X1 et V1. Ainsi plusieurs matrices M peuvent être compatibles avec les mêmes X1 et V1. Nous passons maintenant à la preuve du théorème de Sharpe-Lotka. Par définition, les valeurs propres X1,..., Xn de M et leurs vecteurs pro-pres correspondants V19 ...,Vn satisfont aux relations : Mv1 = \v{ , i = 1, ..., n. Si on appelle V la matrice carrée d'ordre n dont les n colonnes sont les n vecteurs propres V1,..., Vn de M, et L la matrice diagonale d'ordre n dont les éléments de la diagonale sont X1, ..., Xn, on peut récrire les rela-tions précédentes sous forme matricielle : MV=VL. Comme X1,..., Xn sont distinctes, les vecteurs V1,..., Vn sont linéairement indépendants et la matrice V est non singulière. De sorte que l'on a : M=VLV-1 De plus : M2 = MM= (VLV-1) (VLV-1) = VL2V"1 et, par récurrence : Mt=VUV-1 , / = 1,2,3,. . . , oo. (2) Supposons que le vecteur initial du nombre de personnes dans chaque groupe d'âge soit arbitraire, et égal à x(0). Ce vecteur est non négatif et on ne lui demande que d'avoir du monde dans au moins un des âges féconds. Suivant l'équation (1) de la page 127, qui décrit le renouvelle-ment de la population, on a : X(I) = Mx(O), x(2)= Mx(I)= M2X(O) et, par récurrence : X(I)=M1X(O) , t=l,2,..., oo. (3) Si on combine les équations (2) et (3), on obtiendra : X(I)=VVV-1X(O), (4) et si on définit le vecteur c = T-1Ar(O), (4) entraînera : x(t) = VVc (5) On notera que C1, le premier élément du vecteur colonne c, est un scalaire positif. En effet, C1 est, suivant la définition de c, le produit de la 130 L'ACTUALITÉ ÉCONOMIQUE première ligne de V"1 (appelons-la W1) et du vecteur colonne x(0). Or5 comme M=VLV'1 (voir page 129), on a V1M = LV-1. Si on déta-che de cette dernière relation matricielle la première rangée, il s'ensuit que W1M = ^1W1, ou, en transposant, M'w[ = \w[. Le vecteur colonne W1 est le vecteur propre de la matrice M' corres-pondant à sa valeur propre positive X1. Vu que Mf, comme M, est une matrice non négative, elle satisfait aussi au théorème de Perron-Frobénius. Donc, w i est un vecteur colonne à éléments positifs et le produit W1Ar(O) = C1 est un scalaire positif, tel qu'on l'a prétendu. Il est évident que C1 est un scalaire proportionnel à la dimension de la population initiale distribuée par âge dans le vecteur x(0). Le vecteur colonne Vc a pour élément-type le nombre cfâ, z = 1, ..., n. En particulier, c^\ est positif, car C1 > 0 et \ l> 0. Les autres peuvent être négatifs, nuls ou complexes. Il s'ensuit qu'on peut exprimer x(t), à partir de (5), comme une combinaison linéaire des vecteurs V1, ..., Un, soit : n x(t) =2/iV< (6) Si on divise les deux membres de (6) par C1W1 >0 , on obtient : Mais : £•.(£)'-* , ' -2-8--"' puisqu'en vertu du théorème de Perron-Frobénius, (page 128), on a \/K I < 1> P° u r *" — 2. Par conséquent, de (7) on tire : lim x(t) - = 0 1 , (8) t - » 00 C1Il c'est-à-dire : lim x(a,t) où x(a, t) et vla sont les alème composantes de x(t) et de V1, respective-ment, comme on se rappellera. En faisant la somme des n limites dans (9), on obtient alors : THÉORÈME DE SHARPE-LOTKA 131 2 *(«,o g = i t -> oo C1K1 ** " — 2 ^ . - » . (W) car V1 est un vecteur positif qu'on a normalisé. Si on divise chacune des limites dans (9) par celle qu'on a obtenue en ( 10), on en tire la première conclusion du théorème de Sharpe-Lotka. Hm x(a,t) _lim x(a,t)/c& „ _ i o t ^ o o ^ * - * o o ^ "» ' a - 1 ' 2 — ' n -2,x(a,t) 2,X[UJ)Ic1K (H) a = i a = i D'autre part, rien ne nous empêche de récrire (9) de la façon suivante : Km * ( M + 1 ) _ „ „ « „ /ION Il ne nous reste alors plus qu'à diviser chacune des n limites obtenues en (12) par la limite correspondante dans (9) pour en tirer la seconde conclusion du théorème de Sharpe-Lotka, soit : Hm x(ayt+ 1) = lim I1XJa, t + I )A 1 ^ 1 + 1 __ ^ v™=i (13) t -> oo x(a, t) t -> oo x(a9 OAiM a * v^a x pour tout a = 1,..., n. C.Q.F.D. Remarques Au cours de cette démonstration, nous avons même prouvé plus que prévu. Non seulement la répartition asymptotique selon l'âge (V1) et le taux de croissance de chaque âge et de l'ensemble de la population (^1— 1) sont-ils indépendants de #(0) et caractérisés seulement par les forces de natalité et de mortalité représentées par la matrice Af, mais le vecteur démographique x(t) va coïncider asymptotiquement avec le vecteur W1C1V1. On sait que X1 et V1 proviennent de M et que C1 est calculé à partir des conditions initiales x(0). Supposons que la répartition asymp-totique selon l'âge (ZJ1) était réalisée au temps / = 0 et que la population totale était C1. II s'ensuivrait que : x(0) = C1V1. Comme V1 est le vecteur propre positif de Af, on obtiendrait, en vertu de l'équation (1) : x( 1 ) c= Af*(0) = C1Mv1 = C1I1V19 x(2) = Mx( 1 ) = C1I1Mv1 = C1IIv1 132 L'ACTUALITÉ ÉCONOMIQUE et par récurrence : x(t) = C1I[V1. Ainsi, le processus de renouvellement de la population conserverait indéfiniment la même distribution selon l'âge (^1) et le même taux de croissance (^ 1 — 1 ). Ce que le théorème de Lotka ajoute est que, quel que quel que soit notre point de départ x(0), nous allons finir par rejoindre à long terme le même sentier de croissance (répartition et taux de crois-sance) que si l'on partait en ligne avec ce sentier dès l'instant J = O. x (2,t) V C n i x (Ut) Graphiquement, si a = 1, 2, seulement (i.e. n = 2) , cela signifie que l'on finira toujours par se retrouver sur la droite issue de l'origine et de pente V1Jv11, quel que soit le point de départ # (0 ) , dont trois exemples sont illustrés. En ce sens, on dit souvent que le théorème de Sharpe-Lotka démontre la « stabilité globale » ou « l'ergodicité » du système démo-graphique. Pierre FORTIN, Université Laval. RÉFÉRENCES GANTMACHER, F.R. (1966), Théorie des matrices, tome 2, Paris, Dunod. LESLIE, P.H. (1945), « On the use of matrices in certain population mathe-matics», Biometrika 23, 183-212. SHARPE, F.R. and AJ. LOTKA (1911), «A problem in age-distribution », Philosophical Magazine VI, 21, 435-8. 