Рассматривается свободная частица, поведение которой описывается уравнением Ланжевена с двумя некоррелированными гауссовскими белыми шумами. Получено точное выражение одномерной нестационарной плотности вероятности координаты частицы для произвольной амплитуды мультипликативного шума. Найдены целые моменты в случае линейной амплитуды. Показано, что дисперсия координаты частицы экспоненциально возрастает со временем.We study a Langevin equation for a free particle driven by two uncorrelated Gaussian white noises. The univariate non-stationary probability distribution function of the particle position is obtained exactly for arbitrary amplitude of multiplicative noise. Its integer moments are derived in case of a linear amplitude. It is shown that the dispersion of the particle position increases exponentially for long times

Vitrenko, Andrii Mykolaiovych

Витренко, Андрей Николаевич

Вітренко, Андрій Миколайович

Electronic Sumy State University Institutional Repository

УДК 531.19  СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ БЕЛЫХ ШУМОВ  А. Н. Витренко, асп.  Один из распространенных методов исследования физических систем, взаимодействующих с флуктуирующей средой, основывается на уравнениях Ланжевена [1-3], в которых влияние окружения учитывается посредством внешнего шума с известными статистическими характеристиками. Во многих случаях этот шум может быть аппроксимирован гауссовским белым шумом, вследствие чего параметр состояния системы становятся диффузионным марковским процессом [4]. При этом одномерная плотность вероятности и плотность вероятности перехода будут удовлетворять уравнению Фоккера-Планка, которое может быть решено точно в отдельных случаях [2,3,5,6]. Однако в зависимости от характера взаимодействия и особенностей самой среды уравнения Ланжевена могут содержать несколько гауссовских белых шумов [10] с разными статистическими характеристиками. Обычно рассматривается мультипликативный (зависит от параметра состояния системы) и аддитивный шум. Так как поведение таких систем может отличаться от поведения систем, подверженных влиянию одного шума, точные результаты имеют большое значение. В этой статье находятся точные выражения для статистических характеристик свободной частицы, движение которой описывается простейшим, в общем случае нелинейным, уравнением Ланжевена   ( ) ( )( ) ( ) ( )tftftxgtx 21 += , ( ) 00 0 >= xx  (1)  Здесь ( )tx  – параметр состояния системы (координата частицы), ( )( )txg  – некоторая детерминированная функция, независящая явно от времени, ( )tf1  – мультипликативный и ( )tf2  – аддитивный гауссовский белый шум. Полагается, что шумы независимые с нулевыми средними значениями и корреляционными функциями   ( ) ( ) ( )11 2 tttftf iii −∆= δ ,   (i=1,2)  (2)  где угловые скобки ⋅  означают усреднение по реализациям шумов )(tfi , i∆  – интенсивности шумов )(tfi , ( )tδ  – δ-функция Дирака. Вычислим сперва одномерную плотность вероятности P(x,t) того, что x(t)=x. Уравнение Фоккера-Планка в интерпретации Стратоновича, соответствующее (1) и (2), имеет вид [7-9]   ( )txPt,∂∂= ( ) ( )txPxax,∂∂− + ( ) ( )txPxbx,22∂∂ , (3)  где ( ) ( )00, xxxP −= δ ; ( )xa  и ( )xb2  – коэффициенты сноса и диффузии:   ( ) ( ) ( )xgxgxa ′∆= 1 ,     ( ) ( ) 221 ∆+∆= xgxb . (4)  Для получения решения уравнений (3),(4) используем взаимно-однозначное преобразование ( )xu ψ=  фазового пространства марковского процесса ( )tx , при котором коэффициент диффузии ( )ub~2  марковского процесса ( )tu  будет равен единице [10]:   ( )xψ =( )∫ ∆+∆ 221 xgdx . (5)  Оказывается, при таком выборе функции ( )xψ  коэффициент сноса ( )ua~ , определяемый как функция старой переменной следующим образом   ( )xa~ = ( ) ( )xxa ψ ′ + ( ) ( )xxb ψ ′′ ,  будет равен нулю. Следовательно, плотность вероятности ( )tuP ,  удовлетворяет простейшему уравнению диффузии:   ( )ttuP∂∂ ,= ( )tuPu,22∂∂ , (6)  решение которого, с учетом начального условия ( )0,uP = ( )[ ]0xu ψδ − , имеет вид [11]   ( )tuP , = ( )[ ] −−txut 4exp41 20ψπ. (7)  Принимая во внимание (5) и (7), плотность вероятности P(x,t) записывается как   ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ] ( ){ }txxxgttxP 4exp4, 2021221 ψψπ −−∆+∆= − . (8)  Таким образом, решение уравнений (3),(4) может быть записано в виде квадратур для произвольной функции ( )xg . Для получения результатов в явном виде рассмотрим три ее частных случая с качественно разным асимптотическим поведением на бесконечности, для которых интеграл (5) может быть вычислен. В первом примере исследуем систему (1) с неограниченно возрастающей на бесконечности функцией интенсивности мультипликативного шума, ( )xg = x . Взаимно-однозначное преобразование (5) принимает форму   ( )xψ = ∆∆∆ 211arsh1 x . (9)  При этом нестационарная плотность вероятности (8) будет имеет вид   ( )txP , =( )22121∆+∆ xtπ ∆∆−∆∆∆−2210211arsharsh41exp xxt. (10)  Для второго примера явных выражений (8) выберем функцию ( )xg , стремящуюся к нулю при большом x, ( )xg =11+x. Функция ( )xψ  (5)   ( )xψ = ( )212211∆∆++∆xxx  (11)  определяет взаимно-однозначное преобразование, нестационарная плотность вероятности (8) дается выражением   ( )txP , =( )[ ]122 121∆++∆+xtxπ( ) ( )∆∆++−∆∆++∆−2212021221141exp xxxxt.    (12)  В третьем примере примем ( )xg = xth , для большого x интенсивность мультипликативного шума постоянна. В этом случае функция (5)   ( )xψ = ∆∆+∆∆+∆xsharsh122121 (13)  задает взаимно-однозначное преобразование и нестационарная плотность вероятности (8) имеет вид  ( )txP , =( )221 th21∆+∆ xtπ×   ×( ) ∆∆+∆−∆∆+∆∆+∆−2022122121sharshsharsh41exp xxt. (14)    Графики плотностей вероятности (10), (12), (14) приведены на рисунке 1. Качественно разное асимптотическое поведение на бесконечности интенсивности Рисунок 1- Эволюция во времени одномерной плотности вероятности P(x,t) при разных функциях g(x) интенсивности мультипликативного шума f1(t): а) g(x) = x,          б) g(x)  = 1/(1+|x|) в) g(x) = thx (∆1=∆2 = 1, x0 = 1, 1) t=1, 2) t=10). аx-10 -5 0 5P(x , t )0.00.10.212бx-10 -5 0 5P(x ,t )0.00.10.212вx-10 -5 0 5P(x ,t )0.00.10.212( )xg  мультипликативного шума приводит к качественно разному виду плотностей вероятности. Зная одномерную плотность вероятности, можно найти другие статистические характеристики системы. Моменты (среднее значение и дисперсия) имеют немаловажное значение. Для системы (1) с линейной интенсивностью мультипликативного шума ( )xg = x  возможно вычислить целые моменты ( )tx n . По определению   ( ) ( )∫∞∞−= dxtxPxtx nn , . (15)  Подставим в (15) выражение одномерной плотности вероятности (10), и, выполняя замену переменной ( )xu ψ= , где ψ(x) определяется выражением (9), будем иметь   ( ) ( )( ) ( )∫∞∞−+−∆−∆∆=tuutuuduttutx nnn24expsh44exp 02120212π, (16)  [u0 = ψ(x0)]. Для вычисления интеграла в (16) используем формулы степеней гиперболической функции sh x [12]   ( ) ( ) ( ) −+−−= ∑−=− nnxknknx nnnkknn 2212ch2121sh 210122 , (17)   ( ) ( )∑=+ +− +−=nkknn xknknx0212 122sh12121sh , (18)  где ( )!!!knknkn−=  – биномиальные коэффициенты. Подставляя (17) и (18) в (16) и принимая во внимание интегральную формулу [12]   ( ) ( )[ ]( )[ ] +=∫∞∞−−−abcabcacbadxbxbxe cxax2ch2sh4exp1chsh 222 π ,   окончательно получим точные выражения для целых моментов:  ( )tx n2 = ( )−∆∆ ∑−=1012221221nkknn kn ( )[ ]214exp knt −∆ +   + ( )∆∆−210arsh2ch xkn + ( ) −nnn 21 , (19)  ( )tx n 12 + = ( )∑=+ +−∆∆nkknn kn02112212121 +−∆21 214exp knt ×   ×∆∆ +−210arsh212sh xkn . (20)  Найдем дисперсию координаты частицы, ( ) ( ) ( ) 222 txtxtx −=σ . Используя (19), (20), и свойства гиперболических и обратных гиперболических функций, получим   ( ) ( ) ( )12111 41224202 −∆∆+−= ∆∆∆ tttx eeextσ . (21)  Как видно из (21) дисперсия частицы экспоненциально возрастает со временем. Таким образом, изучены статистические свойства свободной частицы, поведение которой описывается нелинейным уравнением Ланжевена с двумя независимыми гауссовскими белыми шумами. Получены точное выражение (в виде квадратур) одномерной плотности вероятности в общем случае, ее явные выражения для трех интенсивностей мультипликативного шума с качественно разным асимптотическим поведением на бесконечности. В случае линейной интенсивности также найдены точные выражения для целых моментов; установлено, что дисперсия координаты частицы экспоненциально возрастает со временем.  SUMMARY  Statistical characteristics of free particle under simultaneous influence of two uncorrelated Gaussian white noises are studied. The univariate probability distribution function is obtained exactly for arbitrary intensity of multiplicative noise. Whole moments are derived for linear intensity, it is established that the mean-square displacement increases exponentially for long times.  СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ  1. Н.Г. Ван Кампен Стохастические процессы в физике и химии. – М.: Высш.шк., 1990. 2. К.В. Гардинер Стохастические методы в естественных науках. – М.: Мир, 1986. 3. В. Хорстхемке, Р. Лефевр Индуцированные шумом переходы. – М.: Мир, 1990. 4. Дж.Л. Дуб Вероятностные процессы. – М.:ИЛ, 1956. 5. H. Risken, The Fokker-Planck equation, 2nd ed. – Berlin: Springer-Verlag, 1990. 6. V. Stohny Symmetry properties and exact solutions of the Fokker-Planck equation // Nonlinear Math. Phys. – 1997. – V.4. – N.1–2. – P.132–136. 7. S.I. Denisov, A.N. Vitrenko, and W. Horsthemke Nonequilibrium transitions induced by the cross-correlation of white noises // Phys. Rev. E. – 2003. – V.68. – 046132. 8. D.J Wu, L. Cao, and S.Z Ke Bistable kinetic model driven by correlated noises: Steady-state analysis // Phys. Rev. E. – 1994. – V.50. – P.2496. 9. M. Gitterman Simple treatment of correlated multiplicative and additive noises // J. Phys. A. – 1999. – V.32. – L293 – L297. 10. В.И. Тихонов и М.А. Миронов Марковские процессы. – М.: Сов. Радио, 1977. 11. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский Уравнения математической физики. – М.: Наука,1972. 12. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев Интегралы и ряды. – М.: Наука, 1981.  

Статистические характеристики свободной частицы в поле двух независимых белых шумов

SocioEconomic Challenges Journal (Sumy State University)

УДК 531.19 
 
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ 
ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ БЕЛЫХ ШУМОВ 
 
А. Н. Витренко, асп. 
 
Один из распространенных методов исследования физических систем, 
взаимодействующих с флуктуирующей средой, основывается на уравнениях 
Ланжевена [1-3], в которых влияние окружения учитывается посредством внешнего 
шума с известными статистическими характеристиками. Во многих случаях этот шум 
может быть аппроксимирован гауссовским белым шумом, вследствие чего параметр 
состояния системы становятся диффузионным марковским процессом [4]. При этом 
одномерная плотность вероятности и плотность вероятности перехода будут 
удовлетворять уравнению Фоккера-Планка, которое может быть решено точно в 
отдельных случаях [2,3,5,6]. 
Однако в зависимости от характера взаимодействия и особенностей самой среды 
уравнения Ланжевена могут содержать несколько гауссовских белых шумов [10] с 
разными статистическими характеристиками. Обычно рассматривается 
мультипликативный (зависит от параметра состояния системы) и аддитивный шум. 
Так как поведение таких систем может отличаться от поведения систем, 
подверженных влиянию одного шума, точные результаты имеют большое значение. 
В этой статье находятся точные выражения для статистических характеристик 
свободной частицы, движение которой описывается простейшим, в общем случае 
нелинейным, уравнением Ланжевена 
 
 ( ) ( )( ) ( ) ( )tftftxgtx 21 += , ( ) 00 0 >= xx  (1) 
 
Здесь ( )tx  – параметр состояния системы (координата частицы), ( )( )txg  – некоторая 
детерминированная функция, независящая явно от времени, ( )tf1  – 
мультипликативный и ( )tf2  – аддитивный гауссовский белый шум. Полагается, что 
шумы независимые с нулевыми средними значениями и корреляционными 
функциями 
 
 ( ) ( ) ( )11 2 tttftf iii −∆= δ ,   (i=1,2)  (2) 
 
где угловые скобки ⋅  означают усреднение по реализациям шумов )(tfi , i∆  – 
интенсивности шумов )(tfi , ( )tδ  – δ-функция Дирака. 
Вычислим сперва одномерную плотность вероятности P(x,t) того, что x(t)=x. 
Уравнение Фоккера-Планка в интерпретации Стратоновича, соответствующее (1) и 
(2), имеет вид [7-9] 
 
 ( )txP
t
,
∂
∂
= ( ) ( )txPxa
x
,
∂
∂
− + ( ) ( )txPxb
x
,2
2
∂
∂ , (3) 
 
где ( ) ( )00, xxxP −= δ ; ( )xa  и ( )xb2  – коэффициенты сноса и диффузии: 
 
 ( ) ( ) ( )xgxgxa ′∆= 1 ,     ( ) ( ) 221 ∆+∆= xgxb . (4) 
 
Для получения решения уравнений (3),(4) используем взаимно-однозначное 
преобразование ( )xu ψ=  фазового пространства марковского процесса ( )tx , при 
котором коэффициент диффузии ( )ub~2  марковского процесса ( )tu  будет равен 
единице [10]: 
 
 ( )xψ =
( )∫ ∆+∆ 221 xg
dx . (5) 
 
Оказывается, при таком выборе функции ( )xψ  коэффициент сноса ( )ua~ , 
определяемый как функция старой переменной следующим образом 
 
 ( )xa~ = ( ) ( )xxa ψ ′ + ( ) ( )xxb ψ ′′ , 
 
будет равен нулю. Следовательно, плотность вероятности ( )tuP ,  удовлетворяет 
простейшему уравнению диффузии: 
 
 ( )
t
tuP
∂
∂ ,
= ( )tuP
u
,2
2
∂
∂ , (6) 
 
решение которого, с учетом начального условия ( )0,uP = ( )[ ]0xu ψδ − , имеет вид 
[11] 
 
 ( )tuP , = ( )[ ]







 −
−
t
xu
t 4
exp
4
1 20ψ
π
. (7) 
 
Принимая во внимание (5) и (7), плотность вероятности P(x,t) записывается как 
 
 ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ] ( ){ }txxxgttxP 4exp4, 2021221 ψψπ −−∆+∆= − . (8) 
 
Таким образом, решение уравнений (3),(4) может быть записано в виде квадратур 
для произвольной функции ( )xg . Для получения результатов в явном виде 
рассмотрим три ее частных случая с качественно разным асимптотическим 
поведением на бесконечности, для которых интеграл (5) может быть вычислен. 
В первом примере исследуем систему (1) с неограниченно возрастающей на 
бесконечности функцией интенсивности мультипликативного шума, ( )xg = x . 
Взаимно-однозначное преобразование (5) принимает форму 
 
 ( )xψ = 





∆
∆
∆ 2
1
1
arsh1 x . (9) 
 
При этом нестационарная плотность вероятности (8) будет имеет вид 
 
 ( )txP , =
( )2212
1
∆+∆ xtπ 



















∆
∆
−





∆
∆
∆
−
2
2
1
0
2
1
1
arsharsh
4
1exp xx
t
. (10) 
 
Для второго примера явных выражений (8) выберем функцию ( )xg , 
стремящуюся к нулю при большом x, ( )xg =
1
1
+x
. Функция ( )xψ  (5) 
 
 ( )xψ = ( )
2
12
2
11
∆
∆
++
∆
x
x
x  (11) 
 
определяет взаимно-однозначное преобразование, нестационарная плотность 
вероятности (8) дается выражением 
 
 ( )txP , =
( )[ ]122 12
1
∆++∆
+
xt
x
π
( ) ( )














∆
∆
++−
∆
∆
++
∆
−
2
2
12
0
2
12
2
11
4
1exp xx
x
x
t
.  
  (12) 
 
В третьем примере примем ( )xg = xth , для большого x интенсивность 
мультипликативного шума постоянна. В этом случае функция (5) 
 
 ( )xψ = 





∆
∆+∆
∆+∆
xsharsh1
2
21
21
 (13) 
 
задает взаимно-однозначное преобразование и нестационарная плотность 
вероятности (8) имеет вид 
 
( )txP , =
( )221 th2
1
∆+∆ xtπ
×  
 ×
( ) 



















∆
∆+∆
−





∆
∆+∆
∆+∆
−
2
0
2
21
2
21
21
sharshsharsh
4
1exp xx
t
. (14) 
 
 
 
Графики плотностей вероятности (10), (12), (14) приведены на рисунке 1. 
Качественно разное асимптотическое поведение на бесконечности интенсивности 
Рисунок 1- Эволюция во времени одномерной плотности вероятности P(x,t) при разных функциях 
g(x) интенсивности мультипликативного шума f1(t): а) g(x) = x,          б) g(x)  = 1/(1+|x|) в) g(x) = thx (∆1=∆2 
= 1, x0 = 1, 1) t=1, 2) t=10). 
а
x-10 -5 0 5
P(x , t )
0.0
0.1
0.2
1
2
б
x-10 -5 0 5
P(x ,t )
0.0
0.1
0.2
1
2
в
x-10 -5 0 5
P(x ,t )
0.0
0.1
0.2
1
2
( )xg  мультипликативного шума приводит к качественно разному виду плотностей 
вероятности. 
Зная одномерную плотность вероятности, можно найти другие статистические 
характеристики системы. Моменты (среднее значение и дисперсия) имеют 
немаловажное значение. 
Для системы (1) с линейной интенсивностью мультипликативного шума 
( )xg = x  возможно вычислить целые моменты ( )tx n . По определению 
 
 ( ) ( )∫
∞
∞−
= dxtxPxtx nn , . (15) 
 
Подставим в (15) выражение одномерной плотности вероятности (10), и, выполняя 
замену переменной ( )xu ψ= , где ψ(x) определяется выражением (9), будем иметь 
 
 ( ) ( )( ) ( )∫
∞
∞−








+−∆
−






∆
∆
=
t
uu
t
uudu
t
tutx n
n
n
24
expsh
4
4exp 0
2
1
2
0
2
1
2
π
, (16) 
 
[u0 = ψ(x0)]. Для вычисления интеграла в (16) используем формулы степеней 
гиперболической функции sh x [12] 
 
 ( ) ( ) ( ) 




−
+−





−= ∑
−
=
− n
n
xkn
k
n
x n
nn
k
k
n
n 2
2
12ch
2
1
2
1sh 2
1
0
12
2 , (17) 
 
 ( ) ( )∑
=
+ +−




 +
−=
n
k
k
n
n xkn
k
n
x
0
2
12 122sh
12
1
2
1sh , (18) 
 
где ( )!!
!
knk
n
k
n
−
=




  – биномиальные коэффициенты. Подставляя (17) и (18) в (16) и 
принимая во внимание интегральную формулу [12] 
 
 ( ) ( )[ ]
( )[ ]











 +
=






∫
∞
∞−
−−
abc
abc
a
cb
a
dx
bx
bx
e cxax
2ch
2sh
4
exp1
ch
sh 222 π
 ,  
 
окончательно получим точные выражения для целых моментов: 
 
( )tx n2 = ( )










−





∆
∆ ∑
−
=
1
01
2
2
2
12
2
1
n
k
k
n
n k
n ( )[ ]214exp knt −∆ +  
 + ( )














∆
∆
−
2
1
0arsh2ch xkn + ( ) 









−
n
nn 21 , (19) 
 
( )tx n 12 + = ( )∑
=
+





 +
−





∆
∆
n
k
k
n
n k
n
0
21
1
2
2
12
1
2
1













 +−∆
2
1 2
14exp knt ×  
 ×
















∆
∆





 +−
2
1
0arsh2
12sh xkn . (20) 
 
Найдем дисперсию координаты частицы, ( ) ( ) ( ) 222 txtxtx −=σ . Используя 
(19), (20), и свойства гиперболических и обратных гиперболических функций, 
получим 
 
 ( ) ( ) ( )1
2
111 4
1
2242
0
2 −
∆
∆
+−= ∆∆∆ tttx eeextσ . (21) 
 
Как видно из (21) дисперсия частицы экспоненциально возрастает со временем. 
Таким образом, изучены статистические свойства свободной частицы, поведение 
которой описывается нелинейным уравнением Ланжевена с двумя независимыми 
гауссовскими белыми шумами. Получены точное выражение (в виде квадратур) 
одномерной плотности вероятности в общем случае, ее явные выражения для трех 
интенсивностей мультипликативного шума с качественно разным асимптотическим 
поведением на бесконечности. В случае линейной интенсивности также найдены 
точные выражения для целых моментов; установлено, что дисперсия координаты 
частицы экспоненциально возрастает со временем. 
 
SUMMARY 
 
Statistical characteristics of free particle under simultaneous influence of two uncorrelated Gaussian white 
noises are studied. The univariate probability distribution function is obtained exactly for arbitrary intensity of 
multiplicative noise. Whole moments are derived for linear intensity, it is established that the mean-square 
displacement increases exponentially for long times. 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
 
1. Н.Г. Ван Кампен Стохастические процессы в физике и химии. – М.: Высш.шк., 1990. 
2. К.В. Гардинер Стохастические методы в естественных науках. – М.: Мир, 1986. 
3. В. Хорстхемке, Р. Лефевр Индуцированные шумом переходы. – М.: Мир, 1990. 
4. Дж.Л. Дуб Вероятностные процессы. – М.:ИЛ, 1956. 
5. H. Risken, The Fokker-Planck equation, 2nd ed. – Berlin: Springer-Verlag, 1990. 
6. V. Stohny Symmetry properties and exact solutions of the Fokker-Planck equation // Nonlinear Math. Phys. – 
1997. – V.4. – N.1–2. – P.132–136. 
7. S.I. Denisov, A.N. Vitrenko, and W. Horsthemke Nonequilibrium transitions induced by the cross-correlation 
of white noises // Phys. Rev. E. – 2003. – V.68. – 046132. 
8. D.J Wu, L. Cao, and S.Z Ke Bistable kinetic model driven by correlated noises: Steady-state analysis // Phys. 
Rev. E. – 1994. – V.50. – P.2496. 
9. M. Gitterman Simple treatment of correlated multiplicative and additive noises // J. Phys. A. – 1999. – V.32. – 
L293 – L297. 
10. В.И. Тихонов и М.А. Миронов Марковские процессы. – М.: Сов. Радио, 1977. 
11. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский Уравнения математической физики. – М.: Наука,1972. 
12. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев Интегралы и ряды. – М.: Наука, 1981. 
 


https://essuir.sumdu.edu.ua/bitstream/123456789/38189/1/Vitrenko_Visnik_2003.pdf

Статистические характеристики свободной частицы в поле двух независимых белых шумов

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic Sumy State University Institutional Repository

SocioEconomic Challenges Journal (Sumy State University)